Bestimmung der Umkehrfunktion < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo, habe hier ne aufgabe, wo die die Umkehrfkt. von f(x)=tanx - x bestimmen sollen.
Aufgabe: zeigen sie, dass für f(x)=tan(x) - x die Ableitung der Umkehrfunktion folgendes gilt:
[mm] (f^{-1})´(x)=\bruch{1}{((f^{-1})´(x)+x)^2}
[/mm]
Lösung:
nach dem Satz über die Ableitung von Umkehrfunktionen gilt gür [mm] x\not=0:
[/mm]
[mm] (f^{-1})´(x)=\bruch{1}{f^{´}*(f^{-1})(x)}=\bruch{1}{((f^{-1})(x)+f(f^{-1})(x))^2}=\bruch{1}{((f^{-1})´(x)+x)^2}, [/mm] da [mm] f´(x)=tan^2(x)=(x+f(x))^2.
[/mm]
Also bei dieser Aufgabe versteh ich auch so ganz die vorgehensweise nicht. wie kommen die gleich von [mm] (f^{-1})´(x)=\bruch{1}{f´(f^{-1})(x)} [/mm] auf [mm] \bruch{1}{((f^{-1})(x)+f(f^{-1})(x))^2}=\bruch{1}{((f^{-1})´(x)+x)^2}??
[/mm]
habe da öfter die Ableitungsstriche nicht hinbekommen, weiß nicht, warum er die nicht anzeigt.
danke für hilfe
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Hallo Steve,
das ist wirklich übelst zu lesen ohne die Ableitungsstriche 
Und ich meine, da ist ein Ableitungsstrich zuviel im Nenner..
Also der Reihe nach, ich versuche erst einmal, deinen post auszubessern und alle Striche so hinzukriegen, dass sie angezeigt werden
> Hallo, habe hier ne aufgabe, wo die die Umkehrfkt. von
> f(x)=tanx - x bestimmen sollen.
>
> Aufgabe: zeigen sie, dass für f(x)=tan(x) - x die Ableitung
> der Umkehrfunktion folgendes gilt:
[mm] $(f^{-1})'(x)=\bruch{1}{((f^{-1})(x)+x)^2}$ [/mm] und m.E. nicht [mm] $(f^{-1})'(x)=\bruch{1}{((f^{-1})\red{'}(x)+x)^2}$
[/mm]
>
> Lösung:
>
> nach dem Satz über die Ableitung von Umkehrfunktionen gilt
> gür [mm]x\not=0:[/mm]
>
>
[mm] $(f^{-1})'(x)=\bruch{1}{f'\left(f^{-1}(x)\right)}=\bruch{1}{((f^{-1})(x)+f(f^{-1})(x))^2}=\bruch{1}{((f^{-1})(x)+x)^2}$
[/mm]
, da [mm] $f'(x)=tan^2(x)=(x+f(x))^2$
[/mm]
>
> Also bei dieser Aufgabe versteh ich auch so ganz die
> vorgehensweise nicht. wie kommen die gleich von
[mm] $(f^{-1})'(x)=\bruch{1}{f'(f^{-1})(x)}$ [/mm] auf
[mm] $\bruch{1}{((f^{-1})(x)+f(f^{-1})(x))^2}=\bruch{1}{((f^{-1})(x)+x)^2}$ [/mm] ?
>
> habe da öfter die Ableitungsstriche nicht hinbekommen, weiß
> nicht, warum er die nicht anzeigt.
Klappt doch, benutze "Shift+Raute" für den Ableitungsstrich und mache statt der [mm]... die Formeln besser zwischen zwei Dollarzeichen, also $Formel$, dann lässt es sich besser zitieren, ich musste alle [mm]s entfernen...
>
> danke für hilfe
Ok, erster Punkt, die Ableitung von [mm] $f(x)=\tan(x)-x$ [/mm] ist
[mm] $f'(x)=\frac{1}{\cos^2(x)}-1=\frac{\sin^2(x)+\cos^2(x)}{\cos^2(x)}-\frac{\cos^2(x)}{\cos^2(x)}=\frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)}=\tan^2(x)$
[/mm]
Weiter ist [mm] $\blue{f(x)+x}=(\tan(x)-x)+x\red{=\tan(x)}$, [/mm] also [mm] $f'(x)=\red{\tan^2(x)}=\blue{\left[f(x)+x\right]^2}$
[/mm]
Der Rest ist nur Einsetzen, und zwar wird berechnet $f'(z)$ an der Stelle [mm] $z=f^{-1}(x)$
[/mm]
Oben berechnet haben wir [mm] $f'(\red{z})=(f(\red{z})+\red{z})^2$
[/mm]
Nun setze für [mm] $\red{z}$ [/mm] hier [mm] $\green{f^{-1}(x)}$ [/mm] ein:
Das gibt [mm] $f'(\green{f^{-1}(x)})=\left[f\left(\green{f^{-1}(x)}\right)+\green{f^{-1}(x)}\right]^2$
[/mm]
[mm] $=[x+f^{-1}(x)]^2$, [/mm] also genau der gewünschte Nenner
LG
schachuzipus
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hi vielen dank erstmal. habe dennoch eine frage, da ich eine einem schritt nicht hinterher komme. also:
[mm] \blue{f(x)+x}=(\tan(x)-x)+x\red{=\tan(x)} [/mm] also bis hier ist ok.
