Bestimmung Reihenkonvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich bin ganz ehrlich: Mir fällt es nicht leicht, den Thread hier zu eröffnen, da ich bereits vor längerer Zeit einen ähnlichen Thread hatte, wo man mir wirklich tatkräftig versucht hat zu helfen, aber ich wiederhole das Thema für die Klausur gerade nochmal und ich muss mit Erschrecken feststellen, dass mich dieses Thema immernoch überfordert. Aber es muss doch irgendwie möglich sein, dieses Thema oder die Vorgehensweise in meinen Kopf zu kriegen, ohne dass ich vor Verzweiflung in Tränen ausbreche :o(
Angenommen ich soll jetzt allgemein an Aufgaben rangehen, bei denen es heißt, dass ich die Konvergenz bestimmen soll.
Im Moment weiß ich nur so viel:
Kontwendige Bedingung für eine konvergente Folge ist, dass sie eine Nullfolge sein muss, andernfalls ist sie divergent.
Aber: Im Skript steht, dass man zwar bei der Feststellung, dass es keine Nullfolge ist weiß, dass die Folge divergieren muss, aber wenn es eine Nullfolge ist, könne man noch nichts Bestimmtes sagen. -> Steht das nicht im Widerspruch? Ich dachte, wenn es eine Nullfolge ist, weiß man, dass die Reihe konvergiert. Ich versteh das nicht.
Vor allem: Was macht eine Nullfolge aus? Was muss ich mit der Reihe anstellen, um so etwas festzustellen?
Ein weiterer Satz zur Einleitung lautet: Eine Reihe konvergiert, wenn die Folge der Partialsummen beschränkt ist. Wie soll ich das nun mit dem Satz verbinden, dass die Reihe eine Nullfolge sein muss, um schon konvergent zu sein?
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Dann gibt es ja allerhand Kriterien, um komplizierte Reihen so umzustellen, dass man die Konvergenz bzw Divergenz bestimmen kann.
Jedoch ist mir lediglich die Vorgehensweise beim Quotientenkriterium klar geworden. Einfach die Reihe mit jeweils 1 erweitern, durch die Urpsrungsreihe teilen und schauen, ob das Ergebnis kleiner oder größer 1 ist.
Was bedeutet hier aber in der Definition der Betrag? Es soll ja der Betrag = q sein und dann stellt man fest ob q größer oder kleiner 1. Meint es dann, dass negative Vorzeichen im Ergebnis nicht zählen?
Wurzelkriterium ist dagegen ja auch noch recht verständlich. Jedoch: Warum wird der Term auch hier wieder in Betragsstriche gefasst?
Vorgehen verstehe ich ja einigermaßen, aber bei der Umformung habe ich das Gefühl, dass hier viele Tricks gefragt sind. Wieso wird zB aus [mm] \bruch [/mm] {2n-1}{n+1} hoch 1/3 sofort die dritte Wurzel aus 2?
Gibt es hier Regeln, dass ich Teile einfach wegkürzen kann? Bei der Konvergenzbestimmung bei Flgen konnte ich ja zB im Zähler 1/n streichen, da es ohnehin gegen 0 geht usw.
Zu den beiden Kriterien haben wir noch gesagt, dass bei Reihen der Form [mm] 1/n^\alpha [/mm] die Reihe für [mm] \alpha [/mm] kleiner gleich 1 divergiert und für [mm] \alpha [/mm] größer 1 konvergiert.
Wofür bringt mir dieser Satz etwas? Kann ich bei Reihen, die so aussehen dann sofort auf Konvergenz bzw DIvergenz schließen?
SIe müssten ja auch helfen beim Grenzwertkriterium und dem Majoranten- bzw Minorantenkriterium. ABER: Hier blicke ich kaum durch :o(
Beim Grenzwertkriterium scheint es mir, als müsste ich einfach durch irgendeine Folge teilen, die ich jedoch von Konvergenzverhalten her kennen muss. Damit würde mir ja der eben genannte Satz helfen, oder?
Aber woher weiß ich, welche Reihe mir hier weiterhilft? Ich dachte bisher immer, ich nehme einfach 1/(den Wert, der als niedrigste Potent vorkommt, zB [mm] n^3). [/mm]
Aber wieso nehme ich dann zB bei [mm] \bruch {n^2}{3n^3 + 2} [/mm] als Nenner nachher 1/n?
Schwirigster Brocken: Minoranten- und Majorantenkriterium. Ich weiß nie, welches Kriterium ich anwenden soll, woran ich also erkennen soll bzw woran meine Vermutung festzumachen ist, ob ich auf Konvergenz oder Divergenz untersuchen soll. Und was sind in der Regel meine Vergleichsreihen?
Stimmt es, dass ich mein Minorantenkriterium meistens "bekannte" Reihen nehme, wie die geometrische oder die harmonische Reihe?
Bei Beispielsaufgaben hier im Forum haben wir oft den Weg genommen die Vergleichsreihe durch Vergrößern oder Verkleinern zu berechnen. Aber wobei mache ich was? Wann vergrößern, wann verkleinern?
Nicht zuletzt bleibt dann noch das Leibniz-Kriterium. Was sagt mir dieses und wobei hilft es mir?
[mm] Beispiel:\summe_{n \ge 0} (-1)^n \bruch {2}{\wurzel {n^2 + 1}}
[/mm]
sei konvergent nach Leinitzkriterium da der Limes gegen unendlich =0 und [mm] \bruch {2}{\wurzel {(n+1)^2 +^1}} [/mm] kleiner [mm] \bruch {2}{\wurzel {n^2 + 1}}
[/mm]
=> ist eine fallende Nullfolge.
Ich verstehe nichts mehr :o(
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Kann mir bitte, bitte, bitte jemand helfen, dass ich eine Übersicht über das Chaos bekomme und in der Klausur weiß, wie ich am besten vorgehe? Die Kriterien sollten mir ja helfen, statt mich zu verwirren.
Das Schlimmste ist ja, wenn dann irgendwann nichts mehr geht, weil ich zB entweder =1 heraus habe oder einfach nicht mehr weiterrechnen kann, weil der Bruch so elendig lang geworden ist. Und die Zeit in der Klausur ist ja nicht so lang.
Ich bin jedem sehr dankbar, der mir helfen kann!
Noch ein Beispiel: [mm] \summe_{n \ge 0} [/mm] (-1)^(2n+1) [mm] \bruch {2n-2}{4n+1}^n
[/mm]
Würde sich ja Wurzelkriterium anbieten. Aber: Wieso fällt dann (zumindest in der Lösung) der erste Teil der Reihe weg und es bleibt nur noch der Bruch?
