Bestimmen von Endziffern < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:51 Sa 24.11.2012 | | Autor: | blck |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie die Endziffern von 16¹⁰⁰ und 17¹⁰⁰ |
Hallo,
so mal wieder eine neue Hausaufgabe. Und wieder sitz ich davor und frag mich ob ich in den Vorlesungen geschlafen hab. Egal.
Ich hab jetzt durch viel googeln rausbekommen, dass ich mod 1000 rechnen müsste, um die letzten drei Endzffern der Zahl herauszubekommen. Oder meint meine Professoren nur die letzte Zahl? Dann wäre es doch mod 10 oder?
Wie rechne ich das ganze?
Gruß blck
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Hallo,
> Bestimmen Sie die Endziffern von 16¹⁰⁰ und 17¹⁰⁰
> Hallo,
> so mal wieder eine neue Hausaufgabe. Und wieder sitz ich
> davor und frag mich ob ich in den Vorlesungen geschlafen
> hab. Egal.
> Ich hab jetzt durch viel googeln rausbekommen, dass ich
> mod 1000 rechnen müsste, um die letzten drei Endzffern der
> Zahl herauszubekommen. Oder meint meine Professoren nur die
> letzte Zahl? Dann wäre es doch mod 10 oder?
also wenn da keine Anzahl gegeben ist, dann würde ich schon sagen, dass es um die jeweils letzte Ziffer geht (obwohl die Aufgabe dann sehr einfach wird). Und ja: mod 10 ist der richtige Ansatz.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:04 Sa 24.11.2012 | | Autor: | blck |
Hallo,
das ging schnell. Ok nur was rechne ich jetzt mod 10? ;)
Danke für die Hilfe,
blck
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Hallo blck,
> Ok nur was rechne ich jetzt mod 10? ;)
Na, [mm] 6^{100} [/mm] und [mm] 7^{100} \mod{10}, [/mm] wenn ich Deinen ersten Post richtig verstehe. Dass da 16 und 17 steht, ist für diese Modulrechnung ja nicht erheblich.
Wie würdest Du diese Potenzen am zeitsparendsten ermitteln, wenn Du keinen Rechner hättest?
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:19 Sa 24.11.2012 | | Autor: | blck |
Hallo,
entweder ich habe es vergessen oder ich habe es noch nie gemacht. Ich meine bisher immer mit kleinen Potenzen gerechnet zu haben. Oder ich bin verblendet. Kurz: ich habe keine Ahnung.
Danke für die Mühe,
blck
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Hallo,
ich glaube, reverend meinte die Anwendung von binomischen Formeln, etwa
7^100=(10-3)^100
Das kann man nicht im Kopf rechnen, aber die letzte Ziffer schon. Wobei es dir hier die Vereinfachung bringt, dass du die letzte Ziffer von 3^100 finden musst. Das Problem ist also im Prinzip noch das gleiche, aber vielleicht ein wenig einfacher zu handeln.
Wenn du die Multiplikation von Restklassen kennst, dann multipliziere einfach [mm] [7]_{10} [/mm] so oft mit sich selbst, bis dir etwas auffällt. Zähle insbesondere, wie oft du bis dahin multipliziert hast.
Wenn dir das nichtssagt: dann rechne doch mal mit dem taschenrechner 7*7*7*...
ebenfalls so lange, bis das Zehnerle gefallen ist. 
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:47 Sa 24.11.2012 | | Autor: | blck |
Hallo,
> 7^100=(10-3)^100
war jetzt nur ein Beispiel oder? Hier wäre es ja so, dass sich die entziffern nach jeder 4ten Multiplikation wiederholen, sprich 7,9,3,1 usw. Wäre dann nach der 100 Multiplikation die Endziffer eine 1?
Mittlerweile habe ich durch den Taschenrechner dass auch mal für 16 und 17 gemacht. Bei der 16 bleibt die Endziffer immer gleich, bei der 17 ergibt sich die Folge: 7,9,3,1. Ups jetzt merk ich gerade dass die 7 wohl doch nicht nur ein Beispiel war? Wie würde ich dass denn mit 16 mathematisch korrekt aufschreiben?
