Bestimmen linearer Abbildung < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:57 Mo 17.05.2010 | | Autor: | sesc |
| Aufgabe | Eine lineare Abbildung φ : R3 → R2 wird bezüglich der kanonischen Basen des R3 bzw. R2 durch die Matrix
A = 1 2 1
−1 0 2
beschrieben.
Bestimmen Sie die lineare Abbildung [φ]C,B bezüglich der Basen B und C.
Diese sind gegeben durch B = {(−1, 2, 3)T , (−1, 0, 1)T , (2, 3, 2)T } des R3 und C = {(1, 2)T , (0, 3)T } des R2. |
Also ich habe da gerade keine Idee was da zu machen ist und im Skriptum steht dazu konkret auch nichts.
Muss ich eine Abbildungsmatrix erstellen?
Wäre froh, wenn mir jemand dazu Ansätze oder Denkanstöße geben könnte.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Eine lineare Abbildung φ : R3 → R2 wird bezüglich der
> kanonischen Basen des R3 bzw. R2 durch die Matrix
>
> A = 1 2 1
> −1 0 2
>
> beschrieben.
>
> Bestimmen Sie die lineare Abbildung [φ]C,B bezüglich der
> Basen B und C.
> Diese sind gegeben durch B = {(−1, 2, 3)T , (−1, 0,
> 1)T , (2, 3, 2)T } des R3 und C = {(1, 2)T , (0, 3)T } des
> R2.
> Also ich habe da gerade keine Idee was da zu machen ist
> und im Skriptum steht dazu konkret auch nichts.
> Muss ich eine Abbildungsmatrix erstellen?
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Ja, genau. Gefordert ist die Abbildungsmatrix von [mm] \varphi [/mm] bzgl der Basen B im Start- und C im Zielraum.
Wissen muß man:
in den Spalten der gesuchten Darstellungsmatrix (im "meiner Schreibweise: [mm] _CM(\varphi)_B [/mm] ) stehen die Bilder der Basisvektoren von B in Koordinaten bzgl C.
Damit steht der Plan... Leg' mal los.
Oder, in Form eines Kochrezeptes:
Wenn B die Matrix ist, die die Basisvektoren von B in den Spalten enthält und C die mit den Basisvektoren von C, dann ist
[mm] _CM(\varphi)_B= C^{-1}*A*B
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:11 Di 18.05.2010 | | Autor: | sesc |
besten dank für die ausführliche antwort. bei mir kommt als lösung dann folgendes:
12 -18 78
21 9 6
kannst du das bestätigen?
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Hallo Sebastian,
> besten dank für die ausführliche antwort. bei mir kommt
> als lösung dann folgendes:
>
> 12 -18 78
> 21 9 6
>
> kannst du das bestätigen?
Ich habe auf beide Weisen, die Angela gezeigt hat, nur mal die erste Spalte der gesuchten Matrix berechnet.
Und die sieht ganz anders aus als bei dir, ich kann dein Ergebnis also niht bestätigen ...
Rechne am besten vor, was du gemacht hast ...
Und verwende für die Eingabe der Matrizen bitte den Formeleditor unterhalb des Eingabefensters, einfach auf die Matrix klicken, dann wird der code angezeigt.
Dann finden wir mit Sicherheit den Fehler ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:31 Di 18.05.2010 | | Autor: | sesc |
Also ich habe B = [mm] \pmat{ 1 & -1 & 2 \\ 2 & 0 & 3 \\ 3 & 1 & 2 } [/mm] sowie C^-1 = [mm] \pmat{ 9 & -6 \\ 0 & 3 } [/mm] aus den Basisvektoren ermittelt.
Dann habe ich C^-1 mit A multipliziert und das Ergebnis daraus mit B. Wie es im Kochrezept formuliert war.
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Hallo nochmal,
> Also ich habe B = [mm]\pmat{ \red{-}1 & -1 & 2 \\ 2 & 0 & 3 \\ 3 & 1 & 2 }[/mm]
vertippt!
> sowie C^-1 = [mm]\pmat{ 9 & -6 \\ 0 & 3 }[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Mit [mm] $C=\pmat{1&0\\2&3}$ [/mm] ist dein [mm] $C^{-1}$ [/mm] falsch!
Man sieht doch direkt, dass [mm] $C\cdot{}C^{-1}$ [/mm] im Eintrag [mm] $a_{11}$ [/mm] eine 9 hat, also nicht die Einheitsmatrix sein kann ...
Rechne vor!
> aus den Basisvektoren
> ermittelt.
>
> Dann habe ich C^-1 mit A multipliziert und das Ergebnis
> daraus mit B. Wie es im Kochrezept formuliert war.
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:51 Di 18.05.2010 | | Autor: | sesc |
ok bei B hab ich mich vertippt, aber ich weiß nicht wo bei C^-1 der Fehler liegt, Die Determinante ist 3, ahh ich glaube ich habe nicht mit 1/3 sondern mit 3 multipliziert. somit wäre C^-1 = [mm] \pmat{ 1 & -2/3 \\ 0 & 1/3 }
[/mm]
Dann erhalte ich aus C^-1*A = [mm] \pmat{ 3 & 2 & -3 \\ -1 & 0 & 2 }
[/mm]
und das *B = [mm] \pmat{ -8 & -6 & 6 \\ 7 & 3 & 2 }
[/mm]
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Hallo nochmal,
> ok bei B hab ich mich vertippt, aber ich weiß nicht wo
> bei C^-1 der Fehler liegt, Die Determinante ist 3, ahh ich
> glaube ich habe nicht mit 1/3 sondern mit 3 multipliziert.
> somit wäre C^-1 = [mm]\pmat{ 1 & -2/3 \\ 0 & 1/3 }[/mm]
Hier hast du Zeilen und Spalten vertauscht!
Es ist [mm] $C^{-1}=\pmat{1&0\\-\frac{2}{3}&\frac{1}{3}}$
[/mm]
>
> Dann erhalte ich aus C^-1*A = [mm]\pmat{ 3 & 2 & -3 \\ -1 & 0 & 2 }[/mm]
>
> und das *B = [mm]\pmat{ -8 & -6 & 6 \\ 7 & 3 & 2 }[/mm]
>
Nicht ganz ...
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:06 Di 18.05.2010 | | Autor: | sesc |
ups, ja da habe ich b und c auch vertauscht.
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