Bestimmung ganz. rat. Funkt. < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:26 Di 20.11.2007 | | Autor: | Isaak |
| Aufgabe | Beim Kugelstoßen beschreibt die Kugel angenährt eine Bahn wie in Fig. 1 dargestellt.
[Dateianhang nicht öffentlich]
a) Welcher Graph einer rationalen Funktion beschreibt den Verlauf der Wurfbahn näherungsweise?
b) Beschreibe Sie, wie man vorgehen kann, um den höchsten Punkt der Flugbahn rechnerisch zu bestimmen. |
Hey,
dies ist eine Aufgabe um "unser" Verständnis in Sachen Berechnung von ganz rationalen Funktionen zu vertiefen!
Die in meinem Buch aufgelistete Hilfestellung rechnet leider mit "drei" gegebenen Punkte, die HA besitzt jedoch nur "2" und einen Sekanten/Tangenten Abschnitt der im 30° Winkel von der x-Achse Richtung y-Achse zeigt.
Bis jetzt habe ich folgendes gerechnet und überlegt;
Punkt1 A(0/1,5), Punkt2 B (19,5/0)
Der Ansatz (Funktion 2.Grades) f(x)=ax²+bx+c
nun habe ich zu erst "c" ausgerechnet:
f(0) = a*0²+b*0+ 1,5
c = 1,5
dann entweder "a" bzw. "b"
f(19,5)= a*19,5²+b*19,5+1,5 = 0?
Leider weiß ich nun nicht wie ich weiterrechnen kann/soll bzw. ob ich überhaupt von einer ganz rationalen Funktion 2.Grades ausgehen darf?!
Wie fügt man denn überhaupt die Sekante/Tangente in die Rechnungen ein?
Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen
mfg Isger
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:31 Di 20.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Isger!
Dein Ansatz mit eine Parabel 2. Grades ist absolut okay und richtig.
Nun bringen wir hier die Tangentensteigung ins Spiel. Denn es gilt ja:
[mm] $$m_t [/mm] \ = \ [mm] \tan(\alpha) [/mm] \ = \ [mm] f'(x_0)$$
[/mm]
Das heißt für Deine Aufgabe:
$$f'(19.5) \ = \ [mm] -\tan(30°) [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{1}{3}*\wurzel{3} [/mm] \ [mm] \approx [/mm] \ -0.577$$
Das Minuszeichen müssen wir einfügen, da die Tangente fällt; d.h. eine negative Steigung hat.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:32 Di 20.11.2007 | | Autor: | Isaak |
Hey,
ich muss leider zugeben, dass mir genau diese Aussage $ [mm] m_t [/mm] \ = \ [mm] \tan(\alpha) [/mm] \ = \ [mm] f'(x_0) [/mm] $ noch nie unter die Fettiche gekommen ist, daher kann ich leider nicht viel damit anfangen.
Bis jetzt hatten wir nie mit Winkeln bei Graphen gerechnet!
Wie bekomme ich denn überhaupt zuerst die ganzrationale Funktion berechnet, da diese doch von Nöten ist, um überhaupt eine Ableitung zu machen?!
Gibt es vielleicht ein Gleichungssystem, in dem man zuerst die eine Variable oder den Koeffizienten und dann die weiteren ausrechnen kann?
Vielleicht verstehe ich dich @Loddar ja einfach nicht...
(was ich um ehrlich zu sein nicht hoffe, sonst komme ich ja nicht weiter)
Wenn mir also die Tangentensteigung von -0,577 gegeben ist, benutze ich dann diese in der Funktionsformel;
ax² + bx +(-0,577) als "c"
und berechne die anderen beiden Koeffizienten mit den gegebenen beiden Punkten?
mfg Isger
PS:Danke noch einmal für eure Hilfe, Leute!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:07 Di 20.11.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
Habt ihr schon die Steigung einer Parabel berechnet? Weil genau die brauchst du hier.
Die Parabel hat in Punkt (19,5/0) die Steigung [mm] m=-\bruch{\wurzel{3}}{3}
[/mm]
Jetzt gibt es entweder die Möglichkeit, per Ableitung die Steigung der Parabel zu bestimmen, oder aber, wenn ihr den Begriff der Ableitung noch nicht verwendet habt, musst du den Weg über die Tangente gehen.
