Bestimmung Epsilon-Umgebung < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:43 Mo 13.06.2016 | | Autor: | sb01 |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie das dritte Taylorpolynom [mm] P_{3,1} [/mm] im Entwicklungspunkt 1 von ln und bestimmen Sie die Umgebung U von 1 so, dass |ln(x) - [mm] P_{3,1}(x)| [/mm] < [mm] 5*10^{-5} [/mm] für alle x [mm] \in [/mm] U gilt. |
Nachdem ich das Taylorpolynom mit [mm] P_{3,1}(x)=\bruch{1}{3}x^{3}-\bruch{3}{2}x^{2}+3x-\bruch{11}{6} [/mm] bestimmt habe stelle ich die Ungleichung auf:
[mm] |ln(x)-P_{3,1}(x)|<5*10^{-5} \gdw
[/mm]
[mm] |ln(x)-(\bruch{1}{3}x^{3}-\bruch{1}{2}x^{2}+3x-\bruch{11}{6})|<5*10^{-5}
[/mm]
Ich hoffe, es stört niemanden, dass ich die Klammer jetzt nicht mehr aufgelöst habe, aber mit "copy-paste" war das einfacher... :-D
Ok, darum geht es aber auch nicht. Ich frage mich, wie mache ich jetzt weiter.
Meine erste Idee auf x umzustellen, scheitert an der Tranzendenz der Ungleichung. Gleiches, wenn ich x = 1+ [mm] \varepsilon [/mm] setze. Ich habe mal die Dreiecksungleichung angesetzt und erhielt:
|ln(x)| - [mm] |P_{3,1}(x)|<5*10^{-5}
[/mm]
Dann kann ich die Glieder zwar umstellen, aber habe immer noch keine wirkliche Idee, wie es weiter gehen kann.
Kann mir jemand einen Tipp geben, wie es weiter geht? Oder bin ich eventuell eh auf dem falschen Weg und man muss anders vorgehen?
Vielen Dank!
Gruß!
Sven
Edit: Ich hoffe, ich bin nicht im falschen Bereich für diese Frage gelandet.
Edit2: Gleichung korrigiert
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:52 Mo 13.06.2016 | | Autor: | Loddar |
Hallo Sven!
> In diesem Fall ist dann [mm]R_{n,a}(x)[/mm] < [mm]5*10^{-5}[/mm] , richtig?
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Wenn man sehr genau ist, verwendet man auch noch Betragsstriche um das Restglied.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:02 Mo 13.06.2016 | | Autor: | sb01 |
Puh, ich muss bemerken, dass mir diese Restgliedbestimmung noch nicht ganz klar ist, denn meine Ansätze führten zu nichts.
Aber für heute ist Schluss, ich versuche morgen meine Probleme zu formulieren.
Vielen Dank soweit und gute Nacht! 
Sven
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:03 Di 14.06.2016 | | Autor: | sb01 |
Ok, nachdem ich erst dachte, dass alles klar ist, stehe ich nun doch vor einem weiteren Problem. Aber alles von Anfang an:
Es gilt:
[mm] |R_{3,1}(x)| [/mm] < [mm] 5*10^{-5} [/mm] mit
[mm] |R_{3,1}(x)| [/mm] = [mm] |\bruch{f^{3+1}(c)}{(3+1)!}(x-1)^{(3+1)}|, [/mm] c [mm] \in [/mm] (1, x) | [mm] \gdw
[/mm]
[mm] |R_{3,1}(x)| [/mm] = [mm] |\bruch{-1}{4c^{4}}(x-1)^{4}|
[/mm]
Eingesetzt in die Ungleichung folgt:
[mm] |\bruch{-1}{4c^{4}}(x-1)^{4}| [/mm] < [mm] 5*10^{-5} \gdw
[/mm]
[mm] \bruch{|-1|}{|4c^{4}|}|(x-1)^{4})| [/mm] < [mm] 5*10^{-5} \gdw
[/mm]
Da a = 1 und a < c < x kann ich die Betragsstriche weglassen:
[mm] (x-1)^{4} [/mm] < [mm] 20*10^{-5}c^{4} \gdw
[/mm]
x-1 < [mm] \bruch{c}{\wurzel[4]{5000}} \gdw
[/mm]
x < [mm] \bruch{c}{\wurzel[4]{5000}} [/mm] + 1
Nun hoffe ich, dass soweit alles ok ist. Ich habe aber versucht es ausführlich aufzuschreiben, damit eventuelle Fehler schneller benannt werden können.