Und ich "streiche" hier ja gedanklich 2n und 4n, da sie ja gegen unendlich laufen, richtig? Streiche ich so etwas gedanklich dann immer? Genau wie Brüche mit n im Nenner?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:16 So 28.12.2008 | | Autor: | MaRaQ |
Hi Englein,
versuchen wir mal, das Ganze in Teilprobleme zu zerlegen.
Vielleicht sind die etwas verdaulicher.
> ich bin ganz ehrlich: Mir fällt es nicht leicht, den Thread
> hier zu eröffnen, da ich bereits vor längerer Zeit einen
> ähnlichen Thread hatte, wo man mir wirklich tatkräftig
> versucht hat zu helfen, aber ich wiederhole das Thema für
> die Klausur gerade nochmal und ich muss mit Erschrecken
> feststellen, dass mich dieses Thema immernoch überfordert.
> Aber es muss doch irgendwie möglich sein, dieses Thema oder
> die Vorgehensweise in meinen Kopf zu kriegen, ohne dass ich
> vor Verzweiflung in Tränen ausbreche :o(
Willkommen im Club, auch ich wiederhole das Themengebiet gerade. 
> Kontwendige Bedingung für eine konvergente Folge ist, dass
> sie eine Nullfolge sein muss, andernfalls ist sie
> divergent.
Notwendige Bedingung für die Konvergenz einer Reihe [mm] \summe_{i=1}^{\infty} a_n [/mm] :
[mm] a_n [/mm] ist Nullfolge.
Was bedeutet das jetzt: Zunächst einmal ist dies eine notwendige Bedingung. Das heißt, wenn sie nicht erfüllt ist, kann die Reihe nicht konvergent sein.
Wenn sie aber erfüllt ist, ist das noch lange nicht hinreichend. Dann können wir keine Aussage machen.
Dies ist der Unterschied zwischen einer notwendigen und einer hinreichenden Bedingung.
Ein Beispiel dafür wäre z.B. (aus der Schule bekannt) notwendiges und hinreichendes Kriterium für einen Wendepunkt (Kurvendiskussion).
Ein Beispiel für eine Reihe mit Nullfolge, die nicht konvergiert:
Die harmonische Reihe! [mm] \summe_{i=1}^{\infty} \bruch{1}{n}
[/mm]
Diese divergiert bekanntermaßen. Kennst du den Beweis hierfür? Den sollte man eigentlich mal gesehen haben.
> Aber: Im Skript steht, dass man zwar bei der Feststellung,
> dass es keine Nullfolge ist weiß, dass die Folge
> divergieren muss, aber wenn es eine Nullfolge ist, könne
> man noch nichts Bestimmtes sagen. -> Steht das nicht im
> Widerspruch? Ich dachte, wenn es eine Nullfolge ist, weiß
> man, dass die Reihe konvergiert. Ich versteh das nicht.
Leider nein (siehe oben). Ich schätze, die Ursache deiner Verwirrung liegt an deinem folgenden Absatz:
> Vor allem: Was macht eine Nullfolge aus? Was muss ich mit
> der Reihe anstellen, um so etwas festzustellen?
Wann ist eine Folge [mm] (a_n) [/mm] eine Nullfolge?
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Def. Nullfolge:
Eine Folge [mm] (a_n) [/mm] heißt eine Nullfolge, falls gilt:
Für jedes [mm] \epsilon [/mm] > 0 liegen fast alle [mm] a_n [/mm] in [mm] U_{\epsilon}(0)
[/mm]
oder in Formeln: [mm] \forall \epsilon [/mm] > 0 [mm] \exists n_0, [/mm] s.d. [mm] \forall [/mm] n [mm] \ge n_0 [/mm] : [mm] |a_n| [/mm] < [mm] \epsilon.
[/mm]
Man kann dann auch [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] = 0 dafür schreiben und sagen: Die Folge [mm] (a_n) [/mm] konvergiert gegen Null.
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Was daran ist dir denn noch unklar oder wenig vertraut? Eine Nullfolge ist eine Folge, die gegen 0 konvergiert. z.B. [mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{1}{n} [/mm] oder [mm] b_n [/mm] = [mm] q^n [/mm] für |q|<1...
Rückfragen erwünscht.
Gruß, Tobias
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:56 So 28.12.2008 | | Autor: | gigi |
ich würde ja mal sagen: die harmonische reihe DIVERGIERT!
und außerdem [mm] b_n=q^n [/mm] ist keine nullfolge, sondern eine geometrische reihe, die für q<1 konvergiert gegen [mm] \bruch [/mm] {1}{1-q}
grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:07 So 28.12.2008 | | Autor: | MaRaQ |
> ich würde ja mal sagen: die harmonische reihe DIVERGIERT!
Da hast du völlig recht. Freudscher Schreibfehler.
Ich leite ein mit "Ein Beispiel für Divergenz: " und fahre mit "konvergiert" fort. ^^
Natürlich divergiert die harmonische Reihe. Werde ich sofort korrigieren.
> und außerdem [mm]b_n=q^n[/mm] ist keine nullfolge, sondern eine
> geometrische reihe, die für q<1 konvergiert gegen [mm]\bruch[/mm]
> {1}{1-q}
>
> grüße
Die Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty} b_n [/mm] mit [mm] b_n [/mm] = [mm] q^n [/mm] und |q|<1 ist die geometrische Reihe.
Aber betrachten wir nur das [mm] b_n [/mm] ist es eine Folge, speziell eine Nullfolge. Denn wäre [mm] b_n [/mm] keine Nullfolge würde die geometrische Reihe auch nicht konvergieren. ;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:32 So 28.12.2008 | | Autor: | gigi |
stimmt, da hab ich nun wieder ungenau gelesen!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:31 So 28.12.2008 | | Autor: | MaRaQ |
Ich versuche mal, hier das Rezept wiederzugeben, an dem ich mich entlanghangel, wenn ich mit Reihen zu tun habe.
Es ist eine Reihe [mm] \summe_{i=1}^{\infty} a_n [/mm] gegeben.
a)
Frage 1 : Ist diese Reihe zusammengesetzt? Wenn ja, dann untersuchen wir die Bestandteile einzeln!
Frage 2 : Haben wir es hier mit einer speziellen Reihe zu tun?
i) geometrische Reihe ?!
ii) alternierende Reihe ?!
iii) Wechselsumme ?!
iv) harmonische Reihe ?!
