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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:19 So 19.09.2004 | | Autor: | Matthias2004 |
Hallo, ich habe mal wieder ein Problem.
Ich weiß nicht, wie diese Aufgabe funktionieren soll. Vielleicht kann mir ja jemand helfen.
Bestimmen Sie alle ganzrationalen Funktionen dritten Grades, deren Graph
a)punktsymmetrisch zum Ursprung ist und für x=2 einen Extrempunkt hat.
b)im Ursprung einen Wendepunkt mit der Wendetangente y=x hat.
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Hallo Matthias!
Die allgemeine Form einer ganzrationalen Funktion dritten Grades ist:
[mm]f(x)=a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}[/mm]
Du musst also die 4 Koeffizienten [mm]a_{0},\ldots ,a_{3}[/mm] bestimmen. Es kann auch mehrere Lösungen geben.
Deine Bedingungen sind (wenn alle Bedingungen von a) und b) für dieselbe Funktion gelten):
[mm]f(-x)=-f(x)[/mm]
[mm]f^{\prime}(2)=0[/mm]
[mm]f^{\prime\prime}(0)=0[/mm]
[mm]f^{\prime}(0)=1[/mm]
[mm]f(0)=0[/mm]
Kommst du jetzt zurecht? Probiere es!
Nach meinen Berechnungen ist das Ergebnis:
[mm]f(x)=-\bruch{1}{12}x^{3}+x[/mm]
Schöne Grüße, 
Ladis
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Danke für deine Antwort. Aber ich komme immer noch nicht zurecht. Die Bedingungen sind ja für Aufgabenteil a und b oder?
Ich habe ja für beide Aufgabenteile jeweils nur 2 Bedingungen. Wie soll das denn funktionieren?
Ciao
Matthias
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Hallo Matthias, hallo Stefan!
Ahhh... so ist das gemeint...
Dann haben wir als Ergebnis eine Funktionsschar.
a) Die Bedingungen sind:
1. Punktsymmetrisch zum Ursprung: [mm]f(-x)=-f(x)[/mm]
2. Extrempunkt für x = 2: [mm]f^{\prime}(2)=0[/mm]
1. [mm]-a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}-a_{1}x+a_{0}\equiv -a_{3}x^{3}-a_{2}x^{2}-a_{1}x-a_{0}[/mm]
Diese Gleichung ist eine Identität, also muss für alle x's gelten. Deshalb müssen wir die Koeffizienten jeder Potenz von x gleichsetzen.
[mm]-a_{3}=-a_{3}[/mm] gilt immer
[mm]+a_{2}=-a_{2}\;\; \gdw \;\; a_{2}=0[/mm]
Genauso:
[mm]a_{0}=0[/mm]
Setzen wir dies ein, so erhalten wir:
[mm]f(x)=a_{3}x^{3}+a_{1}x[/mm]
2. Wir leiten die Funktion ab:
[mm]f^{\prime}(x)=3a_{3}x^{2}+a_{1}[/mm]
[mm]3a_{3}*2^{2}+a_{1}=0\;\; \gwd \;\; a_{1}=-12a_{3}[/mm]
Und das sind also alle Bedingungen. Du, Matthias, musst das so verstehen, dass [mm]a_{3}[/mm] z.B. beliebig ist und [mm]a_{1}[/mm] hängt von [mm]a_{3}[/mm] ab.
Wenn du [mm]a_{3}=t[/mm] bezeichnest (das ist der Parameter der Funktionsschar):
[mm]f_{t}(x)=tx^{3}-12tx[/mm]
Probiere nach diesem Beispiel, den Punkt b) zu lösen.
Schöne Grüße,
Ladis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:37 So 19.09.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Ladis!
Ist es nicht vielmehr so gemeint, dass es zwei verschiedene Aufgaben sind ( a) und b) ) ?
Liebe Grüße
Stefan
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Ja Stefan, so habe ich es auch verstanden. Deshalb habe ich auch so ein großes Problem damit.
Ciao
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:04 So 19.09.2004 | | Autor: | Emily |
> Hallo, ich habe mal wieder ein Problem.
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> Ich weiß nicht, wie diese Aufgabe funktionieren soll.
> Vielleicht kann mir ja jemand helfen.
>
> Bestimmen Sie alle ganzrationalen Funktionen dritten
> Grades, deren Graph
>
> a)punktsymmetrisch zum Ursprung ist und für x=2 einen
> Extrempunkt hat.
>
> b)im Ursprung einen Wendepunkt mit der Wendetangente y=x
> hat.
>
Hallo Matthias,
Bestimmen Sie alle ganzrationalen Funktionen dritten Grades, deren Graph
a) punktsymmetrisch zum Ursprung ist, d.h. nur ungerade Exponenten:
[mm]f(x)=a*x^3 + b*x [/mm]
und für x=2 einen Extrempunkt hat, d.h.:
[mm]f'(x)=3*a*x^2 + b[/mm] mit
[mm]f'(2)=0[/mm]
b)im Ursprung einen Wendepunkt mit der Wendetangente y=x hat.
[mm]f(x)=a*x^3 + b*x^2 +c*x +d[/mm]
[mm]f(0)= 0 [/mm]
[mm]f'(0)= 1[/mm]
[mm]f''(0)= 0[/mm]
Bis später.
