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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:55 Fr 20.02.2009 | | Autor: | daisa |
| Aufgabe | Es sei v = [mm] \vektor{\wurzel{2}/2 \\ \wurzel{2}/(-2) \\ 0} \in \IR^3.
[/mm]
Folgendes F ist eine "Spiegelung" und die Spiegelebene von F - die Menge aller Vektoren im [mm] \IR^3, [/mm] die durch F auf sich selbst abgebildet werden - heisse S:
F: [mm] \IR^3 \to \IR^3, [/mm] x [mm] \mapsto [/mm] x-2<v,x>v.
a) Bestimmen Sie die Darstellungsmatrix M von F bezüglich der Standardbasis im [mm] \IR^3.
[/mm]
b) Gibt es ein [mm] \lambda \in \IR^3 [/mm] mit S = [mm] Eig(F,\lambda)? [/mm] Wenn ja, geben Sie alle solchen [mm] \lambda [/mm] an - mit Begründung.
c) Bestimmen Sie S in Parameterform. |
Hallo miteinander!
Die Darstellungsmatrix M konnte ich bestimmen. Sie lautet:
M = [mm] \pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }
[/mm]
Nun zu b):
Ich habe bereits die Eigenwerte [mm] \lambda [/mm] = 1 und [mm] \lambda [/mm] = -1 und deren Eigenräume bestimmt.
Eig(F,1) = [mm] span(\vektor{1 \\ 1 \\ 0} [/mm] , [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1})
[/mm]
Eig(F,-1) = [mm] span(\vektor{1 \\ -1 \\ 0})
[/mm]
Nun verstehe ich aber nicht, wie ich mir S vorstellen muss und wie ich überprüfen kann, ob S = [mm] Eig(F,\lambda). [/mm] Irgendeine Idee?
zu c):
Null Ahnung!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Vielen Dank für die Hilfe!
Mfg, Daisa
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:21 Fr 20.02.2009 | | Autor: | statler |
Hallo und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Es sei v = [mm]\vektor{\wurzel{2}/2 \\ \wurzel{2}/(-2) \\ 0} \in \IR^3.[/mm]
>
> Folgendes F ist eine "Spiegelung" und die Spiegelebene von
> F - die Menge aller Vektoren im [mm]\IR^3,[/mm] die durch F auf sich
> selbst abgebildet werden - heisse S:
> F: [mm]\IR^3 \to \IR^3,[/mm] x [mm]\mapsto[/mm] x-2<v,x>v.
>
> a) Bestimmen Sie die Darstellungsmatrix M von F bezüglich
> der Standardbasis im [mm]\IR^3.[/mm]
> b) Gibt es ein [mm]\lambda \in \IR^3[/mm] mit S = [mm]Eig(F,\lambda)?[/mm]
> Wenn ja, geben Sie alle solchen [mm]\lambda[/mm] an - mit
> Begründung.
> c) Bestimmen Sie S in Parameterform.
> Hallo miteinander!
> Die Darstellungsmatrix M konnte ich bestimmen. Sie
> lautet:
> M = [mm]\pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }[/mm]
> Nun zu
> b):
> Ich habe bereits die Eigenwerte [mm]\lambda[/mm] = 1 und [mm]\lambda[/mm] =
> -1 und deren Eigenräume bestimmt.
> Eig(F,1) = [mm]span(\vektor{1 \\ 1 \\ 0}[/mm] , [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 1})[/mm]
>
> Eig(F,-1) = [mm]span(\vektor{1 \\ -1 \\ 0})[/mm]
> Nun verstehe ich
> aber nicht, wie ich mir S vorstellen muss und wie ich
> überprüfen kann, ob S = [mm]Eig(F,\lambda).[/mm] Irgendeine Idee?
Ich hoffe, du bist in der Lage, ein 3dimensionales Koordinatensystem zu zeichnen: z. B. z nach oben, y nach rechts und x nach schräg links vorne.
Die Abbildung vertauscht einfach x und y. Wie sieht dann die Ebene aus, die punktweise fest bleibt?
> zu c):
Da brauchst du dann noch einen Stütz- und 2 Spannvektoren, die letzteren hast du in Wirklichkeit schon.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:00 Fr 20.02.2009 | | Autor: | daisa |
Danke für die rasche Antwort!
zu b)
Ja natürlich bin ich in der Lage ein dreidimensionales Koordinatensystem zu zeichnen  ...