Wir wissen jetzt, dass die Tangente die Form t(x)=mx+n hat, und kennen schon [mm] m=\blue{-\bruch{\wurzel{3}}{3}} [/mm] und einen Punkt auf t(x), nämlich [mm] P(\red{19,5}/\green{0})
[/mm]
Also können wir daraus jetzt das n bestimmen
Es gilt: [mm] \green{0}=\blue{-\bruch{\wurzel{3}}{3}}\red{19,5}+n
[/mm]
[mm] \gdw n=6,5\wurzel{3}
[/mm]
Also gilt:
[mm] t(x)=-\bruch{\wurzel{3}}{3}x+6,5\wurzel{3}
[/mm]
Jetzt weisst du, dass diese Gerade mit der Parabel f(x)=ax²+bx+1,5 genau einen Schnittpuunkt hat (Tangente).
Also:
[mm] ax²+bx+1,5=-\bruch{\wurzel{3}}{3}x+6,5\wurzel{3}
[/mm]
[mm] \gdw ax²+(b+\bruch{\wurzel{3}}{3})x+(1,5-6,5\wurzel{3})=0
[/mm]
[mm] \gdw x²+\bruch{(b+\bruch{\wurzel{3}}{3})}{a}x+\bruch{(1,5-6,5\wurzel{3})}{a}=0
[/mm]
[mm] \gdw x_{1,2}=\bruch{(b+\bruch{\wurzel{3}}{3})}{2a}\pm\wurzel{\bruch{(b+\bruch{\wurzel{3}}{3})²}{4a²}-\bruch{(1,5-6,5\wurzel{3})}{a}}
[/mm]
Jetzt soll es aber nur einen Schnittpunkt geben, das funktioniert nur, wenn der Term unter der Wurzel gleich Null ist. Und genau das ist die dritte gesuchte Bedingung für deine Parameter a, b und c der Parabel.
Die erste: c=1,5
Die zweite: 0=19,5²a+19,5b+1,5=0
Die dritte: [mm] \bruch{(b+\bruch{\wurzel{3}}{3})²}{4a²}-\bruch{(1,5-6,5\wurzel{3})}{a}=0
[/mm]
Also löse jetzt mal noch die Bed. 2 nach b auf, setze das Ergebnis dann in Bed. 3 ein, dann erhältst du eine Gleichung mit der Variable a.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:42 Mi 21.11.2007 | | Autor: | Isaak |
Hey Marius,
ich konnte deinen Anweisungen folgen (Diskriminante=0; nur eine Lösung etc.), bis auf deine letzte!
Wie soll ich bitte nach b auflösen, ohne dass ich nur mit Variablen rechne?
0=19,5²a+19,5b+1,5= 0 | -1,5
0=380,25a+19,5b = -1,5 | -380,25a
0=19,5b = -1,5-380a | :19,5
0= b = [mm] \bruch{-1,5-380a}{19,5} [/mm] ?
Muss ich nun dieses ^^ oben ausgerechnete b in die dritte Bedingung einsetzen und auflösen???
mfg Isger
PS: Steigung einer Parabel bzw. Ableitung einer Funktion haben wir schon berechnet!
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Hallo Isaak,
> Hey Marius,
>
> ich konnte deinen Anweisungen folgen (Diskriminante=0; nur
> eine Lösung etc.), bis auf deine letzte!
> Wie soll ich bitte nach b auflösen, ohne dass ich nur mit
> Variablen rechne?
>
> 0=19,5²a+19,5b+1,5= 0 | -1,5
> 0=380,25a+19,5b = -1,5 | -380,25a
> 0=19,5b = -1,5-380a | :19,5
> 0= b = [mm]\bruch{-1,5-380a}{19,5}[/mm] ?
>
> Muss ich nun dieses ^^ oben ausgerechnete b in die dritte
> Bedingung einsetzen und auflösen???
genau dies!
Aber [mm] 19,5^2\ne [/mm] 380, sondern [mm] 19,5^2=380,25 [/mm] !!
setze also [mm] b=-\bruch{1,5+19,5^2a}{19,5}=-\bruch{3*2}{2*39}-\bruch{39}{2}a [/mm] in die 3. Bedingung ein und berechne damit a.
>
> mfg Isger
>
> PS: Steigung einer Parabel bzw. Ableitung einer Funktion
> haben wir schon berechnet!
>
Gruß informix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:41 Do 22.11.2007 | | Autor: | Isaak |
Hey,
anscheinend war alles was Ich (bzw. Wir gemeinsam) berechnet habe/n falsch!
Denn meine Lehrerin hat mich aufgeklärt, dass genau diese Gleichstellung von Funktion und Tangentensteigung höchstens einen Schnittpunkt ergeben könnte aber niemals die benötigten Variablen!
