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Bestimmung einer Menge: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:25 Di 07.05.2013
Autor: marieska2012

Aufgabe
Bestimmen Sie die Menge
{x∈R: |x−1|−|x−4|≥3}∩{x∈R: |x−2|−|x−3|≥1} als Intervall.

Hallo liebe Mathegenies,

ich habe die oben angegebene Aufgabe in einem Skript und weiß absolut nicht, wie ich vorgehen muss.

Wie ist denn der allgemeine Ansatz?

Vielen Dank schon mal :)

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Bestimmung einer Menge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:47 Di 07.05.2013
Autor: M.Rex

Hallo und [willkommenmr]

> Bestimmen Sie die Menge
> {x∈R: |x-1|−|x-4|≥3}∩{x∈R:
> |x-2|-|x-3|≥1} als Intervall.
> Hallo liebe Mathegenies,

>

> ich habe die oben angegebene Aufgabe in einem Skript und
> weiß absolut nicht, wie ich vorgehen muss.

>

> Wie ist denn der allgemeine Ansatz?

Bestimme erstmal die Lösungen der Ungleichungen in den beiden Mengen, und vereinige diese dann.

Dazu benötigst du natürlich die Betragsfunktion.

[mm]|x|=\begin{cases} x & \textrm{für } x\ge0 \\ -x & \textrm{für } x<0 \end{cases}[/mm]

Betrachte nun mal die erste Ungleichung:
[mm] |x-1|-|x-4|\ge3 [/mm]

Betrachte nun drei Fälle:
Fall 1: [mm] x\ge4, [/mm] dann ist sowohl [mm] |x-1|\ge0 [/mm] als auch [mm] |x-4|\ge0 [/mm] und aus [mm] |x-1|-|x-4|\ge3 [/mm] wird dann die Ungleichung [mm] x-1-(x-4)\ge3 [/mm]

Nun gilt:
[mm] x-1-(x-4)\ge3 [/mm]
[mm] \Leftrightarrow3\ge3 [/mm]

Das ist eine Wahre Aussage, also bekommst du aus Fall 1, der ja als [mm] x\ge4 [/mm] gefordert war, die Lösung [mm] x\ge4 [/mm]

Fall 2: x<1
Dann ist sowohl x-1<0 als auch x-4<0, damit wird aus
[mm] |x-1|-|x-4|\ge3 [/mm] die Ungleichung
[mm] -(x-1)-(-(x-4))\ge3 [/mm]
[mm] \Leftrightarrow-4\ge3 [/mm]

Dieser Fall hat nun keine Teillösung


Fall 3: [mm] $1\le [/mm] x<4$
Dann ist [mm] x-1\ge0 [/mm] aber  x-4<0, damit wird aus
[mm] |x-1|-|x-4|\ge3 [/mm] die Ungleichung
[mm] x-1-(-(x-4))\ge3 [/mm]
[mm] \Leftrightarrow2x-5\ge3 [/mm]
[mm] \Leftrightarrow x\ge4 [/mm]

Die "Fallforderung" und die "Falllösung" schliessen sich hier ebenfalls aus, also hat auch dieser Fall keine Lösung

Also hat die Ungleichung [mm] |x-1|-|x-4|\ge3 [/mm] die Lösungsmenge
[mm] \underbrace{\{x\ge4\}}_{1.Fall}\cup\underbrace{\emptyset}_{2.Fall}\cup\underbrace{\emptyset}_{3.Fall}=\{x\ge4\} [/mm]

Bestimme so auch die Lösungsmenge der zweiten Ungleichung [mm] |x-2|-|x-3|\ge1 [/mm] und vereinige danach beide Lösungen.

Marius

Bezug
                
Bezug
Bestimmung einer Menge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:59 Di 07.05.2013
Autor: marieska2012

Ich habe eine Frage zu Fall 1.
Oben stand Fall 1 soll sein x [mm] \ge [/mm] 4.

Und nach dem Beweis steht, es ist wahr, da x [mm] \le [/mm] 4 ist.

Wieso ist das kleiner-gleich Zeichen umgedreht?

Bezug
                        
Bezug
Bestimmung einer Menge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:03 Di 07.05.2013
Autor: Marcel

Hallo,

> Ich habe eine Frage zu Fall 1.
>  Oben stand Fall 1 soll sein x [mm]\ge[/mm] 4.
>  
> Und nach dem Beweis steht, es ist wahr, da x [mm]\le[/mm] 4 ist.
>  
> Wieso ist das kleiner-gleich Zeichen umgedreht?

ich tippe drauf, dass Marius sich verschrieben hat. Da ich aber nicht viel
Zeit habe, kann er das selbst nochmal kontrollieren!

Gruß,
  Marcel

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Bezug
Bestimmung einer Menge: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:11 Di 07.05.2013
Autor: M.Rex

Hallo

> Hallo,

>

> > Ich habe eine Frage zu Fall 1.
> > Oben stand Fall 1 soll sein x [mm]\ge[/mm] 4.
> >
> > Und nach dem Beweis steht, es ist wahr, da x [mm]\le[/mm] 4 ist.
> >
> > Wieso ist das kleiner-gleich Zeichen umgedreht?

>

> ich tippe drauf, dass Marius sich verschrieben hat.

Du hast korrekt getippt, ich habe meine Antwort inzwischen verbessert.

> Da ich
> aber nicht viel
> Zeit habe, kann er das selbst nochmal kontrollieren!

Erledigt

>

> Gruß,
> Marcel

Marius

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Bezug
Bestimmung einer Menge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:17 Di 07.05.2013
Autor: marieska2012

Okay alles klar.

Nun habe ich bei der zweiten Hälfte die Fälle x [mm] \ge [/mm] 3, x < 2 und 2 [mm] \le [/mm] x < 3 berechnet.

Und als Lösungsmenge kommt dann x [mm] \ge [/mm] 3  & bei den andern beiden [mm] \emptyset. [/mm]

Ist das korrekt?

Und ist meine Gesamtlösungsmenge dann x [mm] \ge [/mm] 4?

Bezug
                                
Bezug
Bestimmung einer Menge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:20 Di 07.05.2013
Autor: M.Rex


> Okay alles klar.

>

> Nun habe ich bei der zweiten Hälfte die Fälle x [mm]\ge[/mm] 3, x
> < 2 und 2 [mm]\le[/mm] x < 3 berechnet.

>

> Und als Lösungsmenge kommt dann x [mm]\ge[/mm] 3 & bei den andern
> beiden [mm]\emptyset.[/mm]

>

> Ist das korrekt?

Ja.

>

> Und ist meine Gesamtlösungsmenge dann x [mm]\ge[/mm] 4?

Ja, denn [mm] \{x\ge3\}\cap\{x\ge4\}=\{x\ge4\} [/mm]

Marius

Bezug
                                        
Bezug
Bestimmung einer Menge: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:22 Di 07.05.2013
Autor: marieska2012

Okay super, vielen vielen Dank! :)

Bezug
                                
Bezug
Bestimmung einer Menge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:12 Di 07.05.2013
Autor: Marcel

Hallo,

> Und ist meine Gesamtlösungsmenge dann x [mm]\ge[/mm] 4?

das ist zwar eine schöne Sprechweise (die ich auch gerne hin und wieder
mal benutze), aber STRENGGENOMMEN sollte da natürlich eine Menge stehen:
etwa
[mm] $$\IL=\{x \in \IR:\;\;x \ge 4\},$$ [/mm]
oder Du schreibst in Worten, dass die Lösungsmenge gegeben ist durch
[mm] $$\{x \in \IR:\;\;x \ge 4\}\,.$$ [/mm]

Noch eine Möglichkeit: Die Lösungsmenge [mm] $\IL\;\;(\subseteq \IR)$ [/mm] wird charakterisiert durch:
$$x [mm] \in \IL \iff [/mm] x [mm] \ge 4\,.$$ [/mm]

Wobei Du hier auch direkt [mm] $\IL=\{x \in \IR: |x-1|-|x-4| \ge 3\}\cap \{x \in \IR: |x-2|-|x-3|\ge 1\},$ [/mm]
was ja vorgegeben war, noch dazuschreiben kannst, also:
[mm] $$\{x \in \IR: |x-1|-|x-4| \ge 3\}\cap \{x \in \IR: |x-2|-|x-3|\ge 1\}=\{x \in \IR:\;\;x \ge 4\}\,.$$ [/mm]

Aber: Ein Blick in die Aufgabenstellung:

> Bestimmen Sie die Menge
> {x∈R: |x−1|−|x−4|≥3}∩{x∈R: |x−2|−|x−3|≥1} als Intervall.

sagt Dir hier auch, dass Du nicht [mm] $=\{x \in \IR: \;\;x \ge 4\}$ [/mm] stehen lassen solltest,
denn man erwartet von Dir eine Intervallnotation! Was für eine Kleinigkeit
fehlt also noch?

Gruß,
  Marcel

Bezug
        
Bezug
Bestimmung einer Menge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:35 Di 07.05.2013
Autor: fred97

Andere Möglichkeit:

1. Die Ungl. |x−1|−|x−4|≥3 ist äquivalent zu

        3+|x-4| [mm] \le [/mm] |x-1|.

Wenn man quadiert, so bekommt man

  [mm] 9+2|x-4|+x^2-8x+16 \le x^2-2x+1, [/mm]

somit:

     |x-4| [mm] \le [/mm] x-4.

Das ist gleichbedeutend mit x [mm] \ge [/mm] 4.

2. Verfährt man mit der 2. Ungl. |x−2|−|x−3|≥1 genauso, so bekommt man: x [mm] \ge [/mm] 3.

FRED

  

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