Wenn soweit alles ok ist, dann ist mein Problem jetzt, welche Größe ich c zuweisen darf. Ich weiß ja, das 1 < c < x, aber ich will ja kein x vorgeben, sondern es für [mm] |R_{3,1}(x)| [/mm] < [mm] 5*10^{-5} [/mm] ermitteln...
Weiß jemand Rat?
Gruß!
Sven
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:21 Di 14.06.2016 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. eine Umgebung von 1 ist (1-h,1+h) also nicht nur 1+h bzw 1+x
2. du musst für eine Abschätzung das c nehmen bei den [mm] f^{(4)}(c) [/mm] ein Maximum in dem Intervall ist.
Gruß leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:15 Mi 15.06.2016 | | Autor: | sb01 |
> Hallo
> 1. eine Umgebung von 1 ist (1-h,1+h) also nicht nur 1+h
> bzw 1+x
Ok, war es nun falsch, die Betragsstriche weg zu lassen und nur eine Seite der Umgebung zu betrachten?
> 2. du musst für eine Abschätzung das c nehmen bei den
> [mm]f^{(4)}(c)[/mm] ein Maximum in dem Intervall ist.
Wie ist das zu verstehen? Kann ich also [mm] \bruch{f^{(4)}(c)}{4!} [/mm] < 5 * [mm] 10^{-5} [/mm] setzen und dann c bestimmen um es dann anschließend einzusetzen um x zu bestimmen?
Entschuldige, aber deine Antwort hilft mir nicht weiter.
Gruß!
Sven
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:08 Do 16.06.2016 | | Autor: | fred97 |
Du musst ein r>0 bestimmen mit:
$ [mm] \bruch{1}{4c^{4}}|x-1|^{4} [/mm] < [mm] 5\cdot{}10^{-5} [/mm] $ für x [mm] \in [/mm] (1-r,1+r) und c zwischen 1 und x.
Ist c zwischen 1 und x, so gilt ebenfalls c [mm] \in [/mm] (1-r,1+r).
Für x [mm] \in [/mm] (1-r,1+r) ist [mm] |x-1|^4
Wenn wir von r<1 ausgehen, was wir können (denn es ist nicht nach der "optimalen" Umgebung gefragt, so haben wir
[mm] \bruch{1}{c}< \bruch{1}{1-r}
[/mm]
und damit ist
[mm] \bruch{1}{4c^{4}}|x-1|^{4} [/mm] < [mm] \bruch{1}{4}*(\bruch{r}{1-r})^4
[/mm]
Bestimme also r [mm] \in(0,1) [/mm] so, dass
[mm] $\bruch{1}{4}*(\bruch{r}{1-r})^4 [/mm] < 5 * [mm] 10^{-5} [/mm] $
ausfällt. Dann leistet U:=(1-r,1+r) das Gewünschte.
Zur Kontrolle: ich hab bekommen: $r<0,092064645$. Damit leistet z.B. $r=0,092$ das Verlangte.
FRED
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 10:24 So 19.06.2016 | | Autor: | sb01 |
Hallo Fred,
entschuldige, dass ich mich erst jetzt melde, aber ein grippaler Infekt verhinderte mich.
Vielen Dank für deine detaillierte Antwort. Das hat mir sehr geholfen, auch wenn ich mich nach wie vor schwer tue mit dem Prozess des sinnvollen Abschätzens. Deshalb ein paar Verständnisfragen.
> Du musst ein r>0 bestimmen mit:
>
> [mm]\bruch{1}{4c^{4}}|x-1|^{4} < 5\cdot{}10^{-5}[/mm] für x [mm]\in[/mm]
> (1-r,1+r) und c zwischen 1 und x.
