Bestimmtes Integral abschätzen < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:09 Di 15.02.2011 | | Autor: | ElRon91 |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass
[mm] \integral_{1}^{x^{2}}{\bruch{e^{t}}{t} dt}\sim \bruch{1}{x^{2}}e^{x^{2}} [/mm] für [mm] x\to\ [/mm] + [mm] \infty [/mm] |
Hallo,
ich weiß gar nicht wie ich diese Aufgabe anfangen soll. Kann mir jemand weiterhelfen?
Danke :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Zu zeigen ist ja
[mm]\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 \cdot \int_1^{x^2} \frac{\operatorname{e}^t}{t}~\mathrm{d}t}{\operatorname{e}^{x^2}} = 1[/mm]
Wie wäre es mit der L'Hospitalschen Regel?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:58 Di 15.02.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo Leopold_Gast,
hübsche Idee.
Allerdings muss ich gestehen, dass mir der Zähler dann erhebliche Schwierigkeiten bereitet. Und nur zur Sicherheit: ja, ich kenne die Produktregel.
Trotzdem bleibt einer der Summanden "ungemütlich" (der mit dem ursprünglichen Integral), und der andere macht einem das Leben eigentlich auch nicht leichter.
Oder übersehe ich etwas?
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:52 Di 15.02.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo reverend,
> Hallo Leopold_Gast,
>
> hübsche Idee.
>
> Allerdings muss ich gestehen, dass mir der Zähler dann
> erhebliche Schwierigkeiten bereitet. Und nur zur
> Sicherheit: ja, ich kenne die Produktregel.
>
> Trotzdem bleibt einer der Summanden "ungemütlich" (der mit
> dem ursprünglichen Integral), und der andere macht einem
> das Leben eigentlich auch nicht leichter.
>
> Oder übersehe ich etwas?
naja, setzen wir mal
[mm] $$F(y):=\int_1^y e^t/t\; dt\,,$$
[/mm]
dann gilt mit [mm] $y=y(x):=x^2$ [/mm]
[mm] $$F(x^2)=\int_1^{x^2} e^t/t\;dt$$
[/mm]
und daher (für o.E. $x > [mm] 1\,$)
[/mm]
[mm] $$\frac{d}{dx}F(x^2)=F'(x^2)*2x=2x*e^{x^2}/x^2=2e^{x^2}/x\,$$
[/mm]
wobei man die Stetigkeit von $t [mm] \mapsto e^t/t$ [/mm] auf [mm] $(1,\infty)$ [/mm] beachte.
Also hat nach de L'Hospital
[mm] $$\frac{x^2 \cdot \int_1^{x^2} \frac{\operatorname{e}^t}{t}~\mathrm{d}t}{\operatorname{e}^{x^2}}$$
[/mm]
das gleiche Konvergenzverhalten wie
[mm] $$\frac{2x\int_1^{x^2}e^t/t\;dt\;+\;x^2*\frac{2e^{x^2}}{x}}{2x*e^{x^2}}=\frac{\int_1^{x^2}e^t/t\;dt}{e^{x^2}}+1$$
[/mm]
bei $x [mm] \to \infty\,.$
[/mm]
Somit wäre "nur" noch zu zeigen, dass
[mm] $$\frac{\int_1^{x^2}e^t/t\;dt}{e^{x^2}} \to [/mm] 0$$
bei $x [mm] \to \infty\,.$ [/mm] Das folgt aber schnell mit de L'Hospital.
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
Ja, man kann sich die Sache sogar noch um eine Spur einfacher machen, indem man [mm]x^2 = u[/mm] substituiert, also [mm]\frac{u \cdot \int \limits_1^u \frac{\operatorname{e}^t}{t}~\mathrm{d}t}{\operatorname{e}^u}[/mm] für [mm]u \to \infty[/mm] betrachtet. Wie es dann praktisch geht, hat Marcel gezeigt.
