Bestimmen einer Mac L.Reihe < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:12 Mi 30.10.2013 | | Autor: | bquadrat |
| Aufgabe | Zu bestimmen sind die Summanden der Mac Laurin'schen Reihe bis zum Grad 5 der Funktion
[mm] f(x)=e^{sin(x)} [/mm] |
Habe bei dieser Aufgabe jetzt zahlreiche Ansätze versucht, bisher leider fruchtlos....
Z.B. kennt man die M.L.Reihe für [mm] e^{x}:
[/mm]
[mm] e^{x}=\summe_{n=1}^{\infty}(\bruch{x^{n}}{n!})
[/mm]
Habe mir überlegt die M.L.Reihe vom Sinus hier einzusetzen, aber dann muss ich diese Reihe mit der Potenz n verrechnen, was schon recht kompliziert und schreibaufwendig klingt (geschweige denn ob ich das überhaupt berechnen könnte). Könnte mir jemand beim Ansatz und allgemein bei der Bearbeitung der Aufgabe helfen?
Dank im Voraus
Bquadrat
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:51 Mi 30.10.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Der sinnvollste Weg ist meiner Meinung nach, die Maclaurinsche Reihe des Sinus hier einzusetzen, also:
[mm] \sin(x)=\sum\limits_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\cdot\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}
[/mm]
Somit gilt:
[mm] e^{\sin(x)}=e^{\left(\sum\limits_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\cdot\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}\right)}
[/mm]
Dann kannst du nämlich die Potenzgesetze anwenden.
Marius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:19 Do 31.10.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo
>
> Der sinnvollste Weg ist meiner Meinung nach, die
> Maclaurinsche Reihe des Sinus hier einzusetzen, also:
>
> [mm]\sin(x)=\sum\limits_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\cdot\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}[/mm]
>
> Somit gilt:
>
> [mm]e^{\sin(x)}=e^{\left(\sum\limits_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\cdot\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}\right)}[/mm]
>
> Dann kannst du nämlich die Potenzgesetze anwenden.
hallo Marius,
Das wird nicht zum Gewünschten führen, denn
[mm] e^{\summe_{n=0}^{\infty}a_n}=\produkt_{n=0}^{\infty}e^{a_n}
[/mm]
Gruß FRED
>
> Marius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 06:09 Do 31.10.2013 | | Autor: | fred97 |
> Zu bestimmen sind die Summanden der Mac Laurin'schen Reihe
> bis zum Grad 5 der Funktion
>
> [mm]f(x)=e^{sin(x)}[/mm]
> Habe bei dieser Aufgabe jetzt zahlreiche Ansätze
> versucht, bisher leider fruchtlos....
> Z.B. kennt man die M.L.Reihe für [mm]e^{x}:[/mm]
> [mm]e^{x}=\summe_{n=1}^{\infty}(\bruch{x^{n}}{n!})[/mm]
> Habe mir überlegt die M.L.Reihe vom Sinus hier
> einzusetzen, aber dann muss ich diese Reihe mit der Potenz
> n verrechnen, was schon recht kompliziert und
> schreibaufwendig klingt (geschweige denn ob ich das
> überhaupt berechnen könnte). Könnte mir jemand beim
> Ansatz und allgemein bei der Bearbeitung der Aufgabe
> helfen?
Die gesuchten Summanden sehen doch so aus:
[mm] \bruch{f^{(k)}(0)}{k!}x^k, [/mm] k=0,1,...,5
Berechne also die Ableitungen
FRED
>
> Dank im Voraus
>
> Bquadrat
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:45 Do 31.10.2013 | | Autor: | bquadrat |
Hmmm okay ja daran dachte ich auch, aber da es nach einer Weile ziemlich hässlich aussieht, dachte ich, es gäbe vielleicht einen schöneren Weg :) aber Dankeschön :)
[mm] b^{2}
[/mm]
|
|
|
|
