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Guten Morgen,
ich hoffe es kann mir jemand bei der folgenden Aufgabe helfen bzw. einen Ansatz geben:
Der Graph einer ganzrationalen Funktion 3.Grades hat in P(0/0) einen Wendepunkt und in Q (-2/2) eine waagerechte Tangente. Bestimmen sie die Funktionsgleichung dieser Funktion.
Die Gleichung muss der Form [mm] f(x)=mx^{3}+n [/mm] entsprechen oder?!
sunflower86
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Upps, ich hab da wohl ganz schön falsch gedacht! Danke schonmal für die richtige "Ursprungsform" der Funktion! Wenn ich P(0/0) einsetze, komme ich auf d=0 und bei Q(-2/2) komme ich auf 0=-8a+4b-2c-2 und nicht 0=-4a+2b-c!
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Ich habe Q nicht in die 1.Ableitung, sondern in die Ausgangsgleichung gesetzt! Das war wohl falsch, wie mir scheint?! Die erste Ableitung lautet:
[mm] f^{'}=3a x^{2}+2bx+c
[/mm]
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Hallo nochmal,
oder muss ich P(0/0) statt in die Ausgangsgleichung, in die 2.Ableitung einsetzen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:30 So 13.02.2005 | | Autor: | Loddar |
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> oder muss ich P(0/0) statt in die Ausgangsgleichung, in
> die 2.Ableitung einsetzen?
Sowohl als auch.
Da P(0, 0) ein Wendepunkt sein soll, muß gelten : [mm] $f''(x_W) [/mm] \ = \ f''(0) \ = \ 0$.
Und der Funktionswert von x=0 ist ebenfalls y=0, also : $f(0) \ = \ 0$
Loddar
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Achtung geändert!!!!!!!!!
Stimmt das Folgende?
Q in [mm] f^{'}:
[/mm]
2=12a-4b+c /-2
0=12a-4b+c-2
P in [mm] f^{''}:
[/mm]
0=2b
b=0
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Ich hab eine Funktionsgleichung raus, weiß aber nicht ob sie richtig ist! Ich kann ja falsch gedacht oder gerechnet haben!!
[mm] f(x)=\bruch{3}{8} x^{3}-2,5x [/mm] b=d=0
Q in [mm] f^{'}: [/mm]
0=12a-4b+c-2
0=12a+c-2, da b=0
nach c umgestellt:
c=-12a+2
Q in Ausgangsgleichung:
2=-8a+4b-2c
0=-8a-2c-2
c einsetzen in 0=-8a-2c-2:
0=16a-6
a= [mm] \bruch{3}{8}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] c=-12a+2
[mm] c=-12\*\bruch{3}{8}+2
[/mm]
c=-2,5
Stimmt die Rechnung?
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also du hast deine süße kleine fkt dritten grades.
als erwsten als tipp von mir sollstest du dir die punkte die eh gegeben sind. wie in deinem Fall der Wendepunkt (0|0) einfach mal in die fkt einsetzen meistens fliegt dann das d eh raus.
f(x)= a [mm] x^{3}+b x^{2}+cx+d [/mm] /setze den punkt (0|0)ein.
0=a [mm] 0^{3}+b 0^{2}+0x+d
[/mm]
0=d
so dann haste schonmal die ersten punkte. dann gehst du hin und verdeutlichst dir mal in nem kästechen am rand oder auf nem schmierblatt was die einzelnen dinge heißen.
also in deinem Fall:
Punkt (0|0) ist wendepunkt.
f´´(x)=0
f´´´(x) [mm] \not=0
[/mm]
Q(-2|2)hat waagerechte tangente
->erste ableitung muss gleich 0 sein.
so dann siehst du das du die ersten 3 ableitungen brauchst und dann bildest du sie.
f(x)=a [mm] x^{3}+b x^{2}+cx+d
[/mm]
f´(x)= 3a [mm] x^{2}+2b [/mm] x+c
f´´(x)=6ax+2b
f´´´(x)=6a
so dann grasst du alle. vorher aufgestellten bedingungen ab .
also für (0|0) muss die zweite ableitung gleich 0 sein.
f´´(x)=6ax+2b
0=6a*0+2b
0=2b
0=b
f´´´(0) [mm] \not=0 [/mm] sein
0 [mm] \not=6a
[/mm]
damit bist du jetzt nicht wirklich schlkauer sondern du weißt nur das a verschieden von 0 sein muss.
so dann hast du den punkjt (0|0) ausgeschöpft, du hast den punkt eingesetzt und die bedingungen für Wendepunkte überprüft. mehr geht nicht.
aber du hast ja noch einen punkt. Q(-2|2)
so damit kannst du ja erstmal das geliche verfahren anstreben also den punkt einsetzen.
f(x)=a [mm] x^{3}+cx [/mm] /habe hier schon b=d=0 berücksichtigt
f(-2)=a* [mm] -2^{3}+c*(-2)
[/mm]
2=-8a-2c |-2
0=-8a-2c-2 so das ist eine gleichung.
so dann nimmst du die f´ und setzt dort auch für x=-2 ein, und in da dort die tangente waagerecht ist =0
also:
f´(x)= 3a [mm] x^{2}+2b [/mm] x+c
0= 3a [mm] (-2)^{2}+c [/mm] |b=0 (hier ist dein fehler 2*0*x=0 und nicht x)
0=12a +c |-c
-c=12a |*(-1)
c=-12a das ist aucheine gleichung also kannst du ein lineares gleichgungssystem erstellen.
I: 0=-8a-2c-2 so das ist eine gleichung.
II: c=-12a
II in I
0=-8a-2*(-12a)-2
0=-8a+24a-2
0=16a-2 |+2
2=16a |/16
[mm] \bruch{1}{8}=a
[/mm]
so jetzt nimmst du dir die II gleichung c=-12a und setzt a ein
c=-12* [mm] \bruch{1}{8}
[/mm]
c=- [mm] \bruch{12}{8}
[/mm]
c= [mm] -\bruch{3}{4}
[/mm]
also bekommst du heraus:
[mm] f(x)=\bruch{1}{8} x^{3}-\bruch{3}{4}x
[/mm]
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Danke erstmal für die sehr umfangreiche Erklärung!  Ich habe meinen Fehler gefunden! Als ich Q in die 1.Ableitung eingesetzt habe, habe ich die Ableitung nicht 0 gesetzt, sondern für y 2 eingesetzt. Deshalb kam ich auf ein fehlerhaftes Ergebnis!
Dir ist ein kleiner Fehler unterlaufen:
c= -12a
c=-12 [mm] \*\bruch{1}{8}
[/mm]
[mm] c=-\bruch{3}{2} [/mm] und nicht [mm] c=-\bruch{3}{4}
[/mm]
Aber ist ja nicht schlimm, hab ja nachgerechnet!
Vielen Dank für die Hilfe und noch einen schönen Sonntag! Sunflower :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:35 So 13.02.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Sunflower!
Schön aufgepasst (und nicht nur blind abgeschrieben) ... ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Endergebnis: $f(x) \ = \ [mm] \bruch{1}{8}x^3 [/mm] - [mm] \bruch{3}{2}x$
[/mm]
Loddar
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![[sunny]](/images/smileys/sunny.gif "[sunny]"){kind=small}
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]"){kind=small}
Was hast Du denn hier gerechnet?