[mm] f'(x)=\red{\tan^2(x)}=\blue{\left[f(x)+x\right]^2} [/mm] diesen schritt hier nicht mehr.
wieso ist [mm] f'(x)=\red{\tan^2(x)}?? [/mm] die Ableitung von tanx ist doch [mm] \frac{1}{\cos^2(x)}=1+tan^2(x).
[/mm]
deswegen versteh ich diese schritte noch nicht so.
[mm] f'(x)=\red{\tan^2(x)}=\blue{\left[f(x)+x\right]^2} [/mm]
du hast es zwar farbig unterteilt, aber nur quadrieren bzw. aufleiten kanns ja nicht sein, denn in der ableitung haste ja gar keine 1, so dass [mm] \blue{\left[f(x)+x\right]^2} [/mm] rauskommen könnte.
danke
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:54 Di 01.04.2008 | | Autor: | Denny22 |
Hallo,
> hi vielen dank erstmal. habe dennoch eine frage, da ich
> eine einem schritt nicht hinterher komme. also:
>
> [mm]\blue{f(x)+x}=(\tan(x)-x)+x\red{=\tan(x)}[/mm] also bis hier ist
> ok.
>
> [mm]f'(x)=\red{\tan^2(x)}=\blue{\left[f(x)+x\right]^2}[/mm] diesen
> schritt hier nicht mehr.
Nicht schwierig: Du hast also verstanden, dass die Gleichung
[mm] $\blue{f(x)+x}=(\tan(x)-x)+x\red{=\tan(x)}$
[/mm]
gilt. Subtrahierst Du nun $x$ auf beiden Seiten, so bekommst Du
[mm] $f(x)\,=\,\tan(x)-x$
[/mm]
Differenzierst Du nun nach $x$, so bekommst Du
[mm] $f'(x)\,=\,1+tan^2(x)-1\,=\,tan^2(x)$
[/mm]
Dies folgt aus der Tatsache, dass [mm] $(-x)'\,=\,-1$ [/mm] und [mm] $\tan'(x)\,=\,1+\tan^2(x)$.
[/mm]
> danke
Bitte.
Gruß
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:56 Di 01.04.2008 | | Autor: | jaruleking |
ok, vielen dank, jetzt habe ich es auch gesehen. dann nur noch eine kleine sache.
wie kommt man auf das hier: $ [mm] f'(x)=\red{\tan^2(x)}=\blue{\left[f(x)+x\right]^2} [/mm] $
also die Ableitung ist klar, aber warum wir das hier quadriert? [mm] \blue{\left[f(x)+x\right]^2}
[/mm]
danke und gruß
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:04 Di 01.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Jaruleking,
> ok, vielen dank, jetzt habe ich es auch gesehen. dann nur
> noch eine kleine sache.
>
> wie kommt man auf das hier:
> [mm]f'(x)=\red{\tan^2(x)}=\blue{\left[f(x)+x\right]^2}[/mm]
>
> also die Ableitung ist klar, aber warum wir das hier
> quadriert? [mm]\blue{\left[f(x)+x\right]^2}[/mm]
es steht oben, Du musst es nur zusammenbasteln:
Einerseits hat Denny22 geschrieben:
> Nicht schwierig: Du hast also verstanden, dass die Gleichung
[mm] $\blue{f(x)+x}=(\tan(x)-x)+x\red{=\tan(x)} [/mm] $
> gilt.
D.h. es gilt
(I) [mm] $\tan(x)=f(x)+x$.
[/mm]
Dann schreibt er
> ...
> Differenzierst Du nun nach x, so bekommst Du
$ [mm] f'(x)\,=\,1+tan^2(x)-1\,=\,tan^2(x) [/mm] $
Also
(II) [mm] $f'(x)=\tan^2(x)$
[/mm]
Setzt Du (I) in (II) ein:
[mm] $f'(x)=\tan^2(x)=(\underbrace{\tan(x)}_{=f(x)+x})^2=(f(x)+x)^2$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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