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Bestimme x Element R: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:38 Mi 18.01.2017
Autor: martin_ks

Aufgabe
Bestimmen Sie alle x [mm] \in \IR, [/mm] für die alle folgenden Termedefiniert sind, und bestimmen Sie alle x [mm] \in \IR, [/mm] die folgende Gleichung lösen:

1 + [mm] \bruch{1}{1 + \bruch{1}{x}} [/mm] = [mm] \wurzel{1 + x} [/mm]

Ich würde mich sehr freuen, wenn mir jemand die Zwischenschritte von:

1 + [mm] \bruch{1}{1 + \bruch{1}{x}} [/mm]

zu:

[mm] \bruch{2x + 1}{x + 1} [/mm]

erläutern könnte.

Für mein Verständnis wird erst erweitert um anschließend wieder kürzen zu können, nur verstehe ich leider die Rechenregeln dahinter noch nicht..

Ich würde mich sehr freuen!
Vielen Dank und viele Grüße,
Martin


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Bestimme x Element R: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:50 Mi 18.01.2017
Autor: DieAcht

Hallo Martin!


Es gilt

      [mm] $1+\frac{1}{1+\frac{1}{x}}$ [/mm]

      [mm] $=\frac{1+\frac{1}{x}}{1+\frac{1}{x}}+\frac{1}{1+\frac{1}{x}}$ [/mm]

      [mm] $=\frac{1+\frac{1}{x}+1}{1+\frac{1}{x}}$ [/mm]

      [mm] $=\frac{2+\frac{1}{x}}{1+\frac{1}{x}}$ [/mm]

      [mm] $=\frac{(2+\frac{1}{x})*x}{(1+\frac{1}{x})*x}$ [/mm]

      [mm] $=\frac{2x+1}{x+1}$. [/mm]


Gruß
DieAcht

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Bezug
Bestimme x Element R: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:04 Mi 18.01.2017
Autor: chrisno


> ....
> 1 + [mm]\bruch{1}{1 + \bruch{1}{x}}[/mm]
>  
> zu:
>  
> [mm]\bruch{2x + 1}{x + 1}[/mm]
>  
> erläutern könnte.
>  ....

Ich beseitige zuerst den Doppelbruch, indem ich mit x erweitere:
[mm]\bruch{1}{1 + \bruch{1}{x}} = \bruch{x}{x(1 + \bruch {1}{x})} = \bruch{x}{x+1}[/mm]
Dann wird die 1 erweitert $1 = [mm] \bruch{1}{1} [/mm] = [mm] \bruch{x+1}{x+1}$ [/mm]
Nun sind die beiden Brüche gleichnamig und werden addiert.


Bezug
                
Bezug
Bestimme x Element R: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:31 Mi 18.01.2017
Autor: martin_ks

Klasse, vielen Dank für die schnellen Antworten!

Es geht also darum den Bruch 1/x unter dem Bruchstrich zu entfernen um dann vernünftig weiter rechnen zu können.

Man muss es wohl einfach nur erkennen, dass man um x erweitern muss...

Ich rechne mal weiter :)

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Bestimme x Element R: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:01 Mi 18.01.2017
Autor: martin_ks

So, mit der Erinnerung an die Regel, dass bei Addition von Brüchen der Nenner gleich sein muss, ist nun auch der letzte Groschen gefallen.

Über diesen Schritt, bei dem die beiden Erweiterungen zusammengeführt werden, musste ich gerade noch einmal nachdenken...

Vielen Dank nochmal!

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Bestimme x Element R: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:04 Mi 18.01.2017
Autor: X3nion

Hallo Martin!

Eine weitere Möglichkeit, die ich noch heute Nacht schreiben wollte kurz nach deinem Post, aber es mir doch zu spät wurde:

Erst einmal ist der Term für x=0 und x=-1 nicht definiert.

