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Forum "Ganzrationale Funktionen" - Bestimmung ganzrat. Funktionen
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Bestimmung ganzrat. Funktionen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:10 Mo 13.03.2006
Autor: tAtey

Aufgabe
Bestimmen Sie die ganzrationale Funktion 3ten Grades, deren Graph die x-Achse im Ursprung berührt und deren Tangente in P(-3/0) parallel zur Geraden y=6x ist.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Also, normalerweise um eine ganzrationale Funktion zu bestimmen (so war es jedenfalls vorher, haben aber auch erst mit dem Thema vor ein paar Stunden angefangen) hatte man 3 Punkte vorgegeben und mit denen hat man dann ein Gleichungssystem gemacht und nach den einzelnen Verfahren konnte man dann die Funktion bestimmen.
Jetzt hab ich folgendes Problem, ich find da nicht die Punkte auf dem Graphen, das (0/0) einer ist, das ist klar, aber sonst?!
Dass die Tangente im Punkt P(-3/0) parallel zu der Geraden ist, heißt ja nicht, dass dieser Punkt auch auf der ganzrationalen Funktion liegt.

Kurz gesagt: Ich hab absolut keine Ahnung was ich tun muss :)
Hilfe ^^

        
Bezug
Bestimmung ganzrat. Funktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:33 Mo 13.03.2006
Autor: Yuma

Hallo Tatjana,

> Also, normalerweise um eine ganzrationale Funktion zu
> bestimmen (so war es jedenfalls vorher, haben aber auch
> erst mit dem Thema vor ein paar Stunden angefangen) hatte
> man 3 Punkte vorgegeben und mit denen hat man dann ein
> Gleichungssystem gemacht und nach den einzelnen Verfahren
> konnte man dann die Funktion bestimmen.

Prinzipiell richtig, allerdings müssen es nicht unbedingt vier Punkte sein, es reichen vier -ich sage immer- "Informationen", die man verwenden kann, um auf vier Gleichungen zu kommen.
Und du hast hier vier Informationen:
1. Der Punkt $(0,0)$ liegt auf dem Graphen, also $f(0)=0$.
2. Der Graph "berührt" die $x$-Achse im Ursprung, d.h. $f'(0)=0$ (hier könnte also ein Extrem- oder Sattelpunkt vorliegen). Wenn [mm] $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ [/mm] deine Funktion ist, dann ist ja [mm] $f'(x)=3ax^2+2bx+c$. [/mm] Mit $f'(0)=0$ erhältst du also die zweite Gleichung!
3. Der Punkt $(-3,0)$ liegt ebenfalls auf dem Graphen, also $f(-3)=0$.
4. Die Tangente in diesem Punkt hat dieselbe Steigung wie die Gerade $y=6x$ (welche Steigung $m$ ist das?). Also gilt $f'(-3)=m$, und das liefert die vierte Gleichung.

> Dass die Tangente im Punkt P(-3/0) parallel zu der Geraden
> ist, heißt ja nicht, dass dieser Punkt auch auf der
> ganzrationalen Funktion liegt.

Doch, genau das heißt es... - eine Tangente im Punkt $(x,y)$ ist doch per Definition eine Gerade, die den Punkt $(x,y)$ des Graphen berührt...

Vielleicht hilft dir das schon weiter. Frag' aber bitte nochmal nach, falls du irgendwo steckenbleibst, ok?

MFG,
Yuma

Bezug
                
Bezug
Bestimmung ganzrat. Funktionen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:08 Mo 13.03.2006
Autor: tAtey

Ok, Danke schonmal. Ich versuch das jetzt einfach :)

1) P(0/0) also : f(x)=0= a*0³+b*0²+c*0+d
=> d = 0
2) P (0/0) also: f'(x)=0= 3a*0² + 2b*0 + c
=> c = 0
3) P (-3/0) also: f(x)=0= a*(-3)³ + b*(-3)² + c*(-3) + d
=> 0= -27a³ + 9b² - 3c + d
4) P (-3/0) also: f'(x)=0= 3a*(-3)² + 2b*(-3) + c
=> 0= 27a² - 6b + c


Soweit richtig?

Bezug
                        
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Bestimmung ganzrat. Funktionen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:17 Mo 13.03.2006
Autor: tAtey

natürlich nicht a³ und b², usw.
Die Hochzahlen wegdenken, die sollen nicht dahin. Weiß nicht wieso ich die gemacht habe ;)

Bezug
                        
Bezug
Bestimmung ganzrat. Funktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:23 Mo 13.03.2006
Autor: Yuma

Hallo Tatjana,

> 1) P(0/0) also : f(x)=0= a*0³+b*0²+c*0+d => d = 0
> 2) P (0/0) also: f'(x)=0= 3a*0² + 2b*0 + c => c = 0

Richtig! [ok]

>  3) P (-3/0) also: f(x)=0= a*(-3)³ + b*(-3)² + c*(-3) + d
>  => 0= -27a³ + 9b² - 3c + d

Woher kommen die Exponenten??? Ohne Exponenten wär's richtig! ;-)
Es müsste also $-27a+9b=0$ heißen (wegen $c=d=0$).

>  4) P (-3/0) also: f'(x)=0= 3a*(-3)² + 2b*(-3) + c
>  => 0= 27a² - 6b + c

Auch hier keine Exponenten (ist wahrscheinlich nur ein Tippfehler, oder?). Allerdings ist [mm] $f'(-3)\not=0$, [/mm] sondern $f'(-3)=m$, wobei $m$ die Steigung der Geraden $y=6x$ ist, also $27a-6b=6$.

Wenn ich richtig gerechnet habe, müsstest du auf [mm] $a=\bruch{2}{3}$ [/mm] und $b=2$ kommen!

MFG,
Yuma

Bezug
                                
Bezug
Bestimmung ganzrat. Funktionen: danke :)
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:29 Mo 13.03.2006
Autor: tAtey

Danke dir,
hab es verstanden.
Das mit f'(x) = m .. Stimmt. Hab ich nicht mehr drüber nachgedacht. :)

Danke Danke.

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