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Hallo,
ich benötige dringend Hilfe bei folgender Funktion:
12x²/(4x³-1)dx
Integrieren, obere Grenze=4 untere Grenze =1
Die Sache mit der Grenze ist relativ unwichtig, wichtig ist die Integration der Funktion.
Ich habe hier ein Hilfsskript aber die Lösung ist nicht ausführlich genug, so das ich sie nachvollziehen könnte.
Also bitte so ausführlich wie möglich!
Das wär super! :)
Danke schonmal!
Gruss
Sascha
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Äh..danke.
Aber das kriege ich doch in der Klausur nie hin.
Ausserdem haben die das im Hilfsskript mit der Substitutionsregel gemacht, und haben ln (4x³-1) raus.
Die machen hier folgendes:
ersetzen 4x³-1 durch z.
z wird nun abgeleitet.
z' = dz/dx = 12x²
dx= 1/12x²dz
Nun steht dort die Funktion Integral (1/z) * 12x³ dz = ln(z) + c
Also ln (4x³-1)
Wenn mir jetzt einer erklären kann, warum er z abgeleitet hat, und wohin z' verschwunden ist, dann komme ich vielleicht in greifbare Nähe diesen Keks zu begreifen.
Danke für eure Lösungsansätze, aber die sind zu kompliziert, als das ich die in den nächsten paar Tagen, die noch bis zur Klausur sind, so verinnerlichen kann, dass ich sie in der Klausur anwenden kann. Dafür weiss ich einfach zuwenig in der Richtung, und habe zuwenig Übung.
In Linearfaktoren zerlegen, habe ich ja schon Probleme..Partialbruchzerlegung..damit muss ich garnicht erst anfangen..:(
Bei deinem letzten Satz mit Koeffizientenvergleich, weiss ich nichtmal wie ich das mache, geschweige denn was es bringt, weil ich trotzdem immernoch Brüche habe.
Aber wenn mir jemand den obigen Weg näher bringen kann, bin ich sehr dankbar!
Grüssle
Sascha
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Vom Ergebnis her gedacht habe ich eine recht simple Vermutung, woher die ganze Konfusion kommt, und zwar von einem recht "freizügigen Umgang" mit den Zahlen 2 und 3. Manchmal schreibst du 2, dann wieder 3, dann wieder 2 ...
Muß es nicht
[mm]\int_{}^{}~\frac{12x^2}{4x^3 - 1}~\mathrm{d}x[/mm]
heißen?
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Ja, das ist der Term.
Hab ich was anderes geschrieben??
Wenn ja tuts mir sorry. Dann hab ich den Fehler nicht bemerkt.
Gruss
Sascha
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:15 Do 15.09.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Krongurke!
Wir haben also das Integral
[mm] $\int \frac{12x^2}{4x^3-1}\, [/mm] dx$.
Jetzt schau mal: Oben im Zähler steht die Ableitung des Nenners.
Immer wenn so etwas auftaucht, schreit das Integral laut nach Substitution!
Und zwar subtituiert man dann den Nenner, also:
$z = [mm] 4x^3-1$.
[/mm]
Jetzt haben wir ein $z$ und ein $dx$, das ist schlecht. Schließlich wollen wir nach $z$ integrieren, brauchen also ein $dz$ und kein $dx$. Da gibt es aber einen Trick! Wir fassen $z$ als Funktion von $x$ auf:
[mm] $z(x)=4x^3-1$
[/mm]
und leiten ab:
[mm] $z'(x)=12x^2$.
[/mm]
Und dieser Ausdruck "ist" gerade [mm] $\frac{dz}{dx}$ [/mm] (symbolisch). Wir haben also:
[mm] $\frac{dz}{dx} [/mm] = [mm] 12x^2$.
[/mm]
Und da wir ja $dx$ durch $dz$ ersetzen wollen, lösen wir nach $dx$ auf:
[mm] $\blue{dx = \frac{1}{12x^2}\, dz}$.
[/mm]
Da wir weiterhin [mm] $\red{z=4x^3-1}$ [/mm] gesetzt hatten, bekommen wir nun:
[mm] $\int \frac{12x^2}{\red{4x^3-1}}\, [/mm] dx = [mm] \int \frac{12x^2}{\red{z}}\, \blue{dx} [/mm] = [mm] \int \frac{12x^2}{\red{z}} \cdot \blue{\frac{1}{12x^2}\, dz} [/mm] = [mm] \int \frac{1}{z}\, [/mm] dz$.
Die Stammfunktion von [mm] $\frac{1}{z}$ [/mm] kennen wir aber: [mm] $\ln(z)$. [/mm] Und jetzt "resubstituieren" wir, ersetzen also $z$ wieder durch [mm] $4x^3-1$.
[/mm]
Daher erhalten wir insgesamt:
[mm] $\int \frac{12x^2}{4x^3-1}\, [/mm] dx = [mm] \ln(4x^3-1)$.
[/mm]
Liebe Grüße
Julius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:22 Do 15.09.2005 | | Autor: | Krongurke |
Ahh..Licht aufgegangen..danke! :)
Gruss
Sascha
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Hallo!
Also, ich bekomme als Ergebnis der Partialbruchzerlegung folgende Funktion:
[mm] f(x)=\bruch{-1,5}{2x+1}+\bruch{1,5}{2x-1}
[/mm]
Kannst du das nun integrieren?
Viele Grüße
Bastiane
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]")
P.S.: Etwas zur Partialbruchzerlegung findest du ![[]](/images/popup.gif) hier.
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Stups mich bitte mal mit der Nase drauf.
Die ersten 2-3 Aufgaben dieser Art muss man mir haarklein erklären, sonst komme ich da alleine nicht weiter. Wenn ich oben ne 1 hinkriege kann ich einen ln draus machen..aber sonst..*schulterzuck*
Donge!
Gruss
Sascha
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Hallo!
> Die ersten 2-3 Aufgaben dieser Art muss man mir haarklein
> erklären, sonst komme ich da alleine nicht weiter. Wenn ich
> oben ne 1 hinkriege kann ich einen ln draus machen..aber
> sonst..*schulterzuck*
Also, ich weiß nicht, ob ich das richtig erkläre...
Um im Zähler ne 1 hinzukriegen, kannst du ja einfach schreiben: [mm] -1,5*\bruch{1}{2x+1}. [/mm] Nun kannst du mit dem ln integrieren: [mm] -1,5*\ln|2x+1|*\bruch{1}{2}\; (\bruch{1}{2} [/mm] kommt dahin quasi wegen der inneren Ableitung - wenn du's mal mit Ableiten überprüfen willst). Und das Ganze ist dann: [mm] -\bruch{3}{4}\ln|2x+1|. [/mm] Alles klar?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:18 Do 15.09.2005 | | Autor: | mazi |
Hallo Sascha!
Die Aufgabe ist gar nicht so schwer, man muss nur die richtige Regel zur Hand haben.
Wenn du dir den Buch genau anschaust, dann siehst du, dass im Zähler die Ableitung vom Nenner steht.
Und da geht die Integration dann über den ln.
Allgemein geht die Regel in etwa so: wenn im Zähler die Ableitung vom Nenner steht, dann ist die Stammfunktion der natürliche Logrithmus vom Nenner, in deinem Fall also [mm] ln(4x^{3} [/mm] - 1). Jetzt musst du nur noch die Grenzen einsetzen und eigentlich das richtige Ergebnis bekommen.
Liebe Grüße,
Maria
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Polynomdivision
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