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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Bestimme Lösungen
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Bestimme Lösungen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:04 Do 19.07.2007
Autor: Kalita

Aufgabe
Bestimme alle Lösungen der folgenden Differentialgleichung, ohne die Laplace Transformation zu benutzen und mit Laplace Transformation:

[mm] y''+5y'+6y=4x*e^x-\sin(x) [/mm]

Ok, ich mag die auch noch rechnen. Versuche es dann gerne mit enttsprechender Hilfestellung alleine, aber evtl auf eine längere Diskussion einstellen :(

Bitte bitte.
        
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Bestimme Lösungen: noch nicht mal der Anfang?
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:41 Do 19.07.2007
Autor: Kalita

Ein Hinweias auf den Anfang vielleicht? Irgendwas mit dem ich anfangen kann?
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Bestimme Lösungen: charakteristische Gleichung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:49 Do 19.07.2007
Autor: Loddar

Hallo Kalita!


Betrachten wir zunächst die homogene DGL mit $y''+5y'+6y \ = \ 0$


Hierfür stellen wir nun die chrakteristische Gleichung mit [mm] $k^2+5*k+6 [/mm] \ = \ 0$ auf.

Bestimme hiervon die Nullstellen und Du erhältst die homogene Lösung der Gestalt [mm] $e^{k_1*x}+e^{k_2*x}$ [/mm] ...


Gruß
Loddar

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Bestimme Lösungen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:54 Do 19.07.2007
Autor: Kalita

Danke, danke, danke

Ok, der term unter der Wurzel ist negativ. Also kommt raus e^(1/2x)
Woher kommen die k´s

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Bestimme Lösungen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:55 Do 19.07.2007
Autor: Kalita

Also die ^2 und so. Ist das wegen y´´ und ist das immer so?
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Bestimme Lösungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:13 Do 19.07.2007
Autor: Herby

Hallo Kalita,

> Danke, danke, danke
>  
> Ok, der term unter der Wurzel ist negativ. Also kommt raus
> e^(1/2x)
>  Woher kommen die k´s

nein, der Wurzelterm ist nicht negativ, denn deine char. Gleichung lautet:

[mm] k^2+5k+6=0 [/mm]

oder

[mm] k^2+\red{(2+3)}k+\red{(2*3)}=0 [/mm]


erinnerst du dich an den Satz von Vieta :-)

[mm] k^2+5k+6=(k+2)*(k+3) [/mm]

und damit

[mm] k_1=-2 [/mm]
[mm] k_2=-3 [/mm]

[mm] \Rightarrow\ y=K_1*e^{-2x}+K_2*e^{-3x} [/mm]


für die partikuläre Lösung wähle einmal den Ansatz [mm] y_{p1}=(Ax+B)*e^{x} [/mm]

Achtung: Ableitungen nach Produktregel



und zusätzlich:

[mm] y_{p2}=C*sin(x)+D*cos(x) [/mm]


zur Kontrolle - ich erhalte für:

[mm] A=\bruch{1}{3} [/mm]

[mm] B=-\bruch{7}{36} [/mm]

[mm] C=\bruch{1}{10} [/mm]

[mm] D=-\bruch{1}{10} [/mm]


alle Angaben ohne Gewähr :-)



Liebe Grüße
Herby

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Bestimme Lösungen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:18 Do 19.07.2007
Autor: Herby

Hi,


>  Woher kommen die k´s
>

  
Loddar wollte nur nicht immer "\lambda" schreiben und hat halt ein k für die [mm] \red{k}arakteristische [/mm] Gleichung genommen ;-)


lg
Herby
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Bestimme Lösungen: oK; ES IST SCHON SPÄT
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:23 Do 19.07.2007
Autor: Kalita

so, K1 und K2 sind Konstanten die ich ausrechnen muss?
Woher weißt du das A= ax+B ist

(Den Satz kenn ich und auf die Lambdas hätt ich auch kommen können *rotwerd*)

Und bitte praktikulär... meinst du das Ding mit Laplace?

Ohje, ich muss grad voll verpeilt klingen
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Bestimme Lösungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:38 Do 19.07.2007
Autor: Herby

Hi,

na so spät ist ja noch nicht :-)

> so, K1 und K2 sind Konstanten die ich ausrechnen muss?

nein, denn du hast keine Anfangsbedingung. Deine Gesamtlösung lautet:

[mm] y=K_1e^{-2x}+K_2e^{-3x}+Axe^{x}+Be^{x}+Csin(x)+Dcos(x) [/mm]

Alles schön zusammengeknuddelt :-)



>  Woher weißt du das A= ax+B ist

A ist nicht Ax+B -- deine Störfunktion lautet [mm] g_1(x)=4x*e^{x} [/mm] -- also einmal 4x (dafür Ax+B) und einmal [mm] e^x [/mm] (dafür [mm] e^x) [/mm]

Du könntest vor das [mm] e^x [/mm] auch noch eine Konstante setzen, aber beim Ausmultiplizieren würde diese mit A und B verrechnet werden und wär eh futsch, deshalb lasse ich sie gleich weg.


