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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:32 So 06.06.2010 | | Autor: | Lysin |
| Aufgabe | Aufgabe:Minimalpolynom.
Es seien K ein Körper und n [mm] \in\ [/mm] N mit 0. Man bestimme das Minimalpolynom der Alles-1-Matrix.
[mm] \begin{bmatrix}
1 & \cdots & 1 \\
\vdots & \dots & \vdots \\
1 & \cdots & 1
\end{bmatrix} [/mm]
[mm] \in\ [/mm] K^nxn |
Hallo zusammen!
Also ich sitze hier bei der Aufgabe und weiß nicht so recht wie ich damit umgehen soll, da die Matrix immer weiter geht und ich ein Minimalpolynom ausrechnen soll?? Also wie man ein Minimalpolynom ausrechnet weiß ich: Man berechnet zunächst das charakteristische Polynom und setzt dann für x in die verschiedenen Grade des char. Polynoms [mm] (x,x^2,x^3...) [/mm] die Matrix ein und schaut, ob irgendwann Null rauskommt.
Beim charakteristischen Polynom fängt das Problem schon an, weil ich nicht so ganz weiß wie ich die Determinante ausrechnen soll?
Über jede Hilfe wäre ich sehr dankbar.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Lieben Gruß
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Sei A eine quadratische Matrix,
das charakteristsiche Polynom von A ist dann wie folgt definiert:
P(x) = det(A-x*I)
Du musst also erstmal von deiner Matrix A die x-fache Einheitsmatrix abziehen.
Was ist nun x*I? Eine quadratische Matrix der Dimension von A wobei auf der Diagonalen x steht und sonst Nullen.. ziehst du das ganze nun von A ab erhältst du eine Matrix die gleich der alten ist mit Ausnahme dessen dass von den Einträgen der Hauptdiagonalen x subtrahiert wird.
Hast du das soweit aufgeschrieben gehts nun an die Determinantenberechnung.
Dazu gibt es verschiedene Möglichkeiten. Kennst du den Gauß-Algorithmus? bzw. weißt du wie man Matrizen auf Zeilen/Stufenform bringt?
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