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Bestimmung der Nullstellen: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:45 Di 20.11.2012
Autor: JohannvFels

Aufgabe
Berechnen Sie die Nullstelle folgender Funktion

Hallo Leute,

ich habe folgende Aufgabe:

f(x) = ln [mm] (5^{x} [/mm] - 1)

Für diese Funktion soll die Nullstelle berechnet werden. Allerdings habe ich überhaupt keine Ahnung wie ich da anfangen soll bzw. wie ich überhaupt vorgehen soll.

Ich bin für alle Hinweise dankbar!

Besten Dank vorab!

Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.

        
Bezug
Bestimmung der Nullstellen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:50 Di 20.11.2012
Autor: schachuzipus

Hallo JohannvFels,


> Berechnen Sie die Nullstelle folgender Funktion
>  Hallo Leute,
>  
> ich habe folgende Aufgabe:
>  
> f(x) = ln [mm](5^{x}[/mm] - 1)
>  
> Für diese Funktion soll die Nullstelle berechnet werden.
> Allerdings habe ich überhaupt keine Ahnung wie ich da
> anfangen soll bzw. wie ich überhaupt vorgehen soll.

Na, es ist doch [mm]\ln(z)=0 \ \gdw \ z=1[/mm]

Also [mm]\ln\left(5^x-1\right)=0 \ \gdw \ 5^x-1=1[/mm]

Und wann (also für welche(s) x) ist [mm]5^x-1=1[/mm] ?

>  
> Ich bin für alle Hinweise dankbar!
>  
> Besten Dank vorab!
>  
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.

Gruß

schachuzipus


Bezug
                
Bezug
Bestimmung der Nullstellen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:55 Di 20.11.2012
Autor: JohannvFels


> Hallo JohannvFels,
>  
>
> > Berechnen Sie die Nullstelle folgender Funktion
>  >  Hallo Leute,
>  >  
> > ich habe folgende Aufgabe:
>  >  
> > f(x) = ln [mm](5^{x}[/mm] - 1)
>  >  
> > Für diese Funktion soll die Nullstelle berechnet werden.
> > Allerdings habe ich überhaupt keine Ahnung wie ich da
> > anfangen soll bzw. wie ich überhaupt vorgehen soll.
>  
> Na, es ist doch [mm]\ln(z)=0 \ \gdw \ z=1[/mm]

Diesen Schritt verstehe ich nicht, kannst du mir den bitte erklären?

>  
> Also [mm]\ln\left(5^x-1\right)=0 \ \gdw \ 5^x-1=1[/mm]
>  
> Und wann (also für welche(s) x) ist [mm]5^x-1=1[/mm] ?

Hier bringe ich die 1 auf die rechte Seite. Danach lautet die Gleichgung:

x = [mm] \bruch{ln(2)}{ln(5)} [/mm]

>  
> >  

> > Ich bin für alle Hinweise dankbar!
>  >  
> > Besten Dank vorab!
>  >  
> > Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
>
> Gruß
>  
> schachuzipus
>  


Bezug
                        
Bezug
Bestimmung der Nullstellen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:58 Di 20.11.2012
Autor: Diophant

Hallo,

> > Na, es ist doch [mm]\ln(z)=0 \ \gdw \ z=1[/mm]
>
> Diesen Schritt verstehe ich nicht, kannst du mir den bitte
> erklären?

Also da solltest du dir nochmal die Definition der Logarithmusfunktion als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion ansehen. Wegen [mm] a^0=1 [/mm] folgt für jeden Logarithmus log(1)=0

> >
> > Also [mm]\ln\left(5^x-1\right)=0 \ \gdw \ 5^x-1=1[/mm]
> >
> > Und wann (also für welche(s) x) ist [mm]5^x-1=1[/mm] ?
>
> Hier bringe ich die 1 auf die rechte Seite. Danach lautet
> die Gleichgung:
>
> x = [mm]\bruch{ln(2)}{ln(5)}[/mm]

Ja, das ist so richtig.


Gruß, Diophant

Bezug
                                
Bezug
Bestimmung der Nullstellen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:01 Di 20.11.2012
Autor: JohannvFels


> Hallo,
>  
> > > Na, es ist doch [mm]\ln(z)=0 \ \gdw \ z=1[/mm]
>  >

> > Diesen Schritt verstehe ich nicht, kannst du mir den bitte
> > erklären?
>  
> Also da solltest du dir nochmal die Definition der
> Logarithmusfunktion als Umkehrfunktion der
> Exponentialfunktion ansehen. Wegen [mm]a^0=1[/mm] folgt für jeden
> Logarithmus log(1)=0

ok, verstehe ich. Anstelle des a muss dann aber ein e rücken, nehme ich an.

>  
> > >
> > > Also [mm]\ln\left(5^x-1\right)=0 \ \gdw \ 5^x-1=1[/mm]
>  > >

> > > Und wann (also für welche(s) x) ist [mm]5^x-1=1[/mm] ?
>  >

> > Hier bringe ich die 1 auf die rechte Seite. Danach lautet
> > die Gleichgung:
> >
> > x = [mm]\bruch{ln(2)}{ln(5)}[/mm]
>  
> Ja, das ist so richtig.
>  
>
> Gruß, Diophant


Bezug
                                        
Bezug
Bestimmung der Nullstellen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:04 Di 20.11.2012
Autor: Diophant

Hallo,

> ok, verstehe ich. Anstelle des a muss dann aber ein e
> rücken, nehme ich an.

nein: das gilt schonmal grundsätzlich für jede reelle Zahl ungleich Null. Da man heutzutage meist auch noch per definitionem [mm] 0^0=1 [/mm] setzt, kann man dann [mm] a^0=1 [/mm] für jede reelle Zahl voraussetzen.


Gruß, Diophant

Bezug
                                                
Bezug
Bestimmung der Nullstellen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:06 Di 20.11.2012
Autor: JohannvFels


> Hallo,
>  
> > ok, verstehe ich. Anstelle des a muss dann aber ein e
> > rücken, nehme ich an.
>  
> nein: das gilt schonmal grundsätzlich für jede reelle
> Zahl ungleich Null. Da man heutzutage meist auch noch per
> definitionem [mm]0^0=1[/mm] setzt, kann man dann [mm]a^0=1[/mm] für jede
> reelle Zahl voraussetzen.

dann verstehe ich es doch noch nicht ganz;

[mm] ln(5^{x} [/mm] - 1) = 0

dann kann ich doch beide Seiten mit "e" bearbeiten

dann kommt raus

[mm] 5^{x} [/mm] - 1 = [mm] e^{0} [/mm]

oder ist das nicht richtig?

der rest ist dann wieder klar.

>  
>
> Gruß, Diophant  


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Bezug
Bestimmung der Nullstellen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:24 Di 20.11.2012
Autor: Steffi21

Hallo, dann bist du doch an der gleichen Stelle [mm] e^0=1, [/mm] somit

[mm] 5^x-1=1 [/mm]

Steffi

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