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Ich versuche, [mm] \integral_{0}^{1}{\sqrt{1+\bruch{1}{1-x^2}}} [/mm] dx zu berechnen, habe bereits einige meiner alten Formelsammlungen durchstöbert und finde keinen Ansatz.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Zum Hintergrund: Eigentlich geht es um die Frage, wie lang der Weg ist, den man zurücklegt, wenn man auf der Erde vom Punkt 0°N/0°E (Schnittpunkt Äquator mit Nullmeridian) über jeden Punkt x°N/x°E zum Nordpol geht (diese Frage wurde in www.openbc.com als Rätsel gestellt).
Der Abstand zwischen den Breitengraden auf der Erde ist dabei stets konstant, jener zwischen zwei Längengraden verkürzt sich vom Äquator nach Nord (und Süd) um jeweils um den Cosinus des Breitengrades, auf dem er gemessen wird.
Also sollte die Weglänge r * die Länge von f(x) = arcsin(x) zwischen 0 und 1 sein. Und daraus ergibt sich, denke ich, obiges Integral.
Danke für eure Hilfe
Martina
edit: Formel (mathemaduenn)
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Hallo Martina,
laut Wolfram-Integrator wird das von dir angegebene integral ziemlich häßlich, vielleicht hast du ja doch einen fehler in der herleitung?!?
ich kann dir mal kurz sagen, wie ich an die aufgabe gehen würde, vielleicht deckt sich das ja mit deinem ansatz:
ich würde mir die sphären-koordinaten nehmen
[mm] $x(\theta,\phi)=\vektor{r\sin \theta \cos\phi\\ r\sin\theta\sin\phi \\ r\cos \theta}$
[/mm]
allerdings interessiert uns ja eine bestimmte kurve auf der sphäre, nämlich:
[mm] $c(t)=\vektor{r\sin (\frac{\pi}{2}-t) \cos t\\ r\sin(\frac{\pi}{2}-t) \sin t \\ r\cos (\frac{\pi}{2}-t)}$,
[/mm]
wobei t von 0 bis pi/2 läuft. was du also berechnen musst, ist
[mm] $L(c)=\int_{[0,\frac{\pi}2]} \|c'(t)\| [/mm] dt$.
Ich glaube aber nicht, dass dabei dein integral rauskommt... 
Gruß
Matthias
PS: in der Skizze unten ist nur der Teil der Kurve im grünen Bereich für die Aufgabe von belang.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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Hallo Matthias,
vielen Dank für deine Antwort.
Ich werde erst mal versuchen damit zurecht zu kommen (bei den Möglichkeiten, den mathematischen Hintergrund anzugeben, passte nämlich nichts wirklich. Ich hab Informatik studiert, habe im Beruf kaum mehr mit disen Dingen zu tun und meine letzte Mathe-Vorlesung ist fast 20 Jahre her)
Martina
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