Bestimmen eines Teilraumes < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:13 Di 14.11.2006 | | Autor: | der_emu |
| Aufgabe | | Bestimme den Teiraum von [mm] R^3, [/mm] welcher mit den [mm] Vektoren(v_1= (1,0,-1),v_2=(1,1,1),v_3=(0,1,1) [/mm] erzeugt wird. |
Hallo,
als anleitung steht noch folgendes dabei: sei (x,y,z) [mm] \in [/mm] dieses Teilraumes. Es gibt also: (x,y,z)=a [mm] v_1 [/mm] + b [mm] v_2 [/mm] +c [mm] v_3.
[/mm]
Nun soll man a,b,c durch x,y,z ausdrücken.
Ich habe also ein Gleichungssystem aufgestellt und das gelößt. Meine Lösungen sind:
a=y-z
b=x-y+z
c=-x+2y-z
Was sagt mir das jetzt?
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> Bestimme den Teiraum von [mm]R^3,[/mm] welcher mit den [mm]Vektoren(v_1= (1,0,-1),v_2=(1,1,1),v_3=(0,1,1)[/mm]
> erzeugt wird.
> Hallo,
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> als anleitung steht noch folgendes dabei: sei (x,y,z) [mm]\in[/mm]
> dieses Teilraumes. Es gibt also: (x,y,z)=a [mm]v_1[/mm] + b [mm]v_2[/mm] +c
> [mm]v_3.[/mm]
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> Nun soll man a,b,c durch x,y,z ausdrücken.
>
> Ich habe also ein Gleichungssystem aufgestellt und das
> gelößt. Meine Lösungen sind:
> a=y-z
> b=x-y+z
> c=-x+2y-z
>
> Was sagt mir das jetzt?
Hallo,
ich weiß leider nicht, wie weit Ihr in der Vorlesung seid.
Jedenfalls ist es so, daß die drei Vektoren linear unabhängig sind, und somit ist der von ihnen erzeugte Teilraum U der [mm] \IR^3 [/mm] in seiner ganzen Pracht.
Wenn man diesen Verdacht - wie auch immer! - ersteinmal geschöpft hat, kann man schreiben:
Sei U der von [mm] v_1,v_2,v_3 [/mm] erzeugte Unterraum.
Beh.: Es ist [mm] U=\IR^3.
[/mm]
Zu beweisen ist nun zweierlei: 1. U [mm] \subseteq \IR^3
[/mm]
2. [mm] \IR^3 \subseteq [/mm] U
zu 1.: Das ist klar.
zu 2.: Hier ist nun zu zeigen, daß jedes (x,y,z) [mm] \in \IR^3 [/mm] auch in U liegt.
Was bedeutet dieses In-U-Liegen?
Daß man für jedes (x,y,z) [mm] \in \IR [/mm] passende a,b,c findet, so daß
(x,y,z)=a [mm]v_1[/mm] + b [mm]v_2[/mm] +c [mm]v_3.[/mm]
Und diese passenden a,b,c hast Du Dir soeben ausgerechnet!
Du kanst schreiben:
Sei (x,y,z) [mm] \in \IR^3 [/mm] .
Es ist (x,y,z)=(y-z) [mm]v_1[/mm] + (x-y+z) [mm]v_2[/mm] +(-x+2y+z) [mm]v_3.[/mm] [mm] \in [/mm] U.
Also ist [mm] \IR^3 \subseteq [/mm] U.
Gruß v. Angela
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