Bestimmung aller Häufungspunkt < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:34 Sa 26.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
| Aufgabe | | Sei M:= [mm] \{ \bruch{1}{n}| n \in \IN \}. [/mm] Bestimmen Sie die Häufungspunkte von M. Ist M offen oder abgeschlossen? |
Guten Tag,
bräuchte bei dieser Aufgabe eure Hilfe. Nach Definition ist a [mm] \in \IR [/mm] ein Häufungspunkt einer Teilmenge (von [mm] \IR) [/mm] U, wenn
[mm] \forall \epsilon [/mm] >0 [mm] \exists [/mm] x [mm] \in [/mm] U [mm] \backslash \{a \}: [/mm] 0 < |x-a| < [mm] \epsilon. [/mm] Nun wie gehe ich hier am besten vor? Es gilt ja : 0 [mm] \le \bruch{1}{n} \le [/mm] 1. Da [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n} [/mm] = 0. Ist a = 0 schon mal ein Häufungspunkt. Nun muss ich aber noch alle Punkte a [mm] \in [/mm] (0,1] untersuchen. Wenn x [mm] \in [/mm] M so ist x = [mm] \bruch{1}{n} [/mm] anderfalls eben ungleich [mm] \bruch{1}{n}. [/mm] Wie mache ich nun wieter? Würde mich über einen Tipp freuen.
LG Loriot95
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Hallo Loriot,
> Sei M:= [mm]\{ \bruch{1}{n}| n \in \IN \}.[/mm] Bestimmen Sie die
> Häufungspunkte von M. Ist M offen oder abgeschlossen?
> Guten Tag,
>
> bräuchte bei dieser Aufgabe eure Hilfe. Nach Definition
> ist a [mm]\in \IR[/mm] ein Häufungspunkt einer Teilmenge (von [mm]\IR)[/mm]
> U, wenn
>
> [mm]\forall \epsilon[/mm] >0 [mm]\exists[/mm] x [mm]\in[/mm] U [mm]\backslash \{a \}:[/mm] 0 <
> |x-a| < [mm]\epsilon.[/mm] Nun wie gehe ich hier am besten vor? Es
> gilt ja : 0 [mm]\le \bruch{1}{n} \le[/mm] 1. Da
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n}[/mm] = 0. Ist a = 0
> schon mal ein Häufungspunkt. Nun muss ich aber noch alle
> Punkte a [mm]\in[/mm] (0,1] untersuchen. Wenn x [mm]\in[/mm] M so ist x = [mm]\bruch{1}{n}[/mm] anderfalls eben ungleich [mm]\bruch{1}{n}.[/mm] Wie mache ich nun wieter? Würde mich über einen Tipp freuen.
Alle anderen Punkte sind keine Häufungspunkte (eigentlich klar, da 1/n als konvergente Folge genau einen Häufungspunkt besitzt). Du kannst einen Widerspruchsbeweis führen.
Zeige, dass es zu [mm] a\in(0,1] [/mm] eine [mm] \varepsilon- [/mm] Umgebung gibt, in der nur endlich viele Folgenglieder von [mm] a_n=\frac{1}{n} [/mm] liegen. Mit c=a/2 gilt wegen [mm] a_n\to0:
[/mm]
[mm] \qquad $|a_n|
>
> LG Loriot95
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:20 Sa 26.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Danke schon mal für deine Hilfe.
> Alle anderen Punkte sind keine Häufungspunkte (eigentlich
> klar, da 1/n als konvergente Folge genau einen
> Häufungspunkt besitzt). Du kannst einen Widerspruchsbeweis
> führen.
> Zeige, dass es zu [mm]a\in(0,1][/mm] eine [mm]\varepsilon-[/mm] Umgebung
> gibt, in der nur endlich viele Folgenglieder von
> [mm]a_n=\frac{1}{n}[/mm] liegen. Mit c=a/2 gilt wegen [mm]a_n\to0:[/mm]
> [mm]\qquad[/mm] [mm]|a_n|
> insbesondere in der a/2 Umgebung von a nur endlich viele
> Folgenglieder [...]
Damit hat man aber noch nicht gezeigt das es eine [mm] \epsilon [/mm] umgebung gibt, in der kein einziger Punkt aus M liegt. Was ich zeigen muss ist doch: [mm] \exists \epsilon [/mm] > 0 [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] M [mm] \backslash \{a\}: [/mm] | x -a | [mm] \ge \epsilon [/mm] oder?
Also: | [mm] \bruch{1}{n} [/mm] - a | [mm] \ge \epsilon. [/mm]
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Was ist wenn ich [mm] \epsilon [/mm] := a wähle. Dann gilt doch:
[mm] |\bruch{1}{n} [/mm] - a | [mm] \ge \epsilon. [/mm] Somit wäre doch alles gezeigt oder? Oder bin ich nun komplett auf dem falschen Dampfer?
LG Loriot95
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:19 Sa 26.03.2011 | | Autor: | zahllos |
Hallo Loroit95,
ein Häufungspunkt einer Folge enthält in jeder seiner punktierten Umgebungen unendlich viele Punkte dieser Folge.
Du hast selbst geschrieben, dass 0 ein Häufungspunkt dieser Folge ist.