Bei i)-iv) sind wir schon fertig, wenn nicht, müssen wir kreativ werden.
b) keine spezielle/bekannte Reihe zu erkennen.
i) Ist [mm] (a_n) [/mm] Nullfolge? Wenn nein, divergent. Sonst weitermachen.
ii) Quotientenkriterium anwendbar? Wenn ja - fertig. Sonst..
iii) Wurzelkriterium anwendbar? Wenn ja - fertig. Sonst...
iv) konvergente Majorante zu sehen? Wenn ja - konvergent. Sonst...
v) divergente Minorante zu sehen? Wenn ja - divergent. Sonst...
vi) haben wir ein Problem. Dafür gibts kein Rezept. Da hilft nur ausprobieren oder Hilfe holfen.
Wenn du möchstest, können wir mal Schritt für Schritt hier durchgehen, was wo zu beachten ist und wo du vielleicht noch Schwierigkeiten hast.
Prinzipiell müsstest du das alles schon kennen. Nur die Anwendung ist meist nicht so schön übersichtlich, wie die Theorie.
Gruß, Maraq
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:50 So 28.12.2008 | | Autor: | gigi |
hallo,
hättest du evtl für die frage 1. mal ein gutes beispiel zum rechnen? also eine zusammengesetzte reihe?
gruß und danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:04 So 28.12.2008 | | Autor: | MaRaQ |
Hmm. Da fällt mir leider gerade nur ein einfaches Beispiel zu ein:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}((1/3)^n [/mm] + [mm] (1/5)^n)
[/mm]
Sprich alle Reihen der Gestalt [mm] \summe_{n=1}^{\infty} (b_n [/mm] + [mm] c_n) [/mm] mit [mm] \summe_{n=1}^{\infty} b_n [/mm] und [mm] \summe_{n=1}^{\infty} c_n [/mm] konvergente Reihen.
Dann gilt für den Grenzwert: [mm] \summe_{n=1}^{\infty} (b_n [/mm] + [mm] c_n) [/mm] = [mm] \summe_{n=1}^{\infty} b_n [/mm] + [mm] \summe_{n=1}^{\infty} c_n
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:43 So 28.12.2008 | | Autor: | gigi |
gut, ok, das gilt aber nur für die addition, oder?
was ist damit: kann ich aus [mm] \summe a_n [/mm] und [mm] \summe b_n [/mm] kvg. folgern, dass auch [mm] \summe c_n [/mm] mit [mm] c_n:=a_n*b_n [/mm] kvg?
und wenn ja, wie zeige ich das?
tschau
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Hallo gigi,
> gut, ok, das gilt aber nur für die addition, oder?
>
> was ist damit: kann ich aus [mm]\summe a_n[/mm] und [mm]\summe b_n[/mm] kvg.
> folgern, dass auch [mm]\summe c_n[/mm] mit [mm]c_n:=a_n*b_n[/mm] kvg?
> und wenn ja, wie zeige ich das?
Mir fällt zwar gerade kein Gegenbeispiel ein, aber diese "Produktregel" gilt nur für absolut konvergente Reihen:
Wenn du absolut konvergente Reihen [mm] $\sum a_n, \sum b_n [/mm] $ hast mit den Reihenwerten [mm] $\alpha,\beta$, [/mm] so ist das Cauchyprodukt [mm] $\left(\sum a_n\right)\cdot{}\left(\sum b_n \right)$ [/mm] wieder absolut konvergent mit Reihenwert [mm] $\alpha\cdot{}\beta$
[/mm]
Zum Beweis betrachte das Cauchyprodukt
[mm] $\sum\limits_{n=0}^{\infty}c_n$ [/mm] mit [mm] $c_n=\sum\limits_{m=0}^{n}a_mb_{n-m}$
[/mm]
[mm] $=\lim\limits_{k\to\infty}\sum\limits_{n=0}^{k}\left(\sum\limits_{m=0}^{n}a_mb_{n-m}\right)$
[/mm]
Die Umordnung [mm] $\sum\limits_{n=0}^{k}\sum\limits_{m=0}^{n}|a_mb_{n-m}|\le\sum\limits_{n=0}^{k}\sum\limits_{m=0}^{n}|a_mb_{n}|=\left(\sum\limits_{m=0}^k|a_m|\right)\cdot{}\left(\sum\limits_{n=0}^k|a_n|\right)$ [/mm] absolut konvergent ist, wenn [mm] $\sum\limits_{m=0}^{\infty}a_m$ [/mm] und [mm] $\sum\limits_{n=0}^{\infty}b_n$ [/mm] absolut konvergent sind
Nach dem ![[]](/images/popup.gif) Satz von Mertens genügt es bereits, dass eine der beiden Reihen [mm] $\sum a_n, \sum b_n$ [/mm] absolut konvergent ist.
>
> tschau
LG
schachuzipus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:53 So 28.12.2008 | | Autor: | MaRaQ |
> Dann gibt es ja allerhand Kriterien, um komplizierte Reihen
> so umzustellen, dass man die Konvergenz bzw Divergenz
> bestimmen kann.
>
> Jedoch ist mir lediglich die Vorgehensweise beim
> Quotientenkriterium klar geworden. Einfach die Reihe mit
> jeweils 1 erweitern, durch die Urpsrungsreihe teilen und
> schauen, ob das Ergebnis kleiner oder größer 1 ist.
> Was bedeutet hier aber in der Definition der Betrag? Es
> soll ja der Betrag = q sein und dann stellt man fest ob q
> größer oder kleiner 1. Meint es dann, dass negative
> Vorzeichen im Ergebnis nicht zählen?
"Es sei [mm] a_n \not= [/mm] 0 für fast alle n und es existiere der Grenzwert q := [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] | [mm] \bruch{a_{n+1}}{a_n} [/mm] |. Ist q < 1, so konvergiert [mm] \summe_{n=0}^{\infty} a_n [/mm] absolut. Ist q > 1, so divergiert die Reihe. Für q=1 versagt das Kriterium. "
Ich habe das Quotientenkriterium mal aufgeschrieben. Deine Frage bezieht sich jetzt auf den Betrag beim Grenzwert der Folge, die wir hier erhalten?
Nun, wir könnten die Betragsstriche auch weglassen und dann allerdings |q| betrachten. Das ist schlicht eine andere Notation, wobei |q|<1 für absolute Konvergenz... woran erinnert dich das?
Nun, mich zumindest an die geometrische Reihe. Und um die geht es hier auch.
