Bestimmen der Eigen-werte -ve. < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:56 So 02.06.2013 | | Autor: | bquadrat |
| Aufgabe | Gegeben ist eine Matrix Q
[mm] Q=\pmat{ 1 & 7 & 2 \\ 3 & 5 & 2 \\ 2 & 2 & 6 }
[/mm]
Zu der die Eigenwerte [mm] \lambda_{1} [/mm] , [mm] \lambda_{2} [/mm] , [mm] \lambda_{3} [/mm] und die zu den Eigenwerten gehörenden Eigenvektoren (Nennen Sie diese bitte [mm] \vec{v_{1}}; \vec{v_{2}}; [/mm] und [mm] \vec{v_{3}} [/mm] )bestimmt werden sollen. Machen Sie hinterher die Probe. Erstellen Sie eine Matrix T aus den Eigenvektoren (indem die Eigenvektoren als Spalten nebeneinandergeschrieben werden und nicht als Zeilen!) und berechnen Sie hinterher [mm] Q^{9}T [/mm] . Natürlich ist es tunlichst zu vermeiden die Matrix Q 9 mal mit sich selbst zu multiplizieren. Denken Sie zunächst nach, was herauskommt, denn dies lässt sich ohne Komplikationen hinschreiben. (Das Ausrechnen gibt selbstverständlich Abzüge, falls sich das doch tatsächlich jemand zumuten sollte) |
Also das Errechnen der Eigenwerte und Eigenvektoren war kein Problem. Da habe ich [mm] \lambda_{1}=4 [/mm] , [mm] \lambda_{2}=10 [/mm] und [mm] \lambda_{3}=-2
[/mm]
Die Eigenvektoren zu den Eigenwerten lauten wie folgt:
Zu [mm] \lambda_{1} [/mm] habe ich
[mm] \vec{v_{1}}=\alpha\vektor{-0,5 \\ -0,5 \\ 1}
[/mm]
dabei habe ich [mm] \alpha=2 [/mm] gewählt
Zu [mm] \lambda_{2} [/mm] habe ich
[mm] \vec{v_{2}}=\beta\vektor{1 \\ 1 \\ 1}
[/mm]
dabei habe ich [mm] \beta=1 [/mm] gewählt
Zu [mm] \lambda_{3} [/mm] habe ich
[mm] \vec{v_{3}}=\gamma\vektor{\bruch{-13}{2} \\ \bruch{5}{2} \\ 1}
[/mm]
dabei habe ich [mm] \gamme=2 [/mm] gewählt
Und dann lautet die Matrix T
[mm] \pmat{ -1 & 1 & -13 \\ -1 & 1 & 5 \\ 2 & 1 & 1 }
[/mm]
Jetzt meine Frage:
Die Probe: Kann ich die nicht einfach machen, indem ich die Eigenwerte in das charakteristische Polynom einsetze und schaue ob da 0 rauskommmt (was es tut)? Abgesehen davon: Reicht es nicht alleine schon, dass die Matrix [mm] Q-\lambda*E [/mm] keine eindeutige Lösung besitzt (was ja bedeutet, dass die Determinante 0 ist).
Dann zu diesem [mm] Q^{9}T. [/mm] Ich kann mir gut vorstellen, dass da einfach ein Vielfaches der Matrix herauskommt, aber ein wie-viel-faches der Matrix denn? Und ist das denn überhaupt der Fall? Kann mir da bitte jemand weiterhelfen?
Dank im Voraus
Bquadrat
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:50 So 02.06.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
zur Probe: du zeigst ja nicht, dass das wirklich Eigenvektoren sind, nur dass die Eigenwerte stimmen. und wenn du dich bei denen verrechnet hast auch das nicht. also einfach dien EV v mit Q mult und fesstellen dass [mm] \lambda*v [/mm] rauskommt. (3 kurze Rechnungen.
zu2. was ergibt Q*T, das solltest du direkt hinschreiben koennen! damit Q*Q*T usw
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:00 Mo 03.06.2013 | | Autor: | helicopter |
Hallo,
dir ist ein kleiner Fehler unterlaufen:
> Die Eigenvektoren zu den Eigenwerten lauten wie folgt:
> Zu [mm]\lambda_{1}[/mm] habe ich
> [mm]\vec{v_{1}}=\alpha\vektor{-0,5 \\ -0,5 \\ 1}[/mm]
> dabei habe
> ich [mm]\alpha=2[/mm] gewählt
> Zu [mm]\lambda_{2}[/mm] habe ich
> [mm]\vec{v_{2}}=\beta\vektor{1 \\ 1 \\ 1}[/mm]
> dabei habe ich
> [mm]\beta=1[/mm] gewählt
> Zu [mm]\lambda_{3}[/mm] habe ich
> [mm]\vec{v_{3}}=\gamma\vektor{\bruch{-13}{2} \\ \bruch{5}{2} \\ 1}[/mm]
>
> dabei habe ich [mm]\gamme=2[/mm] gewählt
> Und dann lautet die Matrix T
> [mm]\pmat{ -1 & 1 & -13 \\ -1 & 1 & 5 \\ 2 & 1 & 1 }[/mm]
Sie sollte dann so aussehen:
[mm] \pmat{ -1 & 1 & -13 \\ -1 & 1 & 5 \\ 2 & 1 & 2 }
[/mm]
Gruß helicopter
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