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| Aufgabe | | Bestimmen Sie, falls sie existieren, die Grenzwerte der Folge |
Hallo Leute,
ich habe eine Frage zu folgender Aufgabe:
[mm] a_{n} [/mm] = [mm] \bruch{n^{2}}{(n+1)}
[/mm]
Ich habe folgendes gerechnet bzw. umgestellt: das [mm] n^{2} [/mm] habe ich ausgeklammert, damit das n im Zähler verschwindet.
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^{2}}{(n+1)}
[/mm]
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{(\bruch{1}{n}+\bruch{1}{n^{2}})}
[/mm]
das [mm] \bruch{1}{n} [/mm] und das [mm] \bruch{1}{n^{2}} [/mm] laufen bei n gegen Unendlich gegen Null, richtig?
Null + Null ist gleich Null, ich denke, das ist korrekt.
Dann steht aber beim Grenzwert: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{0} [/mm] , korrekt?
durch Null teilen geht ja bekanntlich nicht, deshalb würde ich als Lösung schreiben n. d.
die Musterlösung gibt allerdings [mm] \infty [/mm] als Lösung an.
Sehe ich da nur etwas nicht, oder habe ich mich komplett vertan?
Besten Dank für Hinweise!
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:01 Di 06.11.2012 | | Autor: | abakus |
> Bestimmen Sie, falls sie existieren, die Grenzwerte der
> Folge
> Hallo Leute,
>
> ich habe eine Frage zu folgender Aufgabe:
>
> [mm]a_{n}[/mm] = [mm]\bruch{n^{2}}{(n+1)}[/mm]
>
> Ich habe folgendes gerechnet bzw. umgestellt: das [mm]n^{2}[/mm]
> habe ich ausgeklammert, damit das n im Zähler
> verschwindet.
Das war zu viel. Klammere nur n aus.
Gruß Abakus
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^{2}}{(n+1)}[/mm]
>
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{(\bruch{1}{n}+\bruch{1}{n^{2}})}[/mm]
>
> das [mm]\bruch{1}{n}[/mm] und das [mm]\bruch{1}{n^{2}}[/mm] laufen bei n
> gegen Unendlich gegen Null, richtig?
>
> Null + Null ist gleich Null, ich denke, das ist korrekt.
Es wird aber nie ganz Null. Es ist für jedes n sehr klein, bleibt aber positiv.
>
> Dann steht aber beim Grenzwert: [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{0}[/mm]
> , korrekt?
>
> durch Null teilen geht ja bekanntlich nicht, deshalb würde
> ich als Lösung schreiben n. d.
>
> die Musterlösung gibt allerdings [mm]\infty[/mm] als Lösung an.
>
> Sehe ich da nur etwas nicht, oder habe ich mich komplett
> vertan?
>
> Besten Dank für Hinweise!
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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Danke erstmal!
Wenn ich nur ein n ausklammere, ergibt sich ja:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n}{(1+1/n)} [/mm]
das 1/n konvergiert dann gegen 0 und der Zähler wird unendlich
geteilt durch 1 ergibt sich dann das richtige Ergebnis, nämlich unendlich. Korrekt?
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Hallo,
ja, das ist korrekt.
Alternatives Vorgehen:
[mm] \frac{n^2}{n+1}=\frac{n^2-1+1}{n+1}=\frac{n^2-1}{n+1}+\frac{1}{n+1}=\frac{(n+1)(n-1)}{n+1}+\frac{1}{n+1}=n-1+\frac{1}{n+1}
[/mm]
Davon kann man nun leicht Grenzwert bilden:
[mm] \lim_{n\to\infty}n-1+\frac{1}{n+1}=\lim_{n\to\infty}n-1+\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n+1}=\infty-1+0=\infty
[/mm]
Es existiert also kein Grenzwert, sondern die Folge divergiert. Diese Möglichkeit aber nur einmal am Rande.
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vielen Dank! Jetzt ist mir alles klar.
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