Beweis für das Quotientenkriterium:
"Wenn die Quotienten [mm] |\bruch{a_{n+1}}{a_n}| [/mm] gegen eine Zahl a < 1 konvergieren, so gibt es ein q mit a < q < 1 und ein [mm] n_0 \in \IN, [/mm] so dass gilt:
[mm] |\bruch{a_{n+1}}{a_n}| \le [/mm] q für n [mm] \ge n_0, [/mm]
also [mm] |a_{n_0+k}| \le [/mm] q * [mm] |a_{n_0+k-1}| \le [/mm] ... [mm] \le q^k [/mm] * [mm] |a_{n_0}|. [/mm]
Dann ist [mm] \summe_{n=0}^{\infty} q^n [/mm] * [mm] |a_{n_0}| [/mm] eine Majorante der Reihe [mm] \summe_{n=0}^{\infty} a_{n_0+n}. [/mm] Die erstere konvergiert, es handelt sich ja um eine geometrische Reihe. Nach dem Majorantenkriterium konvergiert dann die zweite Reihe absolut, und damit auch die Ausgangsreihe, die lediglich ein paar Anfangsterme mehr besitzt.
Ist a > 1, so ist [mm] a_{n+1} [/mm] > [mm] a_n [/mm] für genügend großes n. Die Glieder der Reihe bilden also keine Nullfolge und die Reihe kann nicht konvergieren."
Warum habe ich diesen Beweis hier eingestellt? Nun, in meinen Augen steckt da einiges zum Verständnis nicht unwesentliches drin.
Zunächst einmal haben wir für |q|<1 eine geometrische Reihe als konvergente Majorante, zum anderen für |q|>1 nicht einmal eine Nullfolge...
versuch dich da einmal einzulesen.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:57 So 28.12.2008 | | Autor: | gigi |
wo kommt in deinem beweis das k her und was bedeutet es?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:14 So 28.12.2008 | | Autor: | MaRaQ |
[mm] |a_{n_0+k}| \le q*|a_{n_0+k-1} \le [/mm] ... [mm] \le q^k [/mm] * [mm] |a_{n_0}|
[/mm]
Das k hat folgende Bedeutung in der Betrachtung:
Wir haben ja ein [mm] n_0 [/mm] gegeben, so dass für alle n [mm] \ge n_0 [/mm] der Betrag unseres gegebenen Quotienten [mm] a_{n+1}/a_n \le [/mm] q ist.
Nun schätzen wir hier für allgemeine Folgenglieder mit n [mm] \ge n_0 [/mm] ab. Diese nennen wir
[mm] |a_{n_0 + k}| [/mm] (...)
Wobei hier n = [mm] n_0 [/mm] + k, das k ist also einfach eine beliebige Verschiebung des betrachteten Folgeglieds.
ich hoffe, dass dir das weiterhilft. Ich muss nämlich jetzt leider weg, könnte erst morgen wieder schreiben.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:13 So 28.12.2008 | | Autor: | MaRaQ |
> Wurzelkriterium ist dagegen ja auch noch recht
> verständlich. Jedoch: Warum wird der Term auch hier wieder
> in Betragsstriche gefasst?
Ähnliche Gründe wie beim Quotientenkriterium. Schau dir mal in deiner Literatur Beweise für das Wurzelkriterium an: Auch diese laufen wieder auf eine geometrische Reihe als konvergente Majorante hinaus.
> Vorgehen verstehe ich ja einigermaßen, aber bei der
> Umformung habe ich das Gefühl, dass hier viele Tricks
> gefragt sind. Wieso wird zB aus [mm] \bruch{2n-1}{n+1} [/mm] hoch 1/3
> sofort die dritte Wurzel aus 2?
>
> Gibt es hier Regeln, dass ich Teile einfach wegkürzen kann?
> Bei der Konvergenzbestimmung bei Flgen konnte ich ja zB im
> Zähler 1/n streichen, da es ohnehin gegen 0 geht usw.
[mm] (\bruch{2n-1}{n+1})^{\bruch{1}{3}} [/mm] = [mm] \wurzel[3]{\bruch{2n-1}{n+1}} [/mm]
Dies sollte klar sein.
= [mm] \wurzel[3]{\bruch{2-\bruch{1}{n}}{1+\bruch{1}{n}}}
[/mm]
Nun sollte man noch erwähnen, dass wir hier ja den Grenzwert für [mm] n\rightarrow\infty [/mm] betrachten, also die Terme [mm] \bruch{1}{n} [/mm] rausfallen.
Dann steht da schon [mm] \wurzel[3]{2}. [/mm]
> Zu den beiden Kriterien haben wir noch gesagt, dass bei
> Reihen der Form [mm]1/n^\alpha[/mm] die Reihe für [mm]\alpha[/mm] kleiner
> gleich 1 divergiert und für [mm]\alpha[/mm] größer 1 konvergiert.
>
> Wofür bringt mir dieser Satz etwas? Kann ich bei Reihen,
> die so aussehen dann sofort auf Konvergenz bzw DIvergenz
> schließen?
Das ist die allgemeine harmonische Reihe, ja. Da kannst du, wenn ihr das so in der Vorlesung hattet, in Zukunft bei Reihen dieser Gestalt sofort schreiben, dass sie divergieren oder konvergieren. Du solltest es aber schon dahingehend begründen, dass du dich auf diesen Satz berufst.
> SIe müssten ja auch helfen beim Grenzwertkriterium und dem
> Majoranten- bzw Minorantenkriterium. ABER: Hier blicke ich
> kaum durch :o(
Ja. Genau da ist die allgemeine harmonische Reihe eine echte Allzweckwaffe.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 10:09 Mo 29.12.2008 | | Autor: | Englein89 |
Ich kann leider den letzten Post nicht vollständig lesen, da dort etwas mit den Brüchen nicht funktioniert hat.
Ich bin immernoch etwas ratlos beim Majoranten und Minorantenkriterium. WIe war das? Ich muss für das Minorantenkriterium eine kleinere "Minorante" finden, die selbst divergent ist? Wie stelle ich das auf Anhieb an? Wenn ich schon bei der Reihe nicht die Konvergenz bestimmen kann, wie soll ich dann erst auf so eine Vergleichsreihe kommen? :/
Und beim Majorantenkriterium berechne ich eine größere konvergente Majorante?
Ich glaube noch nicht eingegangen wurde auch auf das Grenzwertkriterium, habe hier ja versucht ein Beispiel anzuführen, weil ich nicht weiß, welche Reihe ich nehmen soll, damit [mm] a_n [/mm] durch [mm] b_n [/mm] gerechnet werden kann.
Und das Leibnitzkriterium verstehe ich noch nicht.
Aber das "Backrezept" ist prima. Wenn noch jmd Ergänzungen hat, dann nur her damit. Wäre schön, wenn ich damit arbeiten könnte, da hier, so wie ich das sehe, auch alle "notwendigen Bedingungen" aufgelistet sind, kann das sein?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:16 Mo 29.12.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Englein!
> Ich kann leider den letzten Post nicht vollständig lesen,
> da dort etwas mit den Brüchen nicht funktioniert hat.