Es ist 1 + [mm] \frac{1}{1+\frac{1}{x}} [/mm]
= 1 + [mm] \frac{1}{\frac{x}{x}+\frac{1}{x}} [/mm] (1 = [mm] \frac{x}{x} [/mm] möglich wegen x [mm] \not= [/mm] 0)
= 1 + [mm] \frac{1}{\frac{x+1}{x}} [/mm]
= 1 + [mm] \frac{x}{x+1} [/mm] = [mm] \frac{x+1}{x+1} [/mm] + [mm] \frac{x}{x+1} [/mm]  = [mm] \frac{x+1 + x}{x+1} [/mm] = [mm] \frac{2x+1}{x+1} [/mm]

Ich entferne also erst einmal den Nenner, indem ich geschickt erweitere und dann mit dem Kehrbruch multipliziere.

Gruß X3nion

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Bestimme x Element R: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:20 Mi 18.01.2017
Autor: martin_ks

Hallo X3nion,

vielen Dank für deine Mühe, wobei dies eine weitere Frage aufgeworfen hat.

Wo genau multiplizierst du mit dem Kehrwert?

Die Rechnung kann ich jetzt nachvollziehen, aber den Kehrwert finde ich nicht.

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Bestimme x Element R: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:23 Mi 18.01.2017
Autor: martin_ks

Die Definitionen von x sind klar. Man darf nicht durch NULL teilen.

Gibt es da eine Regel oder einen Trick um die Definitionen festzulegen oder muss man es einfach erkennen bzw. testen/rechen?

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Bestimme x Element R: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:33 Mi 18.01.2017
Autor: M.Rex

Hallo

> Die Definitionen von x sind klar. Man darf nicht durch NULL
> teilen.

>

> Gibt es da eine Regel oder einen Trick um die Definitionen
> festzulegen oder muss man es einfach erkennen bzw.
> testen/rechen?

In den reellen Zahlen gilt:
1. Ein Nenner eines Bruches darf nicht Null werden
2. Unter einer Wurzel darf keine negative Zahl stehen
3. Im Logarithmus darf weder Null noch eine negative Zahl stehen.

Also musst du, wenn einer dieser Fälle möglich ist, dieses per Nebenrechnung ausrechnen.
Beispiele:

[mm] f(x)=\frac{1}{x^{2}-1} [/mm]
Hier muss [mm] x^{2}-1\ne0 [/mm] gelten, also berechne entweder direkt die Lösungen aus [mm] x^{2}-1\ne0 [/mm] oder schließe die Lösungen der Gleichung [mm] x^{2}-1=0 [/mm] aus der Definitionsmenge aus.

[mm] g(x)=\sqrt{3x-2} [/mm]
Hier muss gelten [mm] 3x-2\ge0, [/mm] auch hier berechne aus dieser Gleichung den Def.-bereich. Alternativ schließe die Lösung der Ungleichung 3x-2<0 aus dem Def.-bereich aus.

[mm] h(x)=\log_{a}(2x+1) [/mm]
Hier muss gelten 2x+1>0, auch hier berechne aus dieser Gleichung den Def.-bereich. Alternativ schließe die Lösung der Ungleichung [mm] 2x+1\le0 [/mm] aus dem Def.-bereich aus.

Im Bereich der komplexen Zahlen sieht das sicherlich dann wieder anders aus.

Marius

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Bestimme x Element R: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:39 Mi 18.01.2017
Autor: martin_ks

Hi Marius,

wow, vielen Dank. Vor allem die Info, dass es nur diese drei Fälle gibt, hilft und beruhigt sehr.



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Bestimme x Element R: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) fundamentaler Fehler Status 
Datum: 12:04 Mi 18.01.2017
Autor: Diophant

Hallo,

> Es gibt doch nur drei nicht definierte Fälle in der
> Mathematik.
> 1. Ein Nenner eines Bruches darf nicht Null werden
> 2. Unter einer Wurzel darf keine negative Zahl stehen
> 3. Im Logarithmus darf weder Null noch eine negative Zahl
> stehen.

