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| Aufgabe | Das Schaubild hat in einer Funktion f mit
f(x)=a*x+b*cos(x) ; x [mm] \in \IR [/mm] ,
hat im Punkt Q [mm] (\pi/2|\pi/4) [/mm] die Steigung -1/2
Bestimmen sie a und b |
Mein Frage ist recht simpel ich hab echt keine ahnung was ich da machen muss und ich verlange auch von keinem das er mir das vorrechnet, wobei es natürlich toll wäre wenn jemand die zeit hat, aber wenigestens einen lösungsansatz hätte wäre ich sehr dankbar.
Idee:
Wäre es hier möglich was ich mirüberlegt habe für a oder b Fantasiewerte einzusezten zb 1, um somit auf eine Lösung zu kommen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo erlkoenig,
Nun, du hast die Funktion [mm] f(x)=a\cdot{}x+b\cdot{}\cos(x) [/mm] und die hat im Punkt [mm] Q=\left(\bruch{\pi}{2};\bruch{\pi}{4}\right) [/mm] die Steigung [mm] -\bruch{1}{2}.
[/mm]
So, nun überlegen wir mal, welche Informationen wir aus den Angaben rausziehen können.
Zuerst soll die Steigung im Punkt Q [mm] -\bruch{1}{2} [/mm] sein.
Und was ist die Steigung an einer Stelle [mm] x_0? [/mm] Natürlich die Ableitung [mm] f'(x_0) [/mm] an der Stelle [mm] x_0. [/mm] Also [mm] f'\left(\bruch{\pi}{2}\right)=.....=-\bruch{1}{2}
[/mm]
Als weitere Info haben wir den Punkt [mm] Q=\left(\bruch{\pi}{2};\bruch{\pi}{4}\right)
[/mm]
Die Funktion f geht also durch den Punkt [mm] \left(\bruch{\pi}{2};\bruch{\pi}{4}\right), [/mm] dh, [mm] f\left(\bruch{\pi}{2}\right)=....=\bruch{\pi}{4}
[/mm]
Mit diesen beiden Gleichungen solltest du die Koeffizienten a und b berechnen können.
Hilft das weiter?
Gruß
schachuzipus
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Nein tut mir leid ich bin wohl etwas eingerostet, mein Sohn rechnet das gerade in der Schule und ich hab das nun schon einige Jahre nicht mehr gemacht. Naja also das mit der ersten Ableitung = Steigung, bitte steinigt mich, dass ist mir jetzt grade wieder aufgegangen.
$ [mm] f'\left(\bruch{\pi}{2}\right)=.....=-\bruch{1}{2} [/mm] $
Das hätten wir nun kann ich nun hingehen und sagen,
[mm] f'\left(\bruch{\pi}{2}\right)=a*\bruch{2}{\pi}+b*cos(\bruch{2}{\pi})=-\bruch{1}{2}
[/mm]
und so komme ich auf a bzw b,
naja irgendwie glaub ich mir selbst nicht vielleicht kannst du noch ein wenig ausführlicher werden, ich wäre dir sehr dankbar
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> Nein tut mir leid ich bin wohl etwas eingerostet, mein Sohn
> rechnet das gerade in der Schule und ich hab das nun schon
> einige Jahre nicht mehr gemacht. Naja also das mit der
> ersten Ableitung = Steigung, bitte steinigt mich, dass ist
> mir jetzt grade wieder aufgegangen.
>
> [mm]f'\left(\bruch{\pi}{2}\right)=.....=-\bruch{1}{2}[/mm]
> Das hätten wir nun kann ich nun hingehen und sagen,
>
> [mm]f'\left(\bruch{\pi}{2}\right)=a*\bruch{2}{\pi}+b*cos(\bruch{2}{\pi})=-\bruch{1}{2}[/mm]
> und so komme ich auf a bzw b,
> naja irgendwie glaub ich mir selbst nicht vielleicht
> kannst du noch ein wenig ausführlicher werden, ich wäre dir
> sehr dankbar
>
Hallo nochmal,
nun, bevor du [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] in f' einsetzt, solltest du die Ableitung bilden:
Also f(x)=ax+bcos(x) [mm] \Rightarrow [/mm] f'(x)=a-bsin(x)
Da nun [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] einsetzen: [mm] f'\left(\bruch{\pi}{2}\right)=a-bsin\left(\bruch{\pi}{2}\right)
[/mm]
Der sin ist an der Stelle [mm] \bruch{\pi}{2}=1, [/mm] also
[mm] a-bsin\left(\bruch{\pi}{2}\right)=a-b\cdot{}1=a-b
[/mm]
Und das ist [mm] =-\bruch{1}{2}, [/mm] also [mm] a-b=-\bruch{1}{2}
[/mm]
Das ist unsere erste Gleichung
Die zweite leiten wir aus der Info her, dass Q ein Punkt des Graphen der Funktion f ist,
also [mm] f\left(\bruch{\pi}{2}\right)=a\cdot{}\bruch{\pi}{2}+bcos\left(\bruch{\pi}{2}\right)=a\cdot{}\bruch{\pi}{2}+b\cdot{}0 [/mm] , da [mm] cos\left(\bruch{\pi}{2}\right)=0 [/mm] ist
[mm] =a\cdot\bruch{\pi}{2} [/mm]
Das soll [mm] \bruch{\pi}{4} [/mm] sein, also [mm] a\cdot\bruch{\pi}{2}=\bruch{\pi}{4}
[/mm]
Nun auf beiden Seite durch [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] teilen
[mm] \Rightarrow a=\bruch{\bruch{\pi}{4}}{\bruch{\pi}{2}} \Rightarrow a=\bruch{1}{2}
[/mm]
Das nun in die erste Gleichung [mm] a-b=-\bruch{1}{2} [/mm] einsetzen:
[mm] \bruch{1}{2}-b=-\bruch{1}{2} \Rightarrow [/mm] b=1
Also haben wir a und b ermittelt, also
[mm] f(x)=\red{\bruch{1}{2}}+\red{1}\cdot{}\cos(x)=\bruch{1}{2}+\cos(x)
[/mm]
Ich packe dir mal die so ermittelte Funktion f und ihre Tangente in Q in den Anhang, dann kannste das auch am Graphen nachvollziehen.
Lieben Gruß
schachuzipus
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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