Ist nun behoben ...
Gruß
Loddar
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> Noch ein Beispiel: [mm]\summe_{n \ge 0}[/mm] (-1)^(2n+1) [mm]\bruch {2n-2}{4n+1}^n[/mm]
>
> Würde sich ja Wurzelkriterium anbieten. Aber: Wieso fällt
> dann (zumindest in der Lösung) der erste Teil der Reihe weg
> und es bleibt nur noch der Bruch?
>
> Und ich "streiche" hier ja gedanklich 2n und 4n, da sie ja
> gegen unendlich laufen, richtig? Streiche ich so etwas
> gedanklich dann immer? Genau wie Brüche mit n im Nenner?
>
>
Habe es rauskopiert, da ich es versehentlich in den Anfangspost geschrieben habe.
Hier auch ein Beispiel zum Leibnitzkriterium: [mm] (-1)^n [/mm] * [mm] \bruch {2}{\wurzel {n^2 + 1}}
[/mm]
Hier wird gesagt der Bruch gehe gegen 0 und sei eine Nullfolge, also konvergent (!?). Ich dachte Nullfolge bedeute divergent. Und wieso sieht man dies hier so schnell, wie gehe ich daher beim Leibnitzkriterium vor?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:27 Mo 29.12.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Englein!
Der Herr Leibniz schreibt sich ohne "t".
Nullfolge heißt nichts anderes, dass die entsprechende Folge einen konkreten Grenzwert hat; und zwar: Null! Eine Nullfolge ist also auch konvergent.
Divergent sind alle Folgen, welche nicht konvergent sind.
Voraussetzung für die Anwendung des Leibniz-Kriterium's ist eine alternierende Reihe der Form:
[mm] $$\summe^{\infty}(-1)^n*a_n$$
[/mm]
Wenn nun [mm] $a_n$ [/mm] sowohl eine (i) Nullfolge als auch (ii) monoton fallend ist, konvergiert die entsprechende Reihe.
In Deinem Falle musst Du also nachweisen, dass [mm] $\bruch{2}{\wurzel{n^2+1}}$ [/mm] eine Nullfolge ist und monoton fallend ist.
Gruß
Loddar
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 10:47 Mo 29.12.2008 | | Autor: | Englein89 |
Okay, das habe ich verstanden.
Bleibt dann aber noch meine Frage zum ersten Beispiel, das ich zitiert habe und wie ich beim Majoranten/Minorantenkriterium vorgehe. (Es sei denn das steht auch in dem Querverweis, dann muss ich nachher mal suchen).
Ich habe hier noch ein Beispiel, aber vielmehr zur Rechenweise, die für mich irgendwie durch die Kriterien kompliziert wird.
Ich habe den Bruch [mm] \bruch{4x+4}{\wurzel {x^2 + 2x + 2} + \wurzel {x^2 - 2x - 2}}
[/mm]
Ich hätte jetzt noch einfach durch 4 im Zähler und Nenner geteilt, aber in der Lösung wird offenbar im Zähler durch x und im Nenner durch [mm] x^2 [/mm] geteilt. Wie kommt es dazu?
Ich habe bei dem Querverweis von dir, Loddas, noch was mit Fallunterscheidung als Stichwort gelesen. Kannst du mir erklären, wann man dies in der Regel immer machen muss? Ich hab mir mal Fetzen aufgeschrieben, dass das nötig wird, wenn man so eine Reihe der Form [ [mm] \bruch{Zahl}{0} [/mm] ] hat, dass man dann den rechtsseitigen und linksseitigen Grenzwert suchen muss. Werfe ich da jetzt etwas durcheinander, zB dass das nur geht, wenn ich etwas von der Form Limes gegen eine bestimmte Zahl habe und so etwas in der Art?
Achja, wann kommt letztlich der l'Hospital ins Spiel?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:53 Mo 29.12.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Englein!
Du solltest erst einmal Deine Gedanken und Deine Fragen sortieren ... denn da herrscht m.E. gerade ein heilloses Durcheinander! ![[konfus]](/images/smileys/konfus.gif "[konfus]")
Von Deinem letzten Post hat nur der Absatz mit Minorante / Majorante etwas mit Reihenkonvergenz zu tun.
Der Rest sind schon wieder völlig neue und selbständige Fragen. Bitte dies auch in entsprechend separaten Threads fragen.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:01 Mo 29.12.2008 | | Autor: | Englein89 |
Du hast Recht. Ich werd versuchen das evtl nachher nochmal separat zu posten, da mir jetzt die Zeit einfach fehlt. Für mich ist das irgendwie alles ein Thema ;o) :o(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:29 Mo 29.12.2008 | | Autor: | MaRaQ |
> Ich habe den Bruch [mm]\bruch{4x+4}{\wurzel {x^2 + 2x + 2} + \wurzel {x^2 - 2x - 2}}[/mm]
>
> Ich hätte jetzt noch einfach durch 4 im Zähler und Nenner
> geteilt, aber in der Lösung wird offenbar im Zähler durch x
> und im Nenner durch [mm]x^2[/mm] geteilt. Wie kommt es dazu?
[mm]\bruch{4x+4}{\wurzel {x^2 + 2x + 2} + \wurzel {x^2 - 2x - 2}}[/mm]
Im Nenner stehen Wurzeln, im Zähler nicht. Es wird (nehme ich an) jeweils x ausgeklammert.
[mm]\bruch{x(4+\bruch{4}{x})}{x(\bruch{\wurzel {x^2 + 2x + 2}}{x} + \bruch{\wurzel {x^2 - 2x - 2}}{x})}[/mm]
Und jetzt das x unter die Wurzel bringen [mm] (x^2)
[/mm]
[mm]\bruch{4+\bruch{4}{x}}{\wurzel {1 + \bruch{2}{x} + \bruch{2}{x^2}} + \wurzel {1 - \bruch{2}{x} - \bruch{2}{x^2}}[/mm]
Ich hoffe, du kannst den letzten Schritt nachvollziehen.
Gruß, Maraq
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Ok, ich hab mittlerweile alles verstanden. Aber das Majoranten/Minorantenkriterium leuchtet mir immernoch nicht ein. Weder Vorgehensweise (bzw die Gedanken die ich mir machen muss bevor ich diese Kriterien anwende) noch wie ich auf die Majoranten und Minoranten komme :(
Ich habe hier eine Aufgabe, die das evtl gut ergänzt und die mir große Probleme bereitet, da sie den Kern trifft:
a) Gebe eine beschränkte, divergente Reihe an
b) Gebe eine konvergente, nicht absolut konvergente Reihe an
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:59 Mo 29.12.2008 | | Autor: | MaRaQ |
Nun, Majoranten- und Minorantenkriterium sind zwei Kriterien mit folgenden Einsatzmöglichkeiten:
Majorantenkriterium
Mit dem Majorantenkriterium kann man die Konvergenz einer Reihe zeigen.
