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Forum "Lineare Algebra / Vektorrechnung" - Bestimmung der Normalengleichu
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Bestimmung der Normalengleichu: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:23 Do 26.01.2006
Autor: angelique

Aufgabe
Die Normale der Kurve K:y=f(x) = x²-1 im Kurvenpunkt P(u/v) verläuft durch den Punkt A(10/1). Bestimmen Sie die Gleichung der Normalen und die Koordinaten von P.


Ich hätte jetzt die Kurve erst einmal abgeleitet, aber ich komme einfach nicht auf den Lösungsweg
Bräuchte daher eine genaue Erklärung wie man zur Lösung kommt. Unser Lehrer kann nicht erklären und ich komme irgendwie nicht weiter.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.



        
Bezug
Bestimmung der Normalengleichu: Keine kompl. Lösung, aber Idee
Status: (Antwort) noch nicht fertig Status 
Datum: 19:38 Do 26.01.2006
Autor: straeuble


> Die Normale der Kurve K:y=f(x) = x²-1 im Kurvenpunkt P(u/v)
> verläuft durch den Punkt A(10/1). Bestimmen Sie die
> Gleichung der Normalen und die Koordinaten von P.
>  
>
> Ich hätte jetzt die Kurve erst einmal abgeleitet, aber ich
> komme einfach nicht auf den Lösungsweg
>  Bräuchte daher eine genaue Erklärung wie man zur Lösung
> kommt. Unser Lehrer kann nicht erklären und ich komme
> irgendwie nicht weiter.
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>  
>  

Grüß Dich,
erstmal hätte ein Hallo oder ein bitte oder ähnliches auch nicht geschadet.  Ich würde jetzt eben in die Ableitung f'(x) = 2x den Punkt u einsetzen, also f'(u) = 2u. Davon brauchst Du den negativen Kehrwert, dieser ist dann die Steigung im Punkt u, also m= -1/2 u
Jetzt würde ich mit der Punkt-Steigungs-Formel weitermachen, m=-1/2 u und P (10/1), so kriegst Du dann die Normale in Abhängigkeit von u raus. Allerdings kann das auch anders leichter gehen. Aber probiers mal aus.


Bezug
        
Bezug
Bestimmung der Normalengleichu: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:46 Do 26.01.2006
Autor: Zwerglein

Hi, angelique,

> Die Normale der Kurve K:y=f(x) = x²-1 im Kurvenpunkt P(u/v)
> verläuft durch den Punkt A(10/1). Bestimmen Sie die
> Gleichung der Normalen und die Koordinaten von P.
>  
>
> Ich hätte jetzt die Kurve erst einmal abgeleitet,

Das ist auf jeden Fall richtig!
Problem ist halt, dass der Punkt A(10/1) nicht auf dem Graphen draufliegt.

Aber schaun wir mal.

Also: f'(x) = 2x.  P(u/f(u) =>  f'(u) = 2u.
Dies ist die Steigung der Tangente im Punkt P.

Die Normale hat als Steigung den negativen Kehrwert der Tangentensteigung:
[mm] m_{n} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{2u} [/mm]   (natürlich nur für u [mm] \not= [/mm] 0)

Für die Gleichung der Normale brauchen wir aber auch
die y-Koordinate von P, also: f(u).
f(u) = [mm] u^{2}-1. [/mm]

Formel für die Normale:
n:  y = [mm] m_{n}*(x [/mm] - u) + f(u)

Also: y = [mm] -\bruch{1}{2u}*(x [/mm] - u) + [mm] u^{2}-1 [/mm]

Ausmultipliziert und zusammengefasst:
y =  [mm] -\bruch{1}{2u}*x [/mm] + [mm] u^{2} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2} [/mm]

Hier wird nun der Punkt A(10/1) eingesetzt, also: x=10 und y=1:

1 = [mm] -\bruch{1}{2u}*10 [/mm] + [mm] u^{2} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2} [/mm]  | * 2u

[mm] u^{3} [/mm] - 3u - 10 = 0.

Hier kannst Du nun eine Lösung raten, nämlich: u = 2.
(Nach Polynomdivision durch (u-2) bemerkst Du das dies die einzige Lösung der Gleichung ist!)

Also hat der Punkt P die Koordinaten P(2 / 3), die Normalengleichung kannst Du nun leicht selbst ermitteln!

mfG!
Zwerglein


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