Bestimmung aller Ableitungen < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:31 Do 16.04.2009 | | Autor: | Yuri17 |
| Aufgabe | | Es sein f(x)= arctan(x). Bestimme alle Ableitungen [mm] f^{(k)}(0), [/mm] k [mm] \in \IN. [/mm] |
Ich habe folgenden Weg und würde gerne wissen , ob dieser Richtig ist:
Gesucht ist: [mm] f^{(k)}(0).
[/mm]
f(x)= arctan(x) lässt sich auch als folgende Reihe schreiben: [mm] \summe_{n=0}^{\infty}(-1)^n \bruch{x^{2n+1}}{2n+1} [/mm]
Da diese einen positiven Kvg.-radius besitzt können wir:
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{f^{(k)}(x_{0})}{k!}(x-x_{0})^k
[/mm]
=> [mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{f^{(k)}(0)}{k!}(x)^k
[/mm]
=> [mm] \forall [/mm] k : [mm] \bruch{f^{(k)}(0)}{k!}(x)^k [/mm] = [mm] (-1)^n \bruch{x^{2n+1}}{2n+1} [/mm]
=> [mm] f^{(k)}(0) [/mm] = [mm] \bruch{(-1)^n \bruch{x^{2n+1}}{2n+1} k! }{x^k} [/mm] = [mm] \bruch{(-1)^n x^{1-k+2n} k!}{1+2n}
[/mm]
Was dann mein Ergebnis wäre. Ist der Weg richtig, oder sinnlos ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:47 Do 16.04.2009 | | Autor: | fred97 |
> Es sein f(x)= arctan(x). Bestimme alle Ableitungen
> [mm]f^{(k)}(0),[/mm] k [mm]\in \IN.[/mm]
> Ich habe folgenden Weg und würde
> gerne wissen , ob dieser Richtig ist:
> Gesucht ist: [mm]f^{(k)}(0).[/mm]
> f(x)= arctan(x) lässt sich auch als folgende Reihe
> schreiben: [mm]\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^n \bruch{x^{2n+1}}{2n+1}[/mm]
> Da diese einen positiven Kvg.-radius besitzt können wir:
>
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{f^{(k)}(x_{0})}{k!}(x-x_{0})^k[/mm]
>
> => [mm]\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{f^{(k)}(0)}{k!}(x)^k[/mm]
> => [mm]\forall[/mm] k : [mm]\bruch{f^{(k)}(0)}{k!}(x)^k[/mm] = [mm](-1)^n \bruch{x^{2n+1}}{2n+1}[/mm]
> => [mm]f^{(k)}(0)[/mm] = [mm]\bruch{(-1)^n \bruch{x^{2n+1}}{2n+1} k! }{x^k}[/mm]
> = [mm]\bruch{(-1)^n x^{1-k+2n} k!}{1+2n}[/mm]
>
> Was dann mein Ergebnis wäre. Ist der Weg richtig, oder
> sinnlos ?
Sinnlos. Die letzten beiden Implikationen sind Quatsch !!
Nimm mal an, es sei
$f(x) = [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_nx^n$
[/mm]
Dann gilt doch:
[mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{f^{(n)}(0)}{n!} [/mm] für n [mm] \in \IN_0
[/mm]
Noch nie gesehen ? Sicher doch.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:01 Do 16.04.2009 | | Autor: | Yuri17 |
Danke für die Antwort:
Sorry ich stehe gerade auf dem Schlauch:
Ich verstehe nicht worauf du hinaus willst.
Kann du mich bitte noch ein bisschen mehr stubsen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:09 Do 16.04.2009 | | Autor: | fred97 |
Du hast doch
$f(x) =arctan(x) = [mm] \summe_{n=0}^{\infty}(-1)^n \bruch{x^{2n+1}}{2n+1} [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_nx^n [/mm] $
mit
[mm] a_{2n+1} [/mm] = [mm] \bruch{(-1)^n}{2n+1} [/mm] und [mm] a_{2n} [/mm] = 0
Jetzt beherzige, was ich Dir oben geschrieben habe.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:52 Do 16.04.2009 | | Autor: | Yuri17 |
Sorry , ich glaube ich bin immernoch verwirrt .