Prinzip:
Wenn man zu einer Reihe [mm] \summe a_n [/mm] eine konvergente Reihe findet, so dass jedes Reihenglied betragsmäßig kleiner ist, als das zugehörige Reihenglied der konvergenten Reihe (die nenne ich hier mal [mm] \summe c_n), [/mm] so konvergiert die Reihe [mm] a_n [/mm] (sogar absolut).
In Formeln:
Sei [mm] \summe c_n [/mm] eine konvergente Reihe und [mm] (a_n) [/mm] eine Folge mit [mm] |a_n| \le c_n [/mm] für fast alle n [mm] \in \IN. [/mm]
Dann konvergiert [mm] \summe a_n [/mm] absolut.
Praxis:
In der Praxis (aber meine Erfahrungen sind natürlich sehr beschränkt ) kann man hier besonders die allgemeine harmonische Reihe, beispielsweise [mm] \summe \bruch{1}{n^2} [/mm] für die Abschätzungen verwenden, sprich, bekannte Reihen, von denen man weiß, dass sie konvergieren und die sehr einfach sind.
Minorantenkriterium
Das Minorantenkriterium kann man verwenden, um die Divergenz einer Reihe zeigen.
Prinzip:
Ähnlich dem Majorantenkriterium findet man hier eine divergente Reihe, deren Reihenglieder immer noch kleiner sind, als die der zu untersuchenden Reihe. Daraus schließt man, dass diese erst recht divergieren muss.
In Formeln:
Sei [mm] \summe c_n [/mm] eine divergente Reihe. und [mm] (a_n) [/mm] eine Folge mit [mm] |a_n| \ge c_n [/mm] für fast alle n [mm] \in \IN.
[/mm]
Dann divergiert auch die Reihe [mm] \summe a_n
[/mm]
In der Praxis:
Hier ist mir bisher eigentlich nur die harmonische Reihe vorgekommen.
Beispielsweise kann man über die Divergenz von [mm] \summe \bruch{1}{n} [/mm] und [mm] \bruch{1}{n-3} \ge \bruch{1}{n} [/mm] für alle n folgern, dass auch [mm] \summe \bruch{1}{n-3} [/mm] divergiert. Das ist sicherlich trivial (das Wort wollte ich schon immer mal benutzen :-P ).
Die Reihen laufen natürlich allesamt von n bis [mm] \infty. [/mm]
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Eine hilfreiche Zusammenfassung, vielen Dank!
Nur nochmal zum Anfang: Wie sehe ich, welches der beiden Verfahren ich am besten benutze? Gibt es da irgendeine Möglichkeit?
Ich hatte auch Aufgaben, wo ich die Reihen an sich vergrößert bzw verkleinert habe, statt eine ganz andere Reihe heranzuziehen. Aber ist das die Regel oder eher eine Ausnahme?
Ist es egal "wie" klein die kleinere Reihe zB ist, hauptsache sie "ist" kleiner?
Und nochmal zum Sandwichkriterium (ich glaube, so ganz wurde das noch nicht beantwortet oder ich hab es überlesen): Wenn ich nur eine Folge habe, wie wende ich dann das Sandwichkriterium an, da brauche ich ja noch 2 andere?
Danke dir für deine Mühe, Maraq :o)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:20 Mo 29.12.2008 | | Autor: | MaRaQ |
> Eine hilfreiche Zusammenfassung, vielen Dank!
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> Nur nochmal zum Anfang: Wie sehe ich, welches der beiden
> Verfahren ich am besten benutze? Gibt es da irgendeine
> Möglichkeit?
Ich fürchte, da hilft nur üben, üben, üben. Je mehr Reihen man untersucht hat, desto eher kommt einem da was "bekannt" vor.
> Ich hatte auch Aufgaben, wo ich die Reihen an sich
> vergrößert bzw verkleinert habe, statt eine ganz andere
> Reihe heranzuziehen. Aber ist das die Regel oder eher eine
> Ausnahme?
Ich schätze, eher die Regel, da zwar mit Sicherheit Aufgaben zur harmonischen Reihe drankommen, aber ich fürchte, meine Beispiele sind den Profs zu einfach.
Es ist sicherlich legitim und hilfreich, Reihen durch abschätzen zu vereinfachen, um mit der Konvergenz/Divergenz weiterzukommen.
Ein Beispiel, das mir hierzu einfällt:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{n(n+1)(n+2)}
[/mm]
> Ist es egal "wie" klein die kleinere Reihe zB ist,
> hauptsache sie "ist" kleiner?
Ja, hauptsache sie divergiert. Im unendlichen ist es dann ziemlich egal, ob der Größenunterschied pro Reihenglied bei 0,001, 100, [mm] 10^5 [/mm] oder sonstwo liegt...
> Und nochmal zum Sandwichkriterium (ich glaube, so ganz
> wurde das noch nicht beantwortet oder ich hab es
> überlesen): Wenn ich nur eine Folge habe, wie wende ich
> dann das Sandwichkriterium an, da brauche ich ja noch 2
> andere?
Gute Frage, mit dem Sandwichkriterium bin ich auch noch nicht so vertraut.
Ich habe es in der Vorlesung mal kennengelernt aber in den praktischen Übungen nie benötigt.
> Danke dir für deine Mühe, Maraq :o)
Danke dir für deine Fragen. Ich profitiere ja auch davon. Einiges musste ich mir noch mal anlesen, anderes wird aufgefrischt, eigene Lücken aufgedeckt... viel effizienteres Lernen kenne ich gar nicht.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 10:35 Di 30.12.2008 | | Autor: | Englein89 |
Also im Grunde ist es beim Minorantenkriterium nichts anderes, als irgendeine bekannte Reihe heranzuziehen, die größer bzw kleiner ist und dessen Konvergenz man jedoch kennt?
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Nochmal kurz zurück zu Folgen. Welche Möglichkeiten habe ich da zum Erkennen der Konvergenz? Im Grunde ja nur umformen, indem ich Variablen ausklammere und wegkürze oder möglichst viele Komponenten versuche in Brüche umzuformen, sodass sie gegen unendlich wegfallen, oder? AUßerdem kann ich den Satz anwenden "Jede monoton fallende/wachsende und einseitig beschränkte Funktion ist konvergent", nicht?
Und nicht definiert sind lediglich solche Aussagen wie 0*unendlich, unendlich - unendlich, unendlich/unendlich, 0/0.
