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Forum "Lerngruppe LinAlg" - Bestimmen einer Matrix
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Bestimmen einer Matrix: Aufg. 3.5
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:54 Sa 11.11.2006
Autor: diego

Aufgabe
Sei X eine Matrix über [mm] \IR, [/mm] so dass die Gleichung

1 1 1 5             1 1 1
0 1 1 2     X  =  2 0 1
1 0 1 4             1 1 2
1 1 0 3             0 1 1

erfüllt ist. Bestimmen Sie X.

Hallo,
hab mal wieder viele Sachen probiert und keine klappt richtig...

Also mein Ansatz war folgender (Ich nenne die erste Matrix (die mit X multiplizirt wird) A und die zweite B):

Da A eine 4 x 4 Matrix ist und B eine 4 x 3 Matrix ist, muss X auch eine 4 x 3 Matrix sein, da (4x4)(4x3) eine (4x3) Matrix ergibt.

Dann habe ich es so aufgeschrieben (ich schreibe jezt die drei Spalten untereinander):

1. Spalte:

[mm] 1*x_{11} +1*x_{21} +1*x_{31} +5*x_{41} [/mm] = 1
[mm] 0*x_{11} +1*x_{21} +1*x_{31} +2*x_{41} [/mm] = 2
[mm] 1*x_{11} +0*x_{21} +1*x_{31} +4*x_{41} [/mm] = 1
[mm] 1*x_{11} +1*x_{21} +0*x_{31} +3*x_{41} [/mm] = 0

2. Spalte:

[mm] 1*x_{12} +1*x_{22} +1*x_{32} +5*x_{42} [/mm] = 1
[mm] 0*x_{12} +1*x_{22} +1*x_{32} +2*x_{42} [/mm] = 0
[mm] 1*x_{12} +0*x_{22} +1*x_{32} +4*x_{42} [/mm] = 1
[mm] 1*x_{12} +1*x_{22} +0*x_{32} +3*x_{42} [/mm] = 1

3. Spalte:

[mm] 1*x_{13} +1*x_{23} +1*x_{33} +5*x_{43} [/mm] = 1
[mm] 0*x_{13} +1*x_{23} +1*x_{33} +2*x_{43} [/mm] = 1
[mm] 1*x_{13} +0*x_{23} +1*x_{33} +4*x_{43} [/mm] = 2
[mm] 1*x_{13} +1*x_{23} +0*x_{33} +3*x_{43} [/mm] = 1

So jetzt dachte ich könnte ich beispielsweise in der ersten Spalte [mm] x_{11} [/mm] = 1 setzen und darüber die anderen bestimmen, aber irgendwie ist eine Gleichung dann immre nicht erfüllt.

Kann mir bitte jemand einen Tipp geben??

Danke

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Bestimmen einer Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:25 Sa 11.11.2006
Autor: DaMenge

Hi,

naja eigentlich hast du jetzt 12 Gleichungen mit 12 Unbekannten - also könnte man alle sauber nebeneinander aufschreiben (die Variablen, die NICHT in einer Gleichung auftauchen erhalten die Koeffizienten 0) und Gauß drauf los lassen..

du hast aber schon erkannt, dass man auch einfach die drei einzelnen Gleichungssysteme mit 4 variablen lösen kann (und sich nur die rechte Seite ändert) - also könntest du dreimal einen einfacheren Gauß anwenden...

oder du berechnest ganz einfach die Inverse der Matrix A, wobei A*X=B sein sollte, dann ist nämlich [mm] X=A^{-1}*B [/mm]
(nichts anderes macht übrigens der Gauß spaltenweise ...)
das geht recht schnell mit MBGauß-Jordan

viele Grüße
DaMenge

Bezug
        
Bezug
Bestimmen einer Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:27 Sa 11.11.2006
Autor: Martin243

Hallo,

du darfst natürlich nicht einfach [mm] $x_{11}=1$ [/mm] setzen, wenn du keinen Anhaltspunkt dafür hast. Da muss nämlich eine 2 hin. (Das kann ich nur sagen, weil ich das GLS gelöst habe.)

Mein Tipp für die erste Spalte wäre:
Subtrahiere vom Doppelten der ersten Gleichung die Summe der darauffolgenden drei Gleichungen. Dann bekommst du:
[mm] $x_{41} [/mm] = -1$

Das kannst du mit allen drei Gleichungsblöcken machen, weil sie alle gleich aufgebaut sind.

Wenn du dann alle [mm] $x_{4i}$ [/mm] kennst, kanns du in jedem Block von der zweiten Gleichung die dritte und die vierte abziehen. So kommst du an die [mm] $x_{1i}$. [/mm]

Den Rest schaffst du sicher auch.


Gruß
Martin


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Bestimmen einer Matrix: Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:32 So 12.11.2006
Autor: diego

Danke für eure Tips, konnte die Aufgabe jetzt lösen!!!

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