Bestimmung eines Integrals < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:13 Di 24.06.2008 | | Autor: | bigalow |
| Aufgabe | Berechne das folgende unbestimmte Integral:
[mm] \integral{\frac{1}{x^{1+\frac{1}{ln(x)}}} dx} [/mm] |
Zunächst habe ich das Integral umgeformt:
[mm] \integral{\frac{1}{x^{1+\frac{1}{ln(x)}}} dx}= [/mm]
[mm] \integral{\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{ln(x)}} dx}
[/mm]
Dann habe ich u=ln(x) substituiert um damit den Term [mm] \frac{1}{x} [/mm] zu eliminieren. Allerdings habe ich dann noch in meinem Integral ein x im Nenner stehen. Wie löse ich den die Gleichung u=ln(x) nach x auf? (Ja ln(x) ist die Umkehrfunktion von [mm] e^x... [/mm] komme aber trotzdem nicht weiter.)
Bitte um Hilfe!
Besten Dank im Voraus!
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Hallo bigalow,
> Berechne das folgende unbestimmte Integral:
>
> [mm]\integral{\frac{1}{x^{1+\frac{1}{ln(x)}}} dx}[/mm]
> Zunächst
> habe ich das Integral umgeformt:
> [mm]\integral{\frac{1}{x^{1+\frac{1}{ln(x)}}} dx}=[/mm]
> [mm]\integral{\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{ln(x)}} dx}[/mm] ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Wie kommt denn diese Umformung zustande?
>
> Dann habe ich u=ln(x) substituiert ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Das ist eine sehr gute Idee!
> um damit den Term
> [mm]\frac{1}{x}[/mm] zu eliminieren. Allerdings habe ich dann noch
> in meinem Integral ein x im Nenner stehen. Wie löse ich den
> die Gleichung u=ln(x) nach x auf?
Wende die e-Funktion auf beide Seiten der Gleichung an:
[mm] $u=\ln(x)$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \blue{e}^{u}=\blue{e}^{\ln(x)}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow e^{u}=x$
[/mm]
> (Ja ln(x) ist die Umkehrfunktion von [mm]e^x...[/mm] komme aber trotzdem nicht
> weiter.)
>
> Bitte um Hilfe!
>
> Besten Dank im Voraus!
Mache doch den Bruch in der Potenz von dem x im Nenner gleichnamig, dann kannst du bequem deine Substitution durchziehen:
[mm] $\frac{1}{x^{1+\frac{1}{\ln(x)}}}=\frac{1}{x^{\frac{\ln(x)+1}{\ln(x)}}}$
[/mm]
Nun mit deiner Substitution [mm] $u=\ln(x)\Rightarrow \frac{du}{dx}=\frac{1}{x}\Rightarrow \green{dx=x \ du}$ [/mm] und [mm] $\red{x=e^{u}}$
[/mm]
Damit ist [mm] $\int{\frac{1}{\red{x}^{\frac{\ln(x)+1}{\ln(x)}}} \ \green{dx}}=\int{\frac{1}{\red{\left(e^{u}\right)}^{\frac{u+1}{u}}} \ \green{x du}}$
[/mm]
Für das grüne x kannst du nochmal [mm] $e^{u}$ [/mm] schreiben, im Nenner zusammenfassen...
[mm] $=\int{\frac{e^{u}}{e^{u+1}} \ du}=\int{e^{-1} \ du}$
[/mm]
Und das ist nun kein Problem mehr...
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:34 Mi 25.06.2008 | | Autor: | bigalow |
Okay danke! Es ist also [mm] \integral{\frac{1}{x^{1+\frac{1}{ln(x)}}} dx}= \integral{e^{-1} dx} [/mm] = [mm] [xe^{-1}]
[/mm]
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Hallo nochmal,
> Okay danke! Es ist also
> [mm]\integral{\frac{1}{x^{1+\frac{1}{ln(x)}}} dx}= \integral{e^{-1} dx}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Das substituierte Integral ist doch in der Variable u !!
Also [mm] $\integral{\frac{1}{x^{1+\frac{1}{ln(x)}}} dx}=\integral{e^{-1} d\red{u}}=e^{-1}\cdot{}\red{u}$
[/mm]
Das nun zurücksubstituieren in die Variable x (es war ja [mm] $u=\ln(x)$)
[/mm]
[mm] $=e^{-1}\ln(x)$
[/mm]
> = [mm][xe^{-1}][/mm]
LG
schachuzipus
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