Die Lösung sieht wie folgt aus;
f(x) = ax²+bx+c
I. A (0|1,5) f(0) =1,5 = c
II. B (19,5|0) f(19,5) =0 = a*19,5²+b19,5+1,5
III. f'(19,5) =-tan30°= -0,577 = 2a*19,5+b
II. -1,5 = 19,5²a+19,5b
III. -0,577 = 39a + b
III. multiplizieren mit 19,5 und dann II. - III. =
f(x)= -0,02566x²+0,435x+1,5
mfg Isger
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Hallo Isaak,
> Hey,
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> anscheinend war alles was Ich (bzw. Wir gemeinsam)
> berechnet habe/n falsch!
> Denn meine Lehrerin hat mich aufgeklärt, dass genau diese
> Gleichstellung von Funktion und Tangentensteigung höchstens
> einen Schnittpunkt ergeben könnte aber niemals die
> benötigten Variablen!
>
> Die Lösung sieht wie folgt aus;
>
> f(x) = ax²+bx+c
>
> I. A (0|1,5) f(0) =1,5 = c
> II. B (19,5|0) f(19,5) =0 =
> a*19,5²+b19,5+1,5
> III. f'(19,5) =-tan30°= -0,577 = 2a*19,5+b
>
> II. -1,5 = 19,5²a+19,5b
> III. -0,577 = 39a + b
>
> III. multiplizieren mit 19,5 und dann II. - III. =
>
> f(x)= -0,02566x²+0,435x+1,5
>
> mfg Isger
>
das sieht alles viel komplizierter aus als nötig - warum rechnest du nicht, wie von mir vorgeschlagen, mit den Brüchen statt mit (gerundeten) Zahlen?! Man sollte in solchen Berechnungen nie mit gerundeten Werten weiter rechnen, sie verfälschen das Ergebnis!
Selbst tan 30° läßt sich besser berechnen:
![[]](/images/popup.gif) Tangens-Werte
damit wird Gleichung III. zu [mm] \bruch{1}{\wurzel{3}}=39a+b [/mm] mit $ [mm] b=-\bruch{1}{3}-\bruch{39}{2}a [/mm] $
Gruß informix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:58 So 25.11.2007 | | Autor: | Isaak |
Hey,
leider finde ich das, was wir durch das Einsetzverfahren gemacht haben, also das aus der Schule, viel verständlicher als diese Vorgehensweise von dir!
Denn ich verstehe auch nicht was an dieser Rechnung gerundet wurde, wenn man bedenkt, dass man mit "Safe" und "Load" Funktionen des Taschenrechners rechnen kann.
mfg isger
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Hallo Isaak,
> Hey,
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> leider finde ich das, was wir durch das Einsetzverfahren
> gemacht haben, also das aus der Schule, viel verständlicher
> als diese Vorgehensweise von dir!
> Denn ich verstehe auch nicht was an dieser Rechnung
> gerundet wurde, wenn man bedenkt, dass man mit "Safe" und
> "Load" Funktionen des Taschenrechners rechnen kann.
>
ok, ich rechne noch immer "altbacken" und habe keinen Taschenrechner, der das alles "auf Knopfdurck" rechnet.
Dann vergiss eben, was ich zusätzlich angemerkt habe.
Ich meine: diese Werte in f(x)= -0,02566x²+0,435x+1,5 sind gerundete Werte.
Gruß informix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:38 Mo 26.11.2007 | | Autor: | Isaak |
hey,
danke trotzdem für deine Hilfe informix!
mfg isger
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:37 Di 20.11.2007 | | Autor: | Maggons |
Huhu
Da du 3 Unbekannte hast, brauchst du auch mindestens 3 Bedingungen an die Funktion, um eine eindeutige Lösung geben zu können.
Der Zeichnung nach und unter Anbetracht der Tatsache, dass keine weiteren Anforderungen wie z.B. ein Sanfter Übergang irgendwohin oder dergleichen gefordert wird, kann man hier durchaus von einer quadratischen Funktion ausgehen.
Daher hast du auch hier eine 3. Bedingung gegeben;
diese 30° sind deine 3. Bedingung!
Die 1. Ableitung, also f'(x) fungiert nämlich als Steigungsmesser.
Hoffe der Tipp hilft dir weiter
Ciao lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:39 Di 20.11.2007 | | Autor: | Isaak |
hey,
danke, ich hatte schon die Befürchtung, dass man eine Funktion 2.Grades nur bei Vorhandensein von 3 "Punkten" berechnen bzw. benutzen kann.
Der Merksatz könnte ungefähr so verlauten;
Bei 3 unbekannten (variablen) müssen 3 bedingungen gegeben sein, um eine Funktion 2.Grades für den Graphen zu bestimmen!
mfg Isger
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