Den Sandwichsatz könnte ich noch anwenden, aber den haben wir ja beide nicht so ganz verstanden. Ich finde es auch etwas schwierig jeweils 2 Folgen zu finden, die einmal größer und einmal kleiner sind. :o/
Und dann gibt es ja auch noch die Definition der Konvergenz, aber die ist mir etwas undurchsichtig (und müsste zumindest vom Anfang her dem Cauchy-Satz entsprechen, den ich aber auch nicht durchschaut habe):
Eine Folge heißt konvergent gegen den Grenzwert a wenn es zu jedem Epsilon > 0 eine Zahl n gibt, mit [mm] |a_n [/mm] - a| < Epsilon für alle n > n_Epsilon
[mm] lom_n->unendlich a_n [/mm] = unendlich, genau dann wenn es zu jeder Zahl M eine Zahl [mm] n_M [/mm] gibt mit [mm] a_n [/mm] > M für alle n (und dementsprechend ungekehrt für -unendlich und [mm] a_n [/mm] < M)
Kann das jemand erläutern? Evtl hilft mir das ja auch weiter bei der Bestimmung der KOnvergenz.
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Wenn ich mir nochmal die Reihenkonvergenz ansehe habe ich ja im Grunde Maraqs "Backrezept": Ich schaue ob es eine Nullfolge ist, dann konvergent (aber ich muss weiterrechnen). Ist es keine Nullfolge (geht der GW also nicht gegen 0) dann auf jeden Fall divergent und ich kann aufhören zu rechnen.
Ist die Reihe monoton steigend und nach oben beschänkt, kann ich aber sagen, dass sie konvergent ist, oder? Muss dann aber noch den GW bestimmen?
Und dann habe ich eben die versch Kriterien, wobei ich insinktiv eigtl immer mit dem Quotientenkriterium beginne, dann Wurzelkriterium.
Beim Grenzwertkriterium ziehe ich irgendeine bekannte Reihe heran, dessen Konvergenz bzw Divergenz ich kenne (Aber hier noch die Frage: Welche Reihe ziehe ich heran, was muss diese Reihe erfüllen? Und kann ich am Ende, wenn ich schon im Zähler und Nenner ganz viele Brüche habe, mit der Variablen im jeweiligen Nenner, alles gedanklich streichen bei gegen unendlich oder kann ich dann nur bestimmte Brüche gedanklich streichen, die dann auch divergent oder konvergent sind?).
Leibniz und Minorante/Majorante bleibt mir immernoch nicht ganz schlüssig, aber ich hoffe einfach mal, dass ich mit dem Rest auch gut vorankomme. Ich schaue mir nachher nochmal an und fasse zusammen, was wir bisher zusammengetragen haben.
Vielen Dank für eure Mitarbeit!
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> Also im Grunde ist es beim Minorantenkriterium nichts
> anderes, als irgendeine bekannte Reihe heranzuziehen, die
> größer bzw kleiner ist und dessen Konvergenz man jedoch
> kennt?
Hallo,
beim Minorantenkriterium nimmt man eine divergente(!) Reihe [mm] \summe a_n [/mm] mit [mm] 0\le a_n\le b_n [/mm] und weiß hieraus, daß [mm] \summe b_n [/mm] divergiert.
Zum Rest Deines Posts: das ist ein Konglomerat aus Selbstgespräch und diversen Fragen zu diversen Themen.
Wenn man hier weitermacht, wird das völlig ausufern.
Sortiere Deine Gedanken und poste dann Deine Fragen in getrennten Threads. So geht das nicht. Das ist ein Rundumschlag.
Gruß v. Angela
>
> ---
>
> Nochmal kurz zurück zu Folgen. Welche Möglichkeiten habe
> ich da zum Erkennen der Konvergenz? Im Grunde ja nur
> umformen, indem ich Variablen ausklammere und wegkürze oder
> möglichst viele Komponenten versuche in Brüche umzuformen,
> sodass sie gegen unendlich wegfallen, oder? AUßerdem kann
> ich den Satz anwenden "Jede monoton fallende/wachsende und
> einseitig beschränkte Funktion ist konvergent", nicht?
>
> Und nicht definiert sind lediglich solche Aussagen wie
> 0*unendlich, unendlich - unendlich, unendlich/unendlich,
> 0/0.
>
> Den Sandwichsatz könnte ich noch anwenden, aber den haben
> wir ja beide nicht so ganz verstanden. Ich finde es auch
> etwas schwierig jeweils 2 Folgen zu finden, die einmal
> größer und einmal kleiner sind. :o/
>
> Und dann gibt es ja auch noch die Definition der
> Konvergenz, aber die ist mir etwas undurchsichtig (und
> müsste zumindest vom Anfang her dem Cauchy-Satz
> entsprechen, den ich aber auch nicht durchschaut habe):
>
> Eine Folge heißt konvergent gegen den Grenzwert a wenn es
> zu jedem Epsilon > 0 eine Zahl n gibt, mit [mm]|a_n[/mm] - a| <
> Epsilon für alle n > n_Epsilon
>
> [mm]lom_n->unendlich a_n[/mm] = unendlich, genau dann wenn es zu
> jeder Zahl M eine Zahl [mm]n_M[/mm] gibt mit [mm]a_n[/mm] > M für alle n (und
> dementsprechend ungekehrt für -unendlich und [mm]a_n[/mm] < M)
>
> Kann das jemand erläutern? Evtl hilft mir das ja auch
> weiter bei der Bestimmung der KOnvergenz.
>
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>
> Wenn ich mir nochmal die Reihenkonvergenz ansehe habe ich
> ja im Grunde Maraqs "Backrezept": Ich schaue ob es eine
> Nullfolge ist, dann konvergent (aber ich muss
> weiterrechnen). Ist es keine Nullfolge (geht der GW also
> nicht gegen 0) dann auf jeden Fall divergent und ich kann
> aufhören zu rechnen.
> Ist die Reihe monoton steigend und nach oben beschänkt,
> kann ich aber sagen, dass sie konvergent ist, oder? Muss
> dann aber noch den GW bestimmen?
>
> Und dann habe ich eben die versch Kriterien, wobei ich
> insinktiv eigtl immer mit dem Quotientenkriterium beginne,
> dann Wurzelkriterium.
> Beim Grenzwertkriterium ziehe ich irgendeine bekannte
> Reihe heran, dessen Konvergenz bzw Divergenz ich kenne
> (Aber hier noch die Frage: Welche Reihe ziehe ich heran,
> was muss diese Reihe erfüllen? Und kann ich am Ende, wenn
> ich schon im Zähler und Nenner ganz viele Brüche habe, mit
> der Variablen im jeweiligen Nenner, alles gedanklich
> streichen bei gegen unendlich oder kann ich dann nur
> bestimmte Brüche gedanklich streichen, die dann auch
> divergent oder konvergent sind?).
