Bestimmung der Umkehrfunktion < Sonstiges < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:30 Sa 03.05.2008 | | Autor: | gaugi |
Hallo!
Hier geht es nicht um eine Pflichtaufgabe, sonder ein Problem, das mir vor kurzem in den Sinn kam:
Die Umkehrfunktion der Funktion [mm] f(x)=x^{x}
[/mm]
Meine Mathe-Professorin konnte mir nicht helfen. Vll könnt ihr es? Würde mich sehr freuen!
mfg gaugi
ps: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:41 Sa 03.05.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Nicht zu jeder Funktion gibts ne Umkehrfkt, und ich bin recht sicher zu dieser hier nicht.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:12 Sa 03.05.2008 | | Autor: | mareike-f |
Hi,
das ist doch auch nicht bijektiv, oder?
Also von [mm]\IN \to \IN[/mm] nicht, also ich male mir immer noch "Kreise" auf und hab das mal ausprobiert.
Und wenn ich es richtig verstanden hab können doch nur bijektive Funktionen Umkehrfunktionen haben.
Grüße,
Mareike
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:05 Sa 03.05.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
[mm] $f(x)=x^x=\exp(x*\ln(x))$ [/mm] hat als Ableitung:
[mm] $f\,'(x)=x^x*(\ln(x)+1)$ [/mm] (stets $x > 0$)
Ein wenig Kenntnis in der Differentialrechnung zeigt, dass $f$ auf [mm] $\left(0,\frac{1}{e}\right]$ [/mm] streng monoton fallend ist, sowie, dass $f$ auf [mm] $\left[\frac{1}{e},\infty\right)$ [/mm] streng monoton wachsend gegen [mm] $\infty$ [/mm] ist. Was man sich damit auch (wegen der Stetigkeit von $$ auf [mm] $(0,\infty)$) [/mm] leicht überlegt:
$f$ ist nicht injektiv auf [mm] $(0,\infty)$. [/mm] Es wäre also sinnvoll, entweder $f$ auf [mm] $\left(0,\frac{1}{e}\right]$ [/mm] oder $f$ auf [mm] $\left[\frac{1}{e},\infty\right)$ [/mm] einzuschränken, um dort überhaupt von einer Umkehrfunktion sprechen zu können. In einer meiner Ansicht nach sinnvollen Weise würde ich $f$ auf [mm] $\left[\frac{1}{e},\infty\right)$ [/mm] eingeschränkt betrachten.
Dann ist [mm] $f_1: \left[\frac{1}{e},\infty\right) \to \left\{x \in \IR: x \ge \left(\frac{1}{e}\right)^{\frac{1}{e}}\right\}$ [/mm] mit [mm] $f_1(x)=f(x)=x^x$ [/mm] bijektiv.
Und bei [mm] $f_1$ [/mm] könntest Du dann überhaupt mal von einer Umkehrfunktion sprechen. D.h.:
Ist $y [mm] \ge \left(\frac{1}{e}\right)^{\frac{1}{e}}$, [/mm] so existiert jedenfalls genau ein $x [mm] \ge \frac{1}{e}$ [/mm] mit [mm] $y=f(x)=x^x$. [/mm] Dass sich dieses $x$ in Abhängigkeit von $y$ mit "elementaren Funktionen" darstellen läßt, muss nicht sein. Die Existenz einer Umkehrfunktion zu [mm] $f_1$ [/mm] ist jedenfalls klar (für Schüler vll. nicht ganz, aber es folgt i. W. wegen strenger Monotonie und Stetigkeit von [mm] $f_1$ [/mm] und wegen meiner Wahl des Definitions- und Zielbereichs von [mm] $f_1$, [/mm] so dass [mm] $f_1$ [/mm] bijektiv ist). D.h. allerdings nicht, dass sich die zu [mm] $f_1$ [/mm] gehörige Umkehrfunktion auch "explizit mit elementaren Funktionen" darstellen lassen muss... Und darüber will ich momentan auch - ehrlich gesagt - nicht wirklich weiter drüber nachdenken 
Gruß,
Marcel
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