> (Den Satz kenn ich und auf die Lambdas hätt ich auch kommen
> können *rotwerd*)

Pech gehabt [grins]


> Und bitte praktikulär... meinst du das Ding mit Laplace?

mit partikulär ist die spezielle Lösung gemeint. Du hast ja einmal die allgemeine Löung y=..... aus der homogenen DGL und einmal die partikuläre vom Störansatz.

Das hat nichts mit Laplace zu tun.


> Ohje, ich muss grad voll verpeilt klingen

ach was - die Fragen sind ok; ich hoffe meine Antworten auch :-)


Lg Herby
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Bestimme Lösungen: Kein Licht geht auf...
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:46 Do 19.07.2007
Autor: Kalita

Ich hab grad n totalen Wust. Nochmal von Anfang, Stückchen für Stückchen bitte.

Tut mir saumäßig leid.
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Bestimme Lösungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:04 Do 19.07.2007
Autor: Herby

Hi,

> Ich hab grad n totalen Wust. Nochmal von Anfang, Stückchen
> für Stückchen bitte.
>  
> Tut mir saumäßig leid.

macht nix - ich denke die allgemeine Lösung mit den Ks ist klar, oder?

nehmen wir

[mm] y_p=(Ax+B)e^x=Axe^x+Be^x [/mm]

[mm] y'_p=(Ax+A+B)e^x=Axe^x+Ae^x+Be^x [/mm]

[mm] y''_p=(Ax+2A+B)e^x=Axe^x+2Ae^x+Be^x [/mm]


das alles setzen wir in die DGL ein und vergleichen es mit der Störfunktion [mm] g_1(x)=4xe^x [/mm]

[mm] y''+5y'+6y=Axe^x+2Ae^x+Be^x+5*(Axe^x+Ae^x+Be^x)+6*(Axe^x+Be^x) [/mm]

nach dem Ausmultiplizieren und Sortieren erhalten wir:

[mm] 12Axe^x+(7A+12B)e^x=4xe^x+\red{0}*e^x [/mm]

ein Koeffizientenvergleich liefert

12A=4

7A+12B=0

also ist [mm] A=\bruch{1}{3} [/mm] und [mm] B=-\bruch{7}{36} [/mm]

und somit [mm] y_{p}=\bruch{1}{3}xe^x-\bruch{7}{36}e^x [/mm]


nun klarer?


Nimm jetzt mal als zweiten Ansatz [mm] y_p=C*sin(x)+D*cos(x) [/mm] für den hinteren Teil der Sörfunktion (ups, hab gerade gesehen, dass ich das Minus auch vergessen habe [bonk]) [mm] g_2(x)=\red{-1}*sin(x) [/mm]


lg
Herby
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Bestimme Lösungen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:08 Do 19.07.2007
Autor: Kalita

Ich glaube ich les das morgen nochmal :)

Ab 4 Tagen Hardcorelearning bin ich grad nicht mehr in der Lage was zu schaffen :(

Aber morgen dann wieder vor der Klausur ;)

Vielen lieben Dank das du dich um mich gekümmert hast und ich würde dir ja jetzt n Bier spendieren, aber da du zu weit weg wohnst bekommst dus virtuell :)

Vielen Dank und schlaf gut. Nacht
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Bestimme Lösungen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:11 Do 19.07.2007
Autor: Herby

Hallo Kalita,

> Ich glaube ich les das morgen nochmal :)
>  
> Ab 4 Tagen Hardcorelearning bin ich grad nicht mehr in der
> Lage was zu schaffen :(
>  
> Aber morgen dann wieder vor der Klausur ;)

wann geht's denn los - egal - ich schau morgen nochmal rein :-)

> Vielen lieben Dank das du dich um mich gekümmert hast und
> ich würde dir ja jetzt n Bier spendieren, aber da du zu
> weit weg wohnst bekommst dus virtuell :)
>  
> Vielen Dank und schlaf gut. Nacht

Dir auch eine gute Nacht und viel Erfolg morgen [kleeblatt]


Liebe Grüße
Herby
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Bestimme Lösungen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:18 Do 19.07.2007
Autor: Kalita

14- 17 Uhr

Danke, und ich hoffe ich hab dich nicht selbst vom lernen abgehalten :)
Bis zur nächsten Frage :)

Woher habt ihr die tollen Bildchen immer ?
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Bestimme Lösungen: Scherzkeks
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:58 Fr 20.07.2007
Autor: Loddar

Moin Herby!


> Loddar wollte nur nicht immer "\lambda" schreiben und hat halt ein k für die [mm]\red{k}arakteristische[/mm]
> Gleichung genommen

Du [clown] [mm] ($\leftarrow \ \text{\red{K}lown}$), Du ... ;-) Gruß Loddar [/mm]
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