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Forum "Mathematik-Wettbewerbe" - Bestimmen natürlicher Zahlen
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Bestimmen natürlicher Zahlen: Frage (für Interessierte)
Status: (Frage) für Interessierte Status 
Datum: 14:58 Mi 03.10.2007
Autor: Xath

EDIT: Anmerkung des Moderators am 12.10.07:
Diese Aufgabe ist eine Wettbewerbsaufgabe, welche ohne entsprechenden Hinweis gestellt wurde, also den Forenregeln widerspricht.
Ich bitte darum, keine unerlaubten Hilfen zu geben.


Aufgabe

Ermittle alle natürlichen 10-stelligen Zahlen z, die folgende Bedingungen erfüllen:
1) in der Dezimaldarstellung von z kommt jede der Ziffern 0-9 genau einmal vor
2) letzte Ziffer ist 0 und 5. Ziffer ist 5
3) Ziffer 2;4;6;8 müssen gerade sein
4) Ziffer 1;3;7;9 müssen ungerade sein
5) Quersumme der ersten 3 Ziffern muss durch 3 teilbar sein
6) ersten 4 Ziffern müssen durch 4 teilbar sein
7) ersten 6 Ziffern müssen durch 2 und 3 teilbar sein
8) ersten 7 Ziffern müssen durch 7 teilbar sein
9) 3 letzten Ziffern aus den ersten 8 Ziffern gebildete Zahl müssen durch 8 teilbar sein
10) ersten 9 Ziffern müssen durch 9 teilbar sein

Hallo!

Hab vom meinem Mathelehrer diese Aufgabe gestellt bekommen und seh da nicht wirklich durch.
Hab versucht über systematisches Probieren die Zahlen zu finden, aber das sind viele Möglichkeiten der Zahlenzusammensetzung und liefert auch keinen eindeutigen Beweis, dass es keine weiteren Zahlen gibt, die diese Bedingungen erfüllen.

Würde mich freuen, wenn jemand einen schnelleren Lösungsweg für diese Aufgabe mir sagen könnte und wie man darauf kommt.

        
Bezug
Bestimmen natürlicher Zahlen: Kombinatorik
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:37 Mi 03.10.2007
Autor: Vreni

Hallo Xath,
das schaut mir doch sehr nach einer Kombinatorik-Aufgabe aus.
Das heißt, in den meisten Fällen ist es nur sinnvoll, anzugeben, wie man solche Zahlen bilden kann und wieviele der Sorte es gibt, da es sehr viele mögliche Zahlen geben kann, ich zeigs dir gleich am ersten Beispiel:

1)Jede Ziffer von 0-9 kommt genau einmal vor
Ich fange mal mit der 1.Ziffer an: für diese hast du 9 Müglichkeitn, nämlich 1,2,3,4,5,6,7,8 oder 9 (0 kannst du nicht nehmen, sonst wäre die Zahl nicht mehr echt 10stellig). Für die nächste Ziffer gibt es wieder 9 Möglichkeiten, nämlich die 0 und alle Ziffern von 1-9 bis auf die, die schon die 1.Ziffer ist. So verringert sich jetzt die Anzahl der Ziffern, die du nehmen kannst, immer um 1, insgesamt gibt es 9*9*8*7*6*5*4*3*2*1=9*9!=3265920 Möglichkeiten, eine solche Zahl zu bilden.
Und bei so vielen Zahlen kann ich mir nciht vorstellen, dass du die wirklich alle einzeln aufschreiben kannst. Aber immerhin kannst du jetzt sagen, dass es genau so viele Zahlen mit dieser Eigenschaft gibt, weil in die Überlegungen alle Möglichkeiten einbezogen wurden.

2)letzte Ziffer ist 0 und 5. Ziffer ist 5
Das heißt, du stellst nur Bedingungen an 2 Ziffern, die anderen 8 kannst du (fast) frei wählen. Du musst nur bedenken, dass die erste wieder nicht 0 sein darf. Also: Für die erste Ziffer 9 Möglichkeiten, für die 2.-4. jeweils 10 Möglichkeiten, für die 5.Ziffer eine Möglichkeit (eben die 5), für die 6.-9.Ziffer wieder jeweils 10 Möglichkeiten. Insgsamt also: [mm] 9*10^3*1*10^4*1=10^7*9=90000000 [/mm] Möglichkeiten.

Versuch jetzt mal die anderen Aufgaben nach diesem Schema zu lösen: an welche Ziffern werden Bedingungen gestellt, wieviel Möglichkeiten habe ich dann an dieser Stelle Ziffern zu wählen, wieviele Möglichkeiten für die gesamte Zahl gibt es dann (dafür einfach die Anzahl der Möglichkeiten für die einzelnen Ziffern multiplizieren).

Gruß,
Vreni

Bezug
                
Bezug
Bestimmen natürlicher Zahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:46 Mi 03.10.2007
Autor: Xath

Ich muss aber alle 10-stelligen Zahlen herausfinden, die alle 10 Bedingungen erfüllen und nicht wieviele Möglichkeiten es zu jeder Bedingung gibt

wie kann man diese Zahlen finden?

Bezug
        
Bezug
Bestimmen natürlicher Zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:48 Mi 03.10.2007
Autor: Blech

Du brauchst die ganzen Regeln für []Teilbarkeit.

Damit kannst Du die Anzahl der Möglichkeiten einschränken.

Mit Ausnahme von:

>  10) ersten 9 Ziffern müssen durch 9 teilbar sein

Das ist auf jeden Fall erfüllt, weil die Quersumme durch 9 teilbar ist.



Bezug
                
Bezug
Bestimmen natürlicher Zahlen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:54 Mi 03.10.2007
Autor: Xath

Könnte ihr mir den Lösungsweg genau erklären, seh da immer noch nicht durch und finde die Zahlen nicht

Bezug
        
Bezug
Bestimmen natürlicher Zahlen: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 23:50 Do 11.10.2007
Autor: koepper

Diese Frage entstammt ebenfalls der aktuellen Mathe-Olympiade!! Frage Nr. 471311

Du hast eine weitere Frage "Anwendungsaufgabe" gestellt, die aus der Olympiade kommt.
Es sieht sehr deutlich danach aus, daß du versuchst dir hier einen unerlaubten Vorteil zu verschaffen.

Ich würde allen empfehlen, solche Fragen fairerweise NICHT zu beantworten.

Gruß
Will

Bezug
                
Bezug
Bestimmen natürlicher Zahlen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 02:25 Fr 12.10.2007
Autor: Kroni

Hallo Xath,

da diese Aufgabe wohl aus der aktuellen Mathe-Olympiade stammt bitte ich dich, in Zukunft solche Fragen bezüglich eines Wettbewerbes auch als solche zu Kennzeichnen (s.h. Forenregeln)! Das ist doch unfair allen anderen gegenüber, die sich selbst Gedanken um die Fragen machen, und du lässt dir die Fragen hier einfach so lösen, und gaukelst uns vermutlich falsche Tatsachen vor.
Also: Halte dich bitte in Zukunft an die Forenregeln!!

LG

Kroni

Bezug
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