Das kann man so nicht stehen lassen, sondern muss es auf die Reellen Zahlen eingrenzen und dort dann auch noch auf die elementaren Funktionen.

Gruß, Diophant

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Bestimme x Element R: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) oberflächlich richtig Status 
Datum: 12:48 Mi 18.01.2017
Autor: M.Rex

Hallo Diophant,

Ich habe die Antwort dahingehend modifiziert, danke für den Hinweis.

Marius

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Bestimme x Element R: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) oberflächlich richtig Status 
Datum: 13:45 Mi 18.01.2017
Autor: Diophant

Hallo,

> Ich habe die Antwort dahingehend modifiziert, danke für
> den Hinweis.

Gerne. Nur der Satz Es gibt doch nur drei nicht definierte Fälle in der Mathematik steht eben immer noch da, und das stimmt halt einfach so nicht und ist - nebenbei bemerkt - ziemlich sinnfrei...

Gruß, Diophant

Bezug
                                                                
Bezug
Bestimme x Element R: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) richtig (detailiert geprüft) Status 
Datum: 15:03 Mi 18.01.2017
Autor: M.Rex


> Hallo,

>

> > Ich habe die Antwort dahingehend modifiziert, danke für
> > den Hinweis.

>

> Gerne. Nur der Satz Es gibt doch nur drei nicht definierte
> Fälle in der Mathematik
steht eben immer noch da, und das
> stimmt halt einfach so nicht und ist - nebenbei bemerkt -
> ziemlich sinnfrei...

>

> Gruß, Diophant

Jetzt steht auch der Saz nicht mehr da.

Marius

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Bestimme x Element R: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:25 Mi 18.01.2017
Autor: Steffi21

Hallo, Du hast den Bruch

[mm] \bruch{1}{\bruch{x+1}{x}}=1*\bruch{x}{x+1}=\bruch{x}{x+1} [/mm]

Steffi

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Bestimme x Element R: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:42 Mi 18.01.2017
Autor: martin_ks

Verstehe, jetzt erinnere ich mich auch an so einige Grundregeln beim Bruchrechnen.

Demnach gilt:

[mm] \bruch{\bruch{A}{B}}{\bruch{C}{D}} [/mm] = [mm] \bruch{A}{B} \* \bruch{D}{C} [/mm]   !?

Habe ich das richtig verstanden?

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Bestimme x Element R: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:58 Mi 18.01.2017
Autor: M.Rex


> Verstehe, jetzt erinnere ich mich auch an so einige
> Grundregeln beim Bruchrechnen.

>

> Demnach gilt:

>

> [mm]\bruch{\bruch{A}{B}}{\bruch{C}{D}}[/mm] = [mm]\bruch{A}{B} \* \bruch{D}{C}[/mm]
> !?

>

> Habe ich das richtig verstanden?

Ja. Beachte aber, dass es Einschränkungen gibt, denn B=0, C=0 und D=0 würden jeweils einen vorkommenden Nenner verbotenerweise zu Null werden lassen.

Marius

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Bezug
Bestimme x Element R: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:08 Mi 18.01.2017
Autor: martin_ks

Werde ich beachten. Vielen Dank!

Bezug
                                                        
Bezug
Bestimme x Element R: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:00 Mi 18.01.2017
Autor: martin_ks

Vielen Dank an alle hilfsbereiten Mathehelfer!

Ich bin gedanklich jetzt schon einige Schritte weiter gekommen!

Bezug
                
Bezug
Bestimme x Element R: Kurzer Nachtrag
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:08 Mi 18.01.2017
Autor: X3nion

Ohje da habe ich ja förmlich eine Beitragslawine ausgelöst [happy]

Und etwas verspätet, martin_ks Herzlich [willkommenmr]

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