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| Aufgabe | Das Schaubild einer ganzrationalen Funktion 3.Grades ist zum Ursprung symmetrisch und hat in P(1/1) einen Hochpunkt.(Berücksichtige die Symmetrie bereits im allgemeinen Ansatz.)
gesucht ist also die Funktion |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich bin absolut ratlos.Da fehl ich mal eine Stunde und die Fräulein Lehrerin hält es nicht für nötig einem sowas zu erklären.
Tja also Lösungsvorschläge bzw erklärungen zum ansatz wären hilfreich.
Grüße aus sachsen.
Der Grundkursler
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:50 Di 10.01.2006 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Eine ganzrationale Funktion 3. Grades hat allgemein die Form
[mm] $f(x)=ax^3 [/mm] + [mm] bx^2+cx+d$.
[/mm]
Sie soll nun symmetrisch zum Ursprung sein, d.h. es soll
$f(-x) = -f(x)$ für alle $x [mm] \in \IR$
[/mm]
gelten. Man kann sich überlegen, dass dies genau dann der Fall ist, wenn die Koeffizienten vor den geraden Exponenten verschwinden, wenn also $b=0$ und $d=0$ gilt. Wir haben also:
[mm] $f(x)=ax^3+cx$.
[/mm]
So, nun haben wir noch die Bedingung, dass in $H(1/1)$ ein Hochpunkt vorliegt. Zunächst einmal steckt darin die Information, dass der Punkt $(1/1)$ ein Punkt des Graphen ist, dass also $f(1)=1$ gilt.
Dies bedeutet (setze mal $1$ in $f(x)$ ein und setze dies dann gleich $1$):
$a+c=1$.
Nun wissen wir noch, dass es ein Hochpunkt, insbesondere also ein lokales Extremum ist. Dies bedeutet:
$f'(1)=0$.
Bilden wir doch mal allgemein $f'(x)$:
$f'(x) = [mm] 3ax^2+c$
[/mm]
und setzen $1$ ein:
$f'(1) = 3a+c$.
Und dies soll jetzt gleich $0$ sein:
$3a+c=0$.
Wir haben also zwei Unbekannte ($a$ und $c$) und die beiden Gleichungen:
$3a+c=0$ sowie $a+c=1$.
Kannst du das lösen?
Anschließend musst du dann noch überprüfen, ob dort tatsächlich ein Hochpunkt vorliegt, ob also:
$f''(1)<0$
gilt.
Ich hoffe ich konnte es dir ein bisschen klarer machen... 
Liebe Grüße
Stefan
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Hallo Stefan.Na das ist doch schon was.Danke dir. Den Rest bekomme ich jetzt alleine hin. Danke schön
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