Für alle reellen Zahlen aus dem Intervall [0;1] kannst du eine Umgebung finden, die nur endlich viele Folgenglieder enthält (du musst nur dafür sorgen, dass die Umgebung ausschließlich positive Zahlen enthält).
Was folgt darus?
Wie sieht es mit der Offenheit bzw. Abgeschlossenheit der Folge aus?
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> ein Häufungspunkt einer Folge enthält in jeder seiner
> punktierten Umgebungen unendlich viele Punkte dieser Folge.
>
> Du hast selbst geschrieben, dass 0 ein Häufungspunkt
> dieser Folge ist.
> Für alle reellen Zahlen aus dem Intervall [0;1] ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
du meinst sicher das halboffene Intervall (0;1] !
> kannst du
> eine Umgebung finden, die nur endlich viele Folgenglieder
> enthält (du musst nur dafür sorgen, dass die Umgebung
> ausschließlich positive Zahlen enthält).
>
> Was folgt darus?
> Wie sieht es mit der Offenheit bzw. Abgeschlossenheit der
> Folge aus?
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:46 Sa 26.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
> Hallo Loroit95,
>
> ein Häufungspunkt einer Folge enthält in jeder seiner
> punktierten Umgebungen unendlich viele Punkte dieser Folge.
>
> Du hast selbst geschrieben, dass 0 ein Häufungspunkt
> dieser Folge ist.
> Für alle reellen Zahlen aus dem Intervall (0;1] kannst du
> eine Umgebung finden, die nur endlich viele Folgenglieder
> enthält (du musst nur dafür sorgen, dass die Umgebung
> ausschließlich positive Zahlen enthält).
>
> Was folgt darus?
Na, das es sich um keine Häufungspunkte handelt. Ich muss die Definition irgendwie missverstanden haben.
> Wie sieht es mit der Offenheit bzw. Abgeschlossenheit der
> Folge aus?
Meinst du damit ob das Intervall offen, halboffen oder geschlossen ist? Es ist das Intervall (0,1] also halboffen.
LG Loriot95
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> > Wie sieht es mit der Offenheit bzw. Abgeschlossenheit
> der
> > Folge aus?
> Meinst du damit ob das Intervall offen, halboffen oder
> geschlossen ist? Es ist das Intervall (0,1] also
> halboffen.
Die Frage lautet, ob die Menge (nicht Folge) M als
Teilmenge von [mm] \IR [/mm] offen und / oder abgeschlossen (oder
keines von beidem) sei.
Um dies zu klären, musst du also die Definitionen
dieser Begriffe anwenden.
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:21 Mo 28.03.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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> Danke schon mal für deine Hilfe.
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> > Alle anderen Punkte sind keine Häufungspunkte (eigentlich
> > klar, da 1/n als konvergente Folge genau einen
> > Häufungspunkt besitzt). Du kannst einen Widerspruchsbeweis
> > führen.
> > Zeige, dass es zu [mm]a\in(0,1][/mm] eine [mm]\varepsilon-[/mm] Umgebung
> > gibt, in der nur endlich viele Folgenglieder von
> > [mm]a_n=\frac{1}{n}[/mm] liegen. Mit c=a/2 gilt wegen [mm]a_n\to0:[/mm]
> > [mm]\qquad[/mm] [mm]|a_n|
> > insbesondere in der a/2 Umgebung von a nur endlich viele
> > Folgenglieder [...]
>
> Damit hat man aber noch nicht gezeigt das es eine [mm]\epsilon[/mm]
> umgebung gibt, in der kein einziger Punkt aus M liegt.
Doch, dies zu zeigen ist aequivalent. Überlege dir, wenn es in einer [mm] \varepsilon- [/mm] Umgebung von a nur endlich [mm] (\geq2) [/mm] viele Elemente von M gibt, dann gibt es unter ihnen ein von a verschiedenes Element m, sodass |a-m| minimal ist. In der |a-m| Umgebung von a liegt dann kein Element der Menge M, das [mm] \neq [/mm] a ist.
> Was ich zeigen muss ist doch: [mm]\exists \epsilon[/mm] > 0 [mm]\forall[/mm] x
> [mm]\in[/mm] M [mm]\backslash \{a\}:[/mm] | x -a | [mm]\ge \epsilon[/mm] oder?
> Also: | [mm]\bruch{1}{n}[/mm] - a | [mm]\ge \epsilon.[/mm]
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:32 So 27.03.2011 | | Autor: | fred97 |
Wenn ich Deine Lösungsansätze sehe (nicht nur bei der aktuellen Frage), frage ich mich manchmal, ob Du überhaupt Skizzen anfertigst.
Das machen wir jetzt mal. Also, zeichne die Zahlengerade, markiere den Nullpunkt und markiere ein a>0.
Da ($ [mm] \bruch{1}{n} [/mm] $) eine Nullfolge ist, gibt es ein m [mm] \in \IN [/mm] mit
(*) 1/n <a für n [mm] \ge [/mm] m.
Markiere 1/m. Jetzt schau hin: zwischen 1/m und a ist viel Luft. Zeichne eine [mm] \varepsilon [/mm] - Umgebung V von a ein mit der Eigenschaft
1/m < a- [mm] \varepsilon.
[/mm]
Wieviele Elemente aus M können in V \ { a } liegen ?
Bingo ! höchstens endlich viele (wegen (*))
FRED
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