Bestimmung Achsenp. & Spurger. < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimme die Achsenpunkte und gib die Gleichungen der Spurgeraden an
B: [mm] \vec{X} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 4 \\ 0} [/mm] + [mm] \lambda \vektor{-2 \\ -2 \\ 3} [/mm] + [mm] \mu \vektor{0 \\ 1 \\ 0} [/mm] |
Hallo!
Der Lehrer hat uns zu obiger Aufgabe die Lösungen bzw. den Lösungsansatz gegeben. Allerdings komme ich auf andere Ergebnisse...
Hier sind seine Ergebnisse:
B: [mm] 3x_{1} [/mm] + [mm] 2x_{3} [/mm] - 3 = 0 (1|0|0), (0|0|1,5)
[mm] s_{3}: \vec{X} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] + [mm] \alpha \vektor{0 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
[mm] s_{2}: \vec{X} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] + [mm] \beta \vektor{-2 \\ 0 \\ 3}
[/mm]
[mm] s_{1}: \vec{X} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1,5} [/mm] + [mm] \gamma \vektor{0 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
1.) Ich begreife nicht, wie drei Spurgeraden möglich sind, wo doch nur zwei Spurpunkte vorhanden sind?
2.) die Spurgerade [mm] s_{3} [/mm] hätte bei mir gar nicht existiert, da man doch zur Berechnung einen Punkt auf der [mm] x_{1}-Ebene [/mm] und einen auf der [mm] x_{2}-Ebene [/mm] benötigt (gemäß Anschauliche Analytische Geometrie, Ehrenwirth-Verlag, S. 182)?
Bitte ganz dringend um Hilfe, da übernächste Woche bereits Klausur ist und ich meine Unklarheiten bereits einige Tage im Voraus ausmerzen möchte...
Besten Dank!
grüße
el_grecco
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:50 Sa 08.12.2007 | | Autor: | Beliar |
Hallo,
in welchem Raum befindest du dich den? [mm] R^{2} [/mm] oder [mm] R^{3}?
[/mm]
Im Raum [mm] R^3 [/mm] hast du doch [x1;x2;x3]ergo 3Punkte
gruß
Beliar
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> Bestimme die Achsenpunkte und gib die Gleichungen der
> Spurgeraden an
>
> B: [mm]\vec{X}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 4 \\ 0}[/mm] + [mm]\lambda \vektor{-2 \\ -2 \\ 3}[/mm]
> + [mm]\mu \vektor{0 \\ 1 \\ 0}[/mm]
> Hallo!
> Der Lehrer hat uns zu obiger Aufgabe die Lösungen bzw. den
> Lösungsansatz gegeben. Allerdings komme ich auf andere
> Ergebnisse...
>
> Hier sind seine Ergebnisse:
>
> B: [mm]3x_{1}[/mm] + [mm]2x_{3}[/mm] - 3 = 0 (1|0|0), (0|0|1,5)
>
> [mm]s_{3}: \vec{X}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm] + [mm]\alpha \vektor{0 \\ 1 \\ 0}[/mm]
>
> [mm]s_{2}: \vec{X}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm] + [mm]\beta \vektor{-2 \\ 0 \\ 3}[/mm]
>
> [mm]s_{1}: \vec{X}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 1,5}[/mm] + [mm]\gamma \vektor{0 \\ 1 \\ 0}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") habs nachgerechnet
> 1.) Ich begreife nicht, wie drei Spurgeraden möglich sind,
> wo doch nur zwei Spurpunkte vorhanden sind?
> 2.) die Spurgerade [mm]s_{3}[/mm] hätte bei mir gar nicht
> existiert, da man doch zur Berechnung einen Punkt auf der
> [mm]x_{1}-Ebene[/mm] und einen auf der [mm]x_{2}-Ebene[/mm] benötigt (gemäß
> Anschauliche Analytische Geometrie, Ehrenwirth-Verlag, S.
> 182)?
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salute el g
veranschaulicht hast du eine ebene B im raum, welche prallel zur [mm] $x_{2}-achse$ [/mm] ist, da in der ebenengleichung [mm] $x_{2}=0$ [/mm] ist. somit auch nur zwei spurpunkte, mit deren hilfe du [mm] $s_{2}$ [/mm] aufstellen kannst. spurgeraden sind die schnittgeraden einer ebene mit den grundebenen. [mm] $s_{2}$ [/mm] ist also deine schnittgerade mit der [mm] $Ebene_{x_{1}x_{3}}$ [/mm] und zudem noch die beiden schnittgeraden [mm] $s_{1}$ [/mm] (schnitt mit der [mm] $Ebene_{x_{2}x_{3}}$) [/mm] und [mm] $s_{3}$ [/mm] (schnitt mit der [mm] $Ebene_{x_{1}x_{2}}$).
[/mm]
hoffe das is soweit verständlich, sonst frag nochma nach
-molek-![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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> salute el g
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> veranschaulicht hast du eine ebene B im raum, welche
> prallel zur [mm]x_{2}-achse[/mm] ist, da in der ebenengleichung
> [mm]x_{2}=0[/mm] ist. somit auch nur zwei spurpunkte, mit deren
> hilfe du [mm]s_{2}[/mm] aufstellen kannst. spurgeraden sind die
> schnittgeraden einer ebene mit den grundebenen. [mm]s_{2}[/mm] ist
> also deine schnittgerade mit der [mm]Ebene_{x_{1}x_{3}}[/mm] und
> zudem noch die beiden schnittgeraden [mm]s_{1}[/mm] (schnitt mit der
> [mm]Ebene_{x_{2}x_{3}}[/mm]) und [mm]s_{3}[/mm] (schnitt mit der
> [mm]Ebene_{x_{1}x_{2}}[/mm]).