Liebe Grüße
Emily
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Guten Abend
Ich bin immer wieder begeistert, wie schnell man hier sehr hilfreiche Antworten bekommt. Vielen Dank nochmal.
Ich habe dann jetzt für den Aufgabenteil b) folgendes raus.
f(x) = [mm] ax^{3} [/mm] +1
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:37 So 19.09.2004 | | Autor: | Emily |
> Guten Abend
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> Ich bin immer wieder begeistert, wie schnell man hier sehr
> hilfreiche Antworten bekommt. Vielen Dank nochmal.
Gerne.
> Ich habe dann jetzt für den Aufgabenteil b) folgendes
> raus.
>
> f(x) = [mm]ax^{3}[/mm] +1
>
Stimmt leider nicht.
[mm]f(x)=a*x^3+b*x^2+c*x+d[/mm]
[mm]f'(x)=3*a*x^2+2*b*x+c[/mm]
[mm]f''(x)=6*a*x+2*b[/mm]
Jetzt die Bedingungen:
[mm]f(0)=0[/mm]
[mm]f'(0)=1[/mm]
[mm]f''(0)=0[/mm]
Probier es nochmal.
Liebe Grüße
Emily
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:30 So 19.09.2004 | | Autor: | Disap |
Folgende Fragen, besonders an ladislauradu und Emily
Bei Aufgabe
a)
1.0Wie kommt man auf den Punkt [mm] f^{\prime\prime}(0)=0
[/mm]
1.2Wie kommt man auf den Punkt f'(0)=1
(Evtl darf man hier gar nicht Punkt sagen, aber ihr wisst sicherlich, was gemeint ist)
b)
1.Was habe ich mir unter einer Wendetangente im Wendepunkt der Funktion vorzustellen?
1.1Ist das nicht doppelt gemoppelt? Reicht es nicht zu sagen, dass die Funktion eine Wendetangente hat?
2. Wie kann man die Punkte überhaupt herleiten? Woraus gehen die hervor?
2.1 Und wieso reichen hier zur Ermittlung der Funktionsgleichung 3 Punkte aus?
Sonstiges:
Wie Ladislauradu gesagt hat, soll die Funktionsgleichung: [mm] f(x)=\bruch{1}{12}x^{3}+x [/mm] lauten. Hätte man hierbei nicht einen Sattelpunkt?
Grüße Disap
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Ich habe mich korrigiert, Disap. Ich habe alle Bedingungen von Punkt a) und b) für dieselbe Funktion gestellt.
Schöne Grüße,
Ladis
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:12 Mo 20.09.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Disap!
Zu den noch offenen Fragen:
> b)
> 1.Was habe ich mir unter einer Wendetangente im Wendepunkt
> der Funktion vorzustellen?
Eine Wendetangente ist einfach eine Tangente, die durch einen Wendepunkt verläuft. Ich nehme an du weißt, was eine Tangente ist: Sie ist eine Gerade und berührt den Funktionsgraphen in einem gewissen Punkt des Graphen (in diesem Fall im Wendepunkt).
> 1.1Ist das nicht doppelt gemoppelt? Reicht es nicht zu
> sagen, dass die Funktion eine Wendetangente hat?
Dann wüsste man nur, dass es eine Wendetangente gibt. Wenn man aber sagt: eine Wendetangente Im Ursprung der Form $y=x$, dann stecken da mehr Informationen drin. Denn ,an weiß ja (siehe unten), dass die Wendetangente durch den Wendepunkt verläuft und dass die Steigung der Wendetangente gerade die Ableitung der Funktion an der Wendestelle ist.
> 2. Wie kann man die Punkte überhaupt herleiten? Woraus
> gehen die hervor?
a) Die Wendetangente verläuft durch den Wendepunkt. Ebenso verläuft der Funktionsgraph durch den Wendepunkt. Daher stimmen die $y$-Werte der Wendetangente und des Funktionsgraphen überein. Es gilt also: $f(0)=0$.
b) Wir wissen, dass die zweite Ableitung an einer Wendestelle notwendigerweise verschwindet (d.h. gleich $0$ ist). Daher gilt: $f''(0)=0$.
c) Die Steigung der Wendetangente ist gerade der Wert der Ableitung der Funktion an der Wendestelle (die erste Ableitung misst ja die Steigung). Da die Steigung der Wendetangente $y=x$ aber gerade gleich $1$ ist, muss gelten: $f'(0)=1$.
> 2.1 Und wieso reichen hier zur Ermittlung der
> Funktionsgleichung 3 Punkte aus?
Wir haben ja noch nicht gesagt, dass die Funktionsgleichung dadurch eindeutig bestimmt ist. Vielleicht ergibt sich ja auch eine Funktionsschar.
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:16 Mo 20.09.2004 | | Autor: | e.kandrai |
Sorry, dass ich die Frage ne Weile lang blockiert hatte.
Hatte letzte Nacht ne Antwort geschrieben, aber die ist (nachdem sie fertig war) irgendwo im Datenfriedhof oder sonstwo gelandet, und dann hatte ich vergessen, meine Reservierung aufzuheben...
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