Bestimmung paralleler Ebene < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben ist die Kugel K:(x+2)²+(y-5)²+(z-3)²=196, sowie die Ebene E:2x+3y+6z=29
In einer vorhergehenden Teilaufgabe wurde bereits gