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Bestimmung einer Menge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:45 Fr 14.12.2018
Autor: kcin

Aufgabe
Sei [mm] \Omega [/mm] nicht-leere, endliche Menge und sei X: [mm] \Omega \to \IR [/mm] eine  Zufallsvariable. Zeigen Sie die folgende Aussage

[mm] \sigma(X) [/mm] = [mm] \{ \{X \in B\} | B \subset \IR\} [/mm]

Hallo zusammen,

obige Aufgabe bereitet mir etwas Kopfschmerzen. Könnte mir jemand sagen was genau ich hier überhaupt machen soll? Was genau soll [mm] \sigma(X) [/mm] und B sein? Ich habe keinerlei weitere Informationen bis auf das, was in der Aufgabenstellung steht.

Thematisch beschäftigen wir uns momentan mit Algebren und hierzu habe ich bereits zwei Aufgaben gelöst. Dementsprechend denke bzw. hoffe ich, dass es wohl was damit auf sich hat. Ich sehe nur im Moment nicht den Zusammenhang und was überhaupt die genaue Aufgabe ist bzw. was ich da zeigen soll.

Könnte mir da bitte jemand eine Erklärung geben?

Danke!

P.S. Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Bestimmung einer Menge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:17 Fr 14.12.2018
Autor: Gonozal_IX

HIho,

> Könnte mir jemand sagen was genau ich hier überhaupt machen soll?

Die gegebene Gleichheit zeigen.

> Was genau soll [mm]\sigma(X)[/mm] und B sein?

Also: Was [mm] $\sigma(X)$ [/mm] sein soll, habt ihr bestimmt in der Vorlesung definiert!
Schlag das bitte nach. Ich bezweifle, dass Notationen verwendet werden ohne sie vorher einzuführen.

Gegenfrage: Sei [mm] $\mathcal{A}$ [/mm] ein Mengensystem. Was ist dann [mm] $\sigma(\mathcal{A})$? [/mm]
Solltet ihr das wirklich nicht haben: []$\sigma$-Operator.

Zum B: Was B sein soll, ist doch in der Menge angegeben. Es ist $B [mm] \subset \IR$. [/mm]
Rechts fehlt aber mMn noch die Angabe: $B [mm] \in \mathcal{B}(\IR)$. [/mm] Sonst stimmt die Gleichheit im Allgemeinen nicht.

Gruß,
Gono.


Bezug
                
Bezug
Bestimmung einer Menge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:40 Sa 15.12.2018
Autor: kcin

Hallo,

> Also: Was [mm]\sigma(X)[/mm] sein soll, habt ihr bestimmt in der
> Vorlesung definiert!

das einzige was ich hierzu gefunden habe ist, dass eine Zufallsvariable X: [mm] \Omega \to \IR [/mm] eine [mm] \sigma [/mm] - Algebra [mm] \mathcal{F}_X(\mathcal{B}) [/mm] = [mm] \{X^{-1}(B) | B \in \mathcal{B}(\IR) \}, [/mm] wobei [mm] \mathcal{B}(\IR) [/mm] Borelsche [mm] \sigma [/mm] - Algebra, erzeugt.

Ist dann nicht also schon nach Definition die Gleichheit gezeigt oder verstehe ich da was falsch? Mein [mm] \sigma(X) [/mm] ist ja genau die Menge [mm] \mathcal{F}_X(\mathcal{B}) [/mm]

> Gegenfrage: Sei [mm]\mathcal{A}[/mm] ein Mengensystem. Was ist dann
> [mm]\sigma(\mathcal{A})[/mm]?
>  Solltet ihr das wirklich nicht haben:
> [][mm]\sigma[/mm]-Operator.
>  

Das ist mir bekannt. In der Aufgabe habe ich ja eine Zufallsvariable. Das hatte ich zuvor noch nicht so gesehen. Aber eine Zufallsvariable kann also auch eine [mm] \sigma [/mm] - Algebra wie oben definiert erzeugen?


Bezug
                        
Bezug
Bestimmung einer Menge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:03 Mo 17.12.2018
Autor: fred97


> Hallo,
>  
> > Also: Was [mm]\sigma(X)[/mm] sein soll, habt ihr bestimmt in der
> > Vorlesung definiert!
>  
> das einzige was ich hierzu gefunden habe ist, dass eine
> Zufallsvariable X: [mm]\Omega \to \IR[/mm] eine [mm]\sigma[/mm] - Algebra
> [mm]\mathcal{F}_X(\mathcal{B})[/mm] = [mm]\{X^{-1}(B) | B \in \mathcal{B}(\IR) \},[/mm]
> wobei [mm]\mathcal{B}(\IR)[/mm] Borelsche [mm]\sigma[/mm] - Algebra,
> erzeugt.

Ja, das ist richtig.

>  
> Ist dann nicht also schon nach Definition die Gleichheit
> gezeigt oder verstehe ich da was falsch? Mein [mm]\sigma(X)[/mm] ist
> ja genau die Menge [mm]\mathcal{F}_X(\mathcal{B})[/mm]

Na ja, irgendwo müsst Ihr doch $ [mm] \sigma(X)$ [/mm] definiert haben.

Dann ist offenbar zu zeigen:  $ [mm] \sigma(X)=\mathcal{F}_X(\mathcal{B})$ [/mm] .


>  
> > Gegenfrage: Sei [mm]\mathcal{A}[/mm] ein Mengensystem. Was ist dann
> > [mm]\sigma(\mathcal{A})[/mm]?
>  >  Solltet ihr das wirklich nicht haben:
> >
> [][mm]\sigma[/mm]-Operator.
>  >  
>
> Das ist mir bekannt. In der Aufgabe habe ich ja eine
> Zufallsvariable. Das hatte ich zuvor noch nicht so gesehen.
> Aber eine Zufallsvariable kann also auch eine [mm]\sigma[/mm] -
> Algebra wie oben definiert erzeugen?
>  


Bezug
                                
Bezug
Bestimmung einer Menge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:05 Di 18.12.2018
Autor: kcin


> > [mm]\mathcal{F}_X(\mathcal{B})[/mm] = [mm]\{X^{-1}(B) | B \in \mathcal{B}(\IR) \},[/mm]
> > wobei [mm]\mathcal{B}(\IR)[/mm] Borelsche [mm]\sigma[/mm] - Algebra,
> > erzeugt.
>
>  
> Na ja, irgendwo müsst Ihr doch [mm]\sigma(X)[/mm] definiert haben.
>  

Die Definition lautet:

[mm] \sigma(X) [/mm] ist die von X erzeugte Algebra. Diese ist erzeugt durch die Mengen der Form { X = s }, wobei s Element vom Bildbereich [mm] X(\omega) [/mm] ist.

Zurück zur Aufgabe:

Das [mm] Bild(X(\omega)) [/mm] ist Teilmenge aus [mm] \IR, [/mm] also [mm] Bild(X(\omega)) \subset \IR. [/mm] Also

[mm] \sigma(X) [/mm] = [mm] \{ \{X = s\} | s \in Bild(X(\omega)) \subset \IR \} [/mm]

Definiere B := [mm] Bild(X(\omega), [/mm] dann

[mm] \sigma(X) [/mm] = [mm] \{ \{X \in B\} | B \subset \IR \} [/mm] = [mm] \{X^{-1} (B) | B \subset \IR \} [/mm]



Bezug
                                        
Bezug
Bestimmung einer Menge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:05 Mi 19.12.2018
Autor: fred97


> > > [mm]\mathcal{F}_X(\mathcal{B})[/mm] = [mm]\{X^{-1}(B) | B \in \mathcal{B}(\IR) \},[/mm]
> > > wobei [mm]\mathcal{B}(\IR)[/mm] Borelsche [mm]\sigma[/mm] - Algebra,
> > > erzeugt.
>  >

> >  

> > Na ja, irgendwo müsst Ihr doch [mm]\sigma(X)[/mm] definiert haben.
>  >  
> Die Definition lautet:
>  
> [mm]\sigma(X)[/mm] ist die von X erzeugte Algebra. Diese ist erzeugt
> durch die Mengen der Form { X = s }, wobei s Element vom
> Bildbereich [mm]X(\omega)[/mm] ist.

Du meinst sicher  [mm]X(\Omega)[/mm]



>  
> Zurück zur Aufgabe:
>  
> Das [mm]Bild(X(\omega))[/mm] ist Teilmenge aus [mm]\IR,[/mm] also
> [mm]Bild(X(\omega)) \subset \IR.[/mm] Also


Nochmal: die Bildmenge von X ist $X( [mm] \Omega)$ [/mm]

>  
> [mm]\sigma(X)[/mm] = [mm]\{ \{X = s\} | s \in Bild(X(\omega)) \subset \IR \}[/mm]
>  
> Definiere B := [mm]Bild(X(\omega),[/mm] dann
>  
> [mm]\sigma(X)[/mm] = [mm]\{ \{X \in B\} | B \subset \IR \}[/mm] = [mm]\{X^{-1} (B) | B \subset \IR \}[/mm]

Nein, da geht mir viel zuviel Durcheinander !

Oben hast Du ja nun endlich die noch nötige Definition gegeben.

Setzen wir [mm] \mathcal{M}:= \{X^{-1}(\{s\}): s \in X(\Omega)\}, [/mm] so ist also [mm] \sigma(X) [/mm] die von [mm] \mathcal{M} [/mm] erzeugte [mm] \sigma [/mm] - Algebra.

Zeigen sollst Du

[mm] \sigma(X)= \mathcal{F}_X(\mathcal{B}) [/mm] .

Dann mach mal !




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