Bestimmte Menge sigma Algebra < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:21 Fr 16.12.2011 | | Autor: | shadee |
| Aufgabe | | Sei p [mm] \in \mathbb{N} [/mm] und S eine Menge mit 2p Elementen. Übeprüfe (in Abhängigkeit von p) ob {A [mm] \subset [/mm] S | die Zahl der Elemente von A ist gerade} eine sigma Algebra ist und ob es ein Dynkinsystem ist. |
Ich hab raus, dass es weder noch ist. Gegenbeispiel: Sei p = 2 und S = {A,B,C,D}. Somit ist [mm] \mathcal{F} [/mm] = {S, [mm] \emptyset, [/mm] {A,B},{A,C},{A,D},{B,C},{B,D},{C,D}}. Es fehlen aber für die sigma Algebra die endlichen Vereinigungen beispielsweise {A,B} [mm] \cup [/mm] {A,C} = {A,B,C}. Welches nach Definition aber nicht in [mm] \mathcal{F} [/mm] sein soll. Das gleiche gilt für das Dynkinsystem (endliche Schnitte würde auch zum Teil einelementige Mengen liefern).
Normalerweise reicht es ja aus, ein Gegenbeispiel zu zeigen. Kanne s aber sein, dass es für größere p wieder funktioniert und muss ich dann eher das untersuchen?
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> Sei p [mm]\in \mathbb{N}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
und S eine Menge mit 2p Elementen.
> Übeprüfe (in Abhängigkeit von p) ob {A [mm]\subset[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
S | die
> Zahl der Elemente von A ist gerade} eine sigma Algebra ist
> und ob es ein Dynkinsystem ist.
> Ich hab raus, dass es weder noch ist. Gegenbeispiel: Sei p
> = 2 und S = {A,B,C,D}. Somit ist [mm]\mathcal{F}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= {S,
> [mm]\emptyset,[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{A,B},{A,C},{A,D},{B,C},{B,D},{C,D}}. Es fehlen
> aber für die sigma Algebra die endlichen Vereinigungen
> beispielsweise {A,B} [mm]\cup[/mm] {A,C} = {A,B,C}.
Das stimmt, also liegt für p=2 keine [mm] \sigma-Algebra [/mm] vor
> Welches nach
> Definition aber nicht in [mm]\mathcal{F}[/mm] sein soll. Das gleiche
> gilt für das Dynkinsystem (endliche Schnitte würde auch
> zum Teil einelementige Mengen liefern).
Schau noch mal nach, wie ihr ein Dynkin-System D definiert habt.
Beliebige Durchschnitte von Mengen aus D müssen jedenfalls nicht in D liegen, also zieht hier dein Argument nicht.
>
> Normalerweise reicht es ja aus, ein Gegenbeispiel zu
> zeigen. Kanne s aber sein, dass es für größere p wieder
> funktioniert und muss ich dann eher das untersuchen?
Da steht "Übeprüfe (in Abhängigkeit von p)", d.h. die Gültigkeit der Aussage ist für alle p zu prüfen.
Für p>2 funktioniert dein Gegenbeispiel zur [mm] \sigma-Algebra [/mm] genauso, da du dann auch {a,b} und {a,c} als Teilmengen von S betrachtet kannst. Es bleibt der Fall p=1, der gesondert betrachtet werden muss.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:03 Sa 17.12.2011 | | Autor: | shadee |
Ah natürlich. Ich war wohl etwas durcheinander. Dynkinsysteme hat nur alle endlichen Vereinigungen drin, wobei die Mengen jeweils paarweise disjunkt sind. Somit ist natürlich vorligendes Mengensystem ein Dynkinsystem, da ich nur paarweise disjunkte Mengen vereinige, die auch eine gerade Anzahl von Elementen haben und somit muss die entstehende Menge auch wieder geradzahlig sein. Danke für die Hilfe.
Beste Grüße
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