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| Aufgabe | Berechnen Sie folgende bestimmte Integrale:
[mm] \integral_{-1}^{2}{\bruch{x}{x+3} dx} [/mm] |
Hallo zusammen,
ist mir ja fast ein bisschen peinlich, aber ich komm nicht auf die Stannfunktion^^
Hab gedacht das internet würde mir helfen, aber die Stammfunktion die ich durch einen onlinerechner erhalten hab, scheint mir doch recht unschlüssig.
Sie lautet: x-3 log(x+3) falls sie doch stimmen sollte, kann mir einer erklären warum?
In einer Übung bei uns hatten wir eine ähnliche aufg:
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{2}{x+3} dx}
[/mm]
bei ihr kam ich auf die Lösung: 2*ln(x+3)
kann ich bei der aktuellen aufgabe jetzt auch einfach sagen die stammfunktion lautet:
x*ln(x+3) ?
falls nicht benötige ich hilfe^^
gruß kleber
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> Berechnen Sie folgende bestimmte Integrale:
>
> [mm]\integral_{-1}^{2}{\bruch{x}{x+3} dx}[/mm]
Hallo,
[mm] \bruch{x}{x+3}=\bruch{x+3-3}{x+3}= [/mm] 1 - [mm] 3*\bruch{1}{x+3}.
[/mm]
das sollte beim Integrieren helfen...
> kann ich bei der aktuellen aufgabe jetzt auch einfach sagen die stammfunktion lautet:
> x*ln(x+3) ?
Diese Frage kannst Du Dir durch Ableiten selbst beantworten.
Gruß v. Angela
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[mm]\integral_{-1}^{2}{\bruch{x}{x+3} dx}[/mm]
Falls du die Substitutionsregel kennst, ist die Sache furchtbar einfach:
In beiden Fällen setzt du t=Nenner=x+3, was sehr naheliegend ist, da der Nenner am meisten ärgert.
Als nächstes bildest du dt/dx = Ableitung von t nach x = (x+3)' =1. Daraus ergibt sich dann dt = 1*dx = dx, was hier besonders einfach ist.
Nun ersetzt du im Integral überall das x durch t, also wegen t=x+3 ist x=t-3, und das dx durch das dt. Es ergibt sich dann
[mm]\integral_{ }^{ }{\bruch{t-3}{t} dt}=\integral_{ }^{ }{(\bruch{t}{t}-\bruch{3}{t}) dt}=\integral_{ }^{ }{(1-\bruch{3}{t}) dt}= t-3*ln(t)=x+3-3*ln(x+3)=F(x)[/mm].
Dass meine Stammfunktion - abweichend von der angegebenen Lösung - vorne statt x-3 nun x+3 heißt, ist bedeutungslos, da es unendlich viele Stammfkt. gibt, die sich allerdings nur durch einen konstanten Summanden unterscheiden dürfen.
Zu den Grenzen: Um die musst du dich nicht kümmern, wenn du nur die Stammfkt. suchst und dann - so wie ich hier - rücksubstituiertst. Du integrierst dann einfach ohne Grenzen und setzt sie ganz zum Schluss wieder ein, indem du nun F(2)-F(-1) berechnest.
Willst du nicht rücksubstituieren, also mit t arbeiten, so musst du die Grenzen in dem Moment verändern, in dem du das dx durch das dt ersetzt. Wegen t=x+3 ergibt sich dann für die Obergrenze t=2+3=5 und für die Untergrenze t=-1+3=2, und du musst schreiben:
[mm]\integral_{-1}^{2}{\bruch{x}{x+3} dx}=\integral_{2}^{5}{\bruch{t-3}{t} dt}=\integral_{2}^{5}{(\bruch{t}{t}-\bruch{3}{t}) dt}=\integral_{2}^{5}{(1-\bruch{3}{t}) dt}= t-3*ln(t)=G(t)[/mm], wobei du jetzt G(5)-G(2) berechnest.
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