Ich habe nun x und y vertauscht, aber ich verstehe nicht, was du mit "punktweise fest bleiben" meinst! Kannst du mir das kurz erklären?
Weiter habe ich mir überlegt, dass [mm] \lambda [/mm] = -1 nicht in Frage kommt, weil dessen Eigenraum nur ein Spannvektor besitzt und für S braucht man ja 2. daher denke ich, dass [mm] \lambda [/mm] = 1 ein mögliches Resultat ist, jedoch weiss ich nicht, wie man sowas überprüft.
zu c)
Ich habe die Definition der Parametrisierung der Ebene im Buch gefunden.
u + [mm] \IR [/mm] *v + [mm] \IR [/mm] *w := {x [mm] \in \IR^3 [/mm] : es gibt [mm] \lambda1, \lambda2 \in \IR [/mm] mit x = u + [mm] \lambda1 [/mm] * v + [mm] \lambda2 [/mm] *w}
Da die zwei Spannvektoren [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0} [/mm] und [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm] schon vorhanden sind, fehlt mir nur noch den Ortsvektor u. Bin ich auf dem richtigen Weg? Wenn ja, wie finde ich u?
grüsse daisa
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> Danke für die rasche Antwort!
>
> zu b)
> Ja natürlich bin ich in der Lage ein dreidimensionales
> Koordinatensystem zu zeichnen ...
> Ich habe nun x und y vertauscht, aber ich verstehe nicht,
> was du mit "punktweise fest bleiben" meinst! Kannst du mir
> das kurz erklären?
> Weiter habe ich mir überlegt, dass [mm]\lambda[/mm] = -1 nicht in
> Frage kommt, weil dessen Eigenraum nur ein Spannvektor
> besitzt und für S braucht man ja 2. daher denke ich, dass
> [mm]\lambda[/mm] = 1 ein mögliches Resultat ist, jedoch weiss ich
> nicht, wie man sowas überprüft.
Hallo,
vielleicht überlegst Du's Dir erstmal in der xy-Ebene: wenn Du dort x und y vertauschst, welche Punkte bleiben dann an Ort und Stelle?
Wenn Du das herausgefunden hast, kannst Du in den Raum gehen. Wo liegen all die Punkte, die beim Vertauschen von x und y fest bleiben? Du kannst ja ein bißchen was von Deinem Papier zur Hilfe nehmen, um der Vorstellungskraft auf die Sprünge zu helfen.
Du kannst die Frage auch anders beantworten:
weißt Du eigentlich, was es bedeutet, wenn ein Vektor Eigenvektor zum Eigenwert 1 ist?
Im Eigenraum zu 1 sind also alle Vektoren, die unter der Spiegelung unverändert bleiben.
Und was bleibt bei der Spiegelung unverändert? Die Spiegelebene! Also?
>
> zu c)
> Ich habe die Definition der Parametrisierung der Ebene im
> Buch gefunden.
> u + [mm]\IR[/mm] *v + [mm]\IR[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
*w := {x [mm]\in \IR^3[/mm] : es gibt [mm]\lambda1, \lambda2 \in \IR[/mm]
> mit x = u + [mm]\lambda1[/mm] * v + [mm]\lambda2[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
*w}
> Da die zwei Spannvektoren [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 0}[/mm] und
> [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 1}[/mm] schon vorhanden sind, fehlt mir nur
> noch den Ortsvektor u. Bin ich auf dem richtigen Weg? Wenn
> ja, wie finde ich u?
Du mußt einen Vektor finden, der unter der Spiegelung unverändert bleibt, damit hast Du ja einen Stützvektor gefunden.
Wenn Dir inzwischen Aufgabe b) klar ist, hat sich da sProblem sowieso in Luft aufgelöst.
Gruß v. Angela
>
> grüsse daisa
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:41 So 22.02.2009 | | Autor: | daisa |
Hallo Angela,
Vielen Dank für die rasche Anwort.
Ich habe eben die Aufgabe mit einer Freundin besprochen und denke, dass jetzt vieles mit deiner und ihrer Hilfe klarer wurde, so dass ich sie lösen kann. Nochmals danke :)
Ich wünsch dir noch einen schönen Sonntag!
Grüsse, daisa
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