Bestimme äußeres Differential < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:45 Mi 26.11.2008 | | Autor: | Tina3 |
| Aufgabe | Berechne das äußere Differential folgender Formen in [mm] \IR^{3}:
[/mm]
[mm] w1=e^{x}cosydx-e^{x}sinydy
[/mm]
[mm] w2=xydx\wedgedy+2xdy\wedgedz+2ydx\wedgedz [/mm] |
Mein Problem besteht darin, dass ich mit den Dachprodukten und der Summenschreibweise [mm] \summe_{i_{1}<...
Lieben Gruß Tina
Ich habe diese Aufgabe auf keiner anderen Internetseite gestellt
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Hallo Tina3,
> Berechne das äußere Differential folgender Formen in
> [mm]\IR^{3}:[/mm]
> [mm]w1=e^{x}cosydx-e^{x}sinydy[/mm]
> [mm]w2=xydx\wedgedy+2xdy\wedgedz+2ydx\wedgedz[/mm]
> Mein Problem besteht darin, dass ich mit den Dachprodukten
> und der Summenschreibweise [mm]\summe_{i_{1}<...
> Definition des äußeren Differentials nicht klarkomme. ich
> habe auch schon im Internet gesucht aber es nirgends
> wirklich verstanden. Vielleicht kann mir ja jemand das an
> einem Beispiel einmal ausführlich vorführen so dass ich
> dass dann analog auf meine Aufgabe übertragen kann?
Die äußere Ableitung einer Differentialform ersten Grades [mm]\omega_{1}[/mm] ist wie folgt definiert:
[mm]\left[d \wedge \omega_{1}\right]:=\left[\left(\bruch{\partial}{\partial x_{1}}+ \ \dots \ + \bruch{\partial}{\partial x_{n}}}\right) \wedge \omega_{1} \right]=\summe_{i=1}^{n}\summe_{ k=1, \ k \not=j }\left[\left(\bruch{\partial f_{j}}{\partial x_{k}} \ dx_{k} \right) \wedge dx_{j}\right]}[/mm]
mit
[mm]\omega_{1}=f_{1} \ dx_{1} + \ \dots \ + f_{n} \ dx_{n}[/mm]
Beispiel:
[mm]\omega_{1}= a_{1} dx_{1}[/mm]
Dann ist
[mm]\left[d \wedge \omega_{1}\right] =\summe_{j=1}^{n}\summe_{ k=1, \ k \not=j }\left[\left(\bruch{\partial a_{j}}{\partial x_{k}} \ dx_{k} \right) \wedge dx_{j}\right]}=\summe_{ k=2 }^{n}\left[\left(\bruch{\partial a_{1}}{\partial x_{k}} \ dx_{k} \right) \wedge dx_{1}\right]}[/mm]
[mm]=\summe_{k=2}^{n}\bruch{\partial a_{1}}{\partial x_{k}} \left[dx_{k} \wedge dx_{1}\right][/mm]
Für eine Differentialform zweiten Grades [mm]\omega_{2}[/mm] sieht das dann so aus:
[mm]\left[d \wedge \omega_{2}\right]=\summe_{j=1}^{n}\summe_{ k=1, \ k \not=j }\summe_{ l=1, \ l \not=j , \ l \not= k}\left[\left(\bruch{\partial g_{kj}}{\partial x_{l}} \ dx_{l} \right) \wedge dx_{k} \wedge dx_{j} \right]}[/mm]
mit
[mm]\omega_{2}=\summe_{k=1}^{n}\summe_{j=1, j \not= k}^{n} g_{kj} \left[dx_{k} \wedge dx_{j}\right][/mm]
> Lieben Gruß Tina
>
>
> Ich habe diese Aufgabe auf keiner anderen Internetseite
> gestellt
Gruß
MathePower
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