>
> Leibniz und Minorante/Majorante bleibt mir immernoch nicht
> ganz schlüssig, aber ich hoffe einfach mal, dass ich mit
> dem Rest auch gut vorankomme. Ich schaue mir nachher
> nochmal an und fasse zusammen, was wir bisher
> zusammengetragen haben.
>
> Vielen Dank für eure Mitarbeit!
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Bei der Reihe [mm] \summe_{n \ge 0}(-1)^{2n+1} \bruch {2n-2}{4n+1}^n [/mm] müsste ich doch das Leibniz-Kriterium anwenden können, oder? Es ist ja von der Form der alternierenden Reihe, sodass ich nur noch den Bruch betrachten müsste. Aber ich dachte, dies gelte nur für [mm] (-1)^n?
[/mm]
Sehe ich es richtig, dass bei Leibniz nur Konvergenz bewiesen wird, nicht aber Divergenz, weil ich hier nur die alternierenden Reihen betrachte? Aber die alternierende Reihe ist doch divergent!?
Zum Grenzwertkriterium wüsste ich nur noch gerne, nach welchen Kriterien ich die Reihe auswähle und ob ich beim Kürzen nachher bei der Umformung irgendetwas beachten muss.
Danke!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:28 Di 30.12.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Englein!
Kannst oder willst Du Tipps von uns nicht annehmen?! ![[kopfkratz]](/images/smileys/kopfkratz.gif "[kopfkratz]")
> Ich möchte an der Stelle nur noch ein Mal zu
> Folgenzurückkommen, da es mir nicht wichtig genug erscheint
> um einen Extrathread zu öffnen:
Uns aber schon! (Und Dir scheinen doch Antworten wichtig genug zu sein, oder?!)
Bitte stelle ab sofort separate Fragen in separaten Threads!
Ich für meinen Teil habe keine Lust mehr, in diesem Chaos-Thread zu antworten (aber das können andere natürlich anders sehen!).
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:39 Di 30.12.2008 | | Autor: | Englein89 |
Ich habs gekürzt. Sorry!
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Hallo zusammen,
ich kann mich Loddar nur anschließen: Es ist das pure Chaos hier!
Ich werd trotzdem mal versuchen Klarheit zu schaffen:
Erstmal vorweg: Ich bretrachte zuerst einmal den Fall, man könnte hier das Leibnizkriterium nehmen!
Dann reicht es zu untersuchen, ob die Folge [mm] a_{n}=\bruch{2n-2^{n}}{4n+1} [/mm] eine Nullfolge ist.
Nur so nebenbei: Ausdrücke wie z.B. [mm] \bruch{\infty}{\infty} [/mm] oder auch [mm] 0^{0} [/mm] sind ungeklärte Ausdrücke, die können alles sein...
Versuchen wir mal die Folge ein wenig zu vereinfachen:
[mm] a_{n}=\bruch{2n-2^{n}}{4n+1}=\bruch{n(2-\bruch{2^{n}}{n})}{n(4+\bruch{1}{n}})=\bruch{(2-\bruch{2^{n}}{n})}{(4+\bruch{1}{n})}
[/mm]
Nun betrachten wir [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(2-\bruch{2^{n}}{n})}{(4+\bruch{1}{n})}.
[/mm]
Der Knackpunkt schein ohne Zweifel der Ausdruck [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{2^{n}}{n} [/mm] zu sein.
Ich sage dir jetzt einfach, dass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{2^{n}}{n}=\infty. [/mm] Zu beweisen geht das schnell:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{2^{n}}{n}=\infty, [/mm] denn [mm] 2^{n}=(1+1)^{n}=\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}\le \bruch{n^{2}}{4} [/mm] (nur 3. Summand und abgeschätzt)
[mm] \Rightarrow \bruch{2^{n}}{n} \le \bruch{\bruch{n^{2}}{4} }{n} [/mm] = [mm] \bruch{n}{4} \to \infty [/mm] (n [mm] \to \infty).
[/mm]
Damit du aber das Leibnizkriteruim anwenden kannst, brauchst du einen alternierende Reihe:
2n+1 ist meiner Meinung nach aber stets eine ungerage Zahl, und somit ist [mm] (-1)^{2n+1} [/mm] stets -1, [mm] \forall n\in \IN.
[/mm]
Damit scheidet das Leibnizkriterium aus.
Welches Kriteruim zum Ziel führt, seh ich auf die schnelle leider auch nicht!
lg Kai
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 18:20 Di 30.12.2008 | | Autor: | Englein89 |
Super, danke!
Aber: ist die alternierende Reihe für n ungerade nicht 0? Du sagtest -1.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:26 Di 30.12.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Englein!
Was ist "die alternierende Reihe"? So etwas gibt es nicht.
Oder meinst Du Dein eigenes Besipiel oben? Da wurde lediglich gezeigt, dass es sich gar nicht um eine alternierende Folge handelt, da [mm] $(-1)^{2n+1} [/mm] \ = \ -1$ .
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:59 Di 30.12.2008 | | Autor: | Englein89 |
Ich beziehe mich auf die Aussage:
> 2n+1 ist meiner Meinung nach aber stets eine ungerade Zahl,
> und somit ist [mm] (-1)^{2n+1} [/mm] stets -1
Es wurde ja gesagt, dass dies eine alternierende Reihe ist, die ich ja für das Leibniz Kriterium brauche. Und es wurde vermutet dass der Exponent ungerade ist und ich dachte dass für ungerade Exponenten folgt, dass dieser Teil = 0 ist.
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Bei einer alternierenden Reihe wechselt doch einfach nur ständig das Vorzeichen der Summanden. Etwas anders bedeutet das "alternierend" doch gar nich?!
D.h. es ist ein [mm] (-1)^{n} [/mm] oder ein [mm] (-1)^{n+1} [/mm] oder irgend sowas enthalten...
Aber [mm] (-1)^{2n-1} [/mm] ist, egal welches n du einsetzt, immer (-1). 2n+1 ist doch der Standartausdruck für eine ungerade Zahl, und (-1)*(-1)*...*(-1) ungerade mal oft ergibt nun mal (-1).
D.h. bei deinem Bsp. ist nix alternierend und somit auch nix Leibnizkriterium.
lg Kai
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:37 Mo 29.12.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Englein!
Sieh mal hier; da habe ich mal versucht, die Reihenkonvergenz und ihre Kriterien zu erläutern.
Gruß
Loddar
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