Danke blck
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Hallo,
> Hallo,
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> > 7^100=(10-3)^100
>
> war jetzt nur ein Beispiel oder? Hier wäre es ja so, dass
> sich die entziffern nach jeder 4ten Multiplikation
> wiederholen, sprich 7,9,3,1 usw. Wäre dann nach der 100
> Multiplikation die Endziffer eine 1?
> Mittlerweile habe ich durch den Taschenrechner dass auch
> mal für 16 und 17 gemacht. Bei der 16 bleibt die Endziffer
> immer gleich, bei der 17 ergibt sich die Folge: 7,9,3,1.
> Ups jetzt merk ich gerade dass die 7 wohl doch nicht nur
> ein Beispiel war? Wie würde ich dass denn mit 16
> mathematisch korrekt aufschreiben?
vor dem Aufschreiben kommt eigentlich ersteinaml die vollständige Beantwortung der Frage: damit du etwas zum Aufschreiben hast.
Bei der 16 dürfte der Fall klar sein, ist er dir bei der 17 auch klar und kannst du es begründen, dass hier die letzte Ziffer ebenfalls 7 ist?
Ich denke mal, wenn du in Zahlentheorie noch am Anfang bist, dann musst du dir hier über eine professionelle Notation keine Gedanken machen. Wichtig ist, dass du in beiden Fällen verstanden hast, weshalb die Endziffer in beiden Fällen glich bleibt.
Gruß, Diophant
>
> Danke blck
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:59 Sa 24.11.2012 | | Autor: | blck |
Hallo,
> Bei der 16 dürfte der Fall klar sein, ist er dir bei der
> 17 auch klar und kannst du es begründen, dass hier die
> letzte Ziffer ebenfalls 7 ist?
Bei der 16 ist der Fall klar weil ich es ausprobiert habe. Bei der 17 ist leider noch nichts klar ;)
Helf mir nochmal auf die Sprünge, bitte.
Blck
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Hallo,
> Helf mir nochmal auf die Sprünge, bitte.
es braucht 4 Multiplikationen, bis du die 7 wieder triffst. Hoch 100 ist gefragt und 4|100.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:14 Sa 24.11.2012 | | Autor: | blck |
Hallo,
muss leider noch eine letzte Sache fragen. Was meinst du mit 4|100?
Fast am Ziel ;),
blck
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Hallo,
> Hallo,
> muss leider noch eine letzte Sache fragen. Was meinst du
> mit 4|100?
Das bedeutet, dass 4 die 100 ohne Rest teilt. Diese Schreibweise solltest du dir einprägen!
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:49 Sa 24.11.2012 | | Autor: | blck |
Hallo,
puhh ok aber das macht Sinn. Jetzt nur noch zum Verständnis. Was wäre wenn ich nur 3 Multiplikationen bräuchte um auf die 7 zu kommen, aber weiter nach hoch 100 gefragt wäre? Weil 3|100 geht ja nicht glatt auf.
Gruß blck
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Hallo,
einen solchen 'Endziffernzyklus' der Länge 3 gibt es nicht. Aber wenn: dann hättest du 3|99 und damit [mm] 3^{100} [/mm] kongruent zu [mm] 3^1 [/mm] mod 10.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:06 Sa 24.11.2012 | | Autor: | blck |
Danke für die Mühe. Ich schätze ich werds einfach anwenden, frei nach dem Motto: Mathe versteht man nicht, man wendet es an :D
blck
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:40 Mo 26.11.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo blck,
> Danke für die Mühe. Ich schätze ich werds einfach
> anwenden, frei nach dem Motto: Mathe versteht man nicht,
> man wendet es an :D
Hm. Das klappt normalerweise höchstens bis kurz vor Ende der Mittelstufe. Mathe ist viel leichter - und macht auch bedeutend mehr Spaß! -, wenn man versteht, was man da tut und warum.
Grüße
reverend
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