Und dann bin ich immer wieder erstaunt, daß Leute den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung nicht erkennen, wenn er in seiner originalen Gestalt auftritt, obwohl sie ihn in der Stammfunktionvariante permanent anwenden ...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:57 Mi 16.02.2011 | | Autor: | ElRon91 |
Danke euch beiden! Hat sehr geholfen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:41 Sa 19.02.2011 | | Autor: | fred97 |
Ich muß auch noch meinen Senf dazugeben:
Zu zeigen ist also:
$ [mm] \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 \cdot \int_1^{x^2} \frac{\operatorname{e}^t}{t}~\mathrm{d}t}{\operatorname{e}^{x^2}} [/mm] = 1 $
Die Quadrate sind Schnickschnack, also ist zu zeigen:
$ [mm] \lim_{x \to \infty} \frac{x \cdot \int_1^{x} \frac{\operatorname{e}^t}{t}~\mathrm{d}t}{\operatorname{e}^{x}} [/mm] = 1 $
Setzen wir [mm] $f(x)=e^x/x$, [/mm] so ist [mm] F(x):=\int_1^{x} \frac{\operatorname{e}^t}{t}~\mathrm{d}t [/mm] eine Stammfunktion von f auf [1, [mm] \infty) [/mm] und behauptet wird
[mm] \lim_{x \to \infty} \frac{F(x)}{f(x)}=1
[/mm]
Wegen f(x) [mm] \ge [/mm] x für x [mm] \ge [/mm] 1 hat man: f(x) [mm] \to \infty [/mm] und F(x) [mm] \to \infty [/mm] für x [mm] \to \infty
[/mm]
Da f und f' nullstellenfrei sind, bietet sich L'Hoapital an.
Der Quotient
[mm] \frac{F'(x)}{f'(x)}=\frac{f(x)}{f'(x)}
[/mm]
ist leicht zu berechnen:
[mm] \frac{f(x)}{f'(x)}= \frac{x}{x-1} [/mm] (x>1)
Fazit: [mm] \lim_{x \to \infty} \frac{F(x)}{f(x)}=1
[/mm]
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:50 So 20.02.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo Fred,
> Ich muß auch noch meinen Senf dazugeben:
>
> Zu zeigen ist also:
>
>
>
> [mm]\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 \cdot \int_1^{x^2} \frac{\operatorname{e}^t}{t}~\mathrm{d}t}{\operatorname{e}^{x^2}} = 1[/mm]
>
> Die Quadrate sind Schnickschnack, also ist zu zeigen:
>
>
>
> [mm]\lim_{x \to \infty} \frac{x \cdot \int_1^{x} \frac{\operatorname{e}^t}{t}~\mathrm{d}t}{\operatorname{e}^{x}} = 1[/mm]
>
> Setzen wir [mm]f(x)=e^x/x[/mm], so ist [mm]F(x):=\int_1^{x} \frac{\operatorname{e}^t}{t}~\mathrm{d}t[/mm]
> eine Stammfunktion von f auf [1, [mm]\infty)[/mm] und behauptet
> wird
>
> [mm]\lim_{x \to \infty} \frac{F(x)}{f(x)}=1[/mm]
>
> Wegen f(x) [mm]\ge[/mm] x für x [mm]\ge[/mm] 1 hat man: f(x) [mm]\to \infty[/mm] und
> F(x) [mm]\to \infty[/mm] für x [mm]\to \infty[/mm]
>
> Da f und f' nullstellenfrei sind, bietet sich L'Hoapital
> an.
>
> Der Quotient
>
> [mm]\frac{F'(x)}{f'(x)}=\frac{f(x)}{f'(x)}[/mm]
>
> ist leicht zu berechnen:
>
> [mm]\frac{f(x)}{f'(x)}= \frac{x}{x-1}[/mm] (x>1)
>
> Fazit: [mm]\lim_{x \to \infty} \frac{F(x)}{f(x)}=1[/mm]
>
> FRED
>
>
das war gut, dass Du das nochmal so aufgeschrieben hast. Ich war da ein wenig "schlampig" und habe gar nicht begründet, warum man de l'Hospital anwenden kann. Aber im Endeffekt sind unsere Überlegungen die gleichen, bis darauf, dass Du noch ein wenig die Struktur deutlicher gemacht hast und Vereinfachungen durchgeführt hast. Je nachdem, was der Aufgabensteller deutlich machen will (z.B. Anwendung der Kettenregel), wurde die Aufgabe zwar vielleicht auch extra so gestellt. Aber das hindert ja niemanden daran, die Aufgabe wieder auf eine "übersichtlichere" Formulierung zurückzuführen.
Aber wie gesagt: Der meines Erachtens wichtigste Aspekt in Deiner Antwort ist einfach, dass Du überhaupt begründest, dass de l'Hospital angewendet werden darf!
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