>
> Ist c zwischen 1 und x, so gilt ebenfalls c [mm]\in[/mm]
> (1-r,1+r).
>
> Für x [mm]\in[/mm] (1-r,1+r) ist [mm]|x-1|^4
Man kann deshalb annehmen, dass 1-r < c gilt, da weiterhin auch 1+r > c gilt, denn es wurde ja c [mm] \in [/mm] (1-r,1+r) definiert?
>
> Wenn wir von r<1 ausgehen, was wir können (denn es ist
> nicht nach der "optimalen" Umgebung gefragt, so haben wir
>
> [mm]\bruch{1}{c}< \bruch{1}{1-r}[/mm]
>
> und damit ist
>
> [mm]\bruch{1}{4c^{4}}|x-1|^{4}[/mm] < [mm]\bruch{1}{4}*(\bruch{r}{1-r})^4[/mm]
Also, es gilt [mm] \bruch{1}{c} [/mm] < [mm] \bruch{1}{1-r} [/mm] und [mm] |x-1|^4 [/mm] < [mm] r^4. [/mm] Ausgehend von [mm] \bruch{1}{c} [/mm] < [mm] \bruch{1}{1-r} [/mm] beginnt man mit der schrittweisen Umformung um zum Zielausdruck zu kommen. Zuerst nehme ich den Ausdruck ^4, dann mal ¼ und erhalte:
[mm] \bruch{1}{4c^{4}} [/mm] < [mm] \bruch{1}{4}(\bruch{1}{1-r})^{4}
[/mm]
Da [mm] |x-1|^{4}
[mm]\bruch{1}{4c^{4}}|x-1|^{4}[/mm] < [mm]\bruch{1}{4}*(\bruch{1}{1-r})^4*r^4[/mm]. Es gilt [mm] a^{n}*b^{n} [/mm] = [mm] (ab)^{n} [/mm] und es folgt:
[mm]\bruch{1}{4c^{4}}|x-1|^{4}[/mm] < [mm]\bruch{1}{4}*(\bruch{r}{1-r})^4[/mm]
> Bestimme also r [mm]\in(0,1)[/mm] so, dass
>
> [mm]\bruch{1}{4}*(\bruch{r}{1-r})^4 < 5 * 10^{-5}[/mm]
>
> ausfällt. Dann leistet U:=(1-r,1+r) das Gewünschte.
>
> Zur Kontrolle: ich hab bekommen: [mm]r<0,092064645[/mm]. Damit
> leistet z.B. [mm]r=0,092[/mm] das Verlangte.
>
>
> FRED
Ich glaube, ich konnte die Ausführungen von Fred soweit richtig nachvollziehen (sonst bitte korrigieren!), aber es ist etwas anderes, das selbst tun zu müssen...
Gibt es hier im Forum Übungsaufgaben zu diesem Thema oder kennt jemand einen Link zu Übungsaufgaben? Meine bisherige Google- und Forum-Suche war nicht erfolgreich.
Gruß und vielen Dank!
Sven
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:43 So 19.06.2016 | | Autor: | Stala |
Über eine Aufgabensammlung verfüge ich auch nicht, aber hier ist was aus meiner Analysis-Vorlesung:
Bestimmen Sie eine Umgebung U von 0, sodass für alle x [mm] \in [/mm] U gilt:
[mm] \vert [/mm] sin(x) - (x - [mm] \bruch{x^3}{6}) \vert [/mm] < [mm] \bruch{1}{12}10^{-6}
[/mm]
Beweisen Sie für 0 < x < [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] die Ungleichungen:
1- [mm] \bruch{x^2}{2} [/mm] < cos x < 1- [mm] \bruch{x^2}{2} [/mm] + [mm] \bruch{x^4}{4!}
[/mm]
Vielleicht kannst damit was anfangen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:01 So 19.06.2016 | | Autor: | sb01 |
Ja, da werde ich mich zur Klausurvorbereitung mit beschäftigen.
Vielen Dank!
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