>
> hoffe das is soweit verständlich, sonst frag nochma nach
> -molek-
Hallo!
ich verstehe nicht ganz, warum die Ebene parallel zur [mm] x_{2} [/mm] - Achse ist. Z.B. kann man doch für [mm] x_{1} [/mm] = 2 einsetzen und für [mm] x_{3} [/mm] = -1,5
Heißt das dann, dass man auf der [mm] x_{} [/mm] - Achse 2 Einheiten entlang geht und dann -1,5 nach unten? (bzw. welche Rolle spielt die +3 in der Gleichung?)
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moijen...
> Hallo!
> ich verstehe nicht ganz, warum die Ebene parallel zur
> [mm]x_{2}[/mm] - Achse ist. Z.B. kann man doch für [mm]x_{1}[/mm] = 2
> einsetzen und für [mm]x_{3}[/mm] = -1,5
> Heißt das dann, dass man auf der [mm]x_{}[/mm] - Achse 2 Einheiten
> entlang geht und dann -1,5 nach unten? (bzw. welche Rolle
> spielt die +3 in der Gleichung?)
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deine Koordinatengleichnung der Ebene lautet ja
[mm] $3x_{1}+2x_{3}-3=0$ $\gdw$ $3x_{1}+0x_{2}+2x_{3}=3$
[/mm]
Die Koeffizienten beschreiben den Normalvektor deiner Ebene
somit: [mm] $\vec n=\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}$ [/mm]
da [mm] $x_{2}=0$ [/mm] ist für alle [mm] $x_{2}\in\IR$ [/mm] ist deine ebene parallel zu der [mm] $x_{2}-achse$ [/mm]
und das $=3$ bedeutet, dass deine Ebene um drei Längeneinheiten vom Ursprung aus in Richtung des Normalvektors verschoben ist. würde also da stehen [mm] $3x_{1}+0x_{2}+2x_{3}=0$ [/mm] wäre die gesamte [mm] $x_{2}-achse$ [/mm] Element deiner Ebene...
mit dem einsetzten machst du eine so genannte punktprobe.
sprich,alle [mm] $x_{1},x_{2},x_{3}$ [/mm] mit [mm] $x_{1},x_{2},x_{3}\in\IR$ [/mm] die diese gleichung erfüllen, sind Elemente deiner Ebene.
das mit dem "auf den achsen entlanggehen", wie in deinem beispiel, ist soweit richtig gedacht. da deine gleichung erfüllt ist, liegt der von dir gewählte punkt in der Ebene und von dort aus kannst du nun quasi unendlich weit nach links oder rechts (also in [mm] $x_{2} [/mm] richtung$) maschieren und bleibst immer in deiner Ebene, da diese ja parallel zur [mm] $x_{2}-achse$ [/mm] ist. darum ist in deiner Koordinatengleichung [mm] $3x_{1}+0x_{2}+2x_{3}=3$ $x_{2}=0$ [/mm] für alle [mm] $x_{2}\in\IR$...
[/mm]
du kamnst dir auch probeversionen (z.b. DESCARTES 3D) runterladen, mit denen sich geraden und ebenen zeichnen lassen, dadurch wird es oft einiges klarer...
schönen tag noch
-molek-
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> >
> > B: [mm]3x_{1}[/mm] + [mm]2x_{3}[/mm] - 3 = 0 (1|0|0), (0|0|1,5)
> >
> > [mm]s_{3}: \vec{X}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm] + [mm]\alpha \vektor{0 \\ 1 \\ 0}[/mm]
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> >
> > [mm]s_{2}: \vec{X}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm] + [mm]\beta \vektor{-2 \\ 0 \\ 3}[/mm]
>
> >
> > [mm]s_{1}: \vec{X}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 1,5}[/mm] + [mm]\gamma \vektor{0 \\ 1 \\ 0}[/mm]
>
>
> habs nachgerechnet
>
Hat der Lehrer für s3 und s1 einfach nur die x2 - Achse (0|1|0) als zweiten Punkt zur Berechnung verwendet ?
&
Welchen zweiten Punkt hat er für x2 benutzt?
Besten Dank im Voraus!
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> > >
> > > B: [mm]3x_{1}[/mm] + [mm]2x_{3}[/mm] - 3 = 0 (1|0|0), (0|0|1,5)
> > >
> > > [mm]s_{3}: \vec{X}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm] + [mm]\alpha \vektor{0 \\ 1 \\ 0}[/mm]
>
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> > >
> > > [mm]s_{2}: \vec{X}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm] + [mm]\beta \vektor{-2 \\ 0 \\ 3}[/mm]
>
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> > >
> > > [mm]s_{1}: \vec{X}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 1,5}[/mm] + [mm]\gamma \vektor{0 \\ 1 \\ 0}[/mm]
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> > habs nachgerechnet
> >
>
> Hat der Lehrer für s3 und s1 einfach nur die x2 - Achse
> (0|1|0) als zweiten Punkt zur Berechnung verwendet ?
> &
> Welchen zweiten Punkt hat er für x2 benutzt?
>
> Besten Dank im Voraus!
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[Dateianhang nicht öffentlich]
für [mm] $s_2$ [/mm] hat er die beiden spurpunkte verwendet und da deine ebene parallel zur [mm] $x_{2}Achse$ [/mm] ist, hat er für [mm] $s_{1}$ [/mm] und [mm] $s_{3}$ [/mm] als stützvektor den jeweiligen spurpunkt genommen und als richtungsvektor für beide die [mm] $x_{2}Achse$ [/mm] also den vektor [mm] $\vektor{0 \\ 1 \\ 0}$
[/mm]
ok?
-molek-
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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