Also :
f(x) = arctan(x) = [mm] \summe_{n=0}^{\infty}(-1)^n \bruch{x^{2n+1}}{2n+1} [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_nx^n [/mm]
Um auf die die Form der Potenzreihe zu kommen: m = 2n +1
=> [mm] a_{m}= \bruch{(-1)^n}{m}
[/mm]
[mm] =>\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{(\bruch{m-1}{2})}}{m} x^m [/mm] diese muss ich doch nun mit der Taylorreihe gleichsetzten
[mm] \bruch{(-1)^{(\bruch{m-1}{2})}}{m} x^m [/mm] = [mm] \bruch{f^{(n)}(0)}{n!} x^n
[/mm]
=> [mm] \bruch{(-1)^{(\bruch{m-1}{2})}}{m} [/mm] = [mm] \bruch{f^{(n)}(0)}{n!} [/mm]
=> [mm] f^{(n)}(0) [/mm] = [mm] \bruch{(-1)^{(\bruch{m-1}{2})}}{m} [/mm] n!
da m = 2n +1
=> [mm] f^{(n)}(0) [/mm] = [mm] \bruch{(-1)^n}{2n+1} [/mm] n!
Denke ich nun richtig ??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:03 Do 16.04.2009 | | Autor: | fred97 |
> Sorry , ich glaube ich bin immernoch verwirrt .
> Also :
>
> f(x) = arctan(x) = [mm]\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^n \bruch{x^{2n+1}}{2n+1}[/mm]
> = [mm]\summe_{n=0}^{\infty}a_nx^n[/mm]
>
> Um auf die die Form der Potenzreihe zu kommen: m = 2n +1
>
> => [mm]a_{m}= \bruch{(-1)^n}{m}[/mm]
>
> [mm]=>\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{(\bruch{m-1}{2})}}{m} x^m[/mm]
> diese muss ich doch nun mit der Taylorreihe gleichsetzten
>
> [mm]\bruch{(-1)^{(\bruch{m-1}{2})}}{m} x^m[/mm] =
> [mm]\bruch{f^{(n)}(0)}{n!} x^n[/mm]
>
> => [mm]\bruch{(-1)^{(\bruch{m-1}{2})}}{m}[/mm] =
> [mm]\bruch{f^{(n)}(0)}{n!}[/mm]
>
> => [mm]f^{(n)}(0)[/mm] = [mm]\bruch{(-1)^{(\bruch{m-1}{2})}}{m}[/mm] n!
> da m = 2n +1
>
> => [mm]f^{(n)}(0)[/mm] = [mm]\bruch{(-1)^n}{2n+1}[/mm] n!
>
> Denke ich nun richtig ??
Nein ! Du machst einen grundlegenden Fehler: aus
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}b_n [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty}c_n [/mm]
folgt i.a. nicht, dass [mm] b_n [/mm] = [mm] c_n [/mm] ist.
Ich hab Dir doch geschrieben:
$ [mm] a_n [/mm] $ = $ [mm] \bruch{f^{(n)}(0)}{n!} [/mm] $ für n $ [mm] \in \IN_0 [/mm] $
Wegen
[mm] a_{2n} [/mm] = 0 folgt [mm] $f^{(2n)}(0) [/mm] = 0$ für n [mm] \in \IN_0
[/mm]
und wegen
[mm] a_{2n+1} [/mm] = [mm] \bruch{(-1)^n}{2n+1} [/mm] folgt [mm] $f^{(2n+1)}(0) [/mm] = [mm] (-1)^n [/mm] (2n)!$ für n [mm] \in \IN_0 [/mm]
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:12 Do 16.04.2009 | | Autor: | Yuri17 |
Es war ein langer Weg .
Jetzt hats endlich "Klick" gemacht, danke !
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:16 Do 16.04.2009 | | Autor: | fred97 |
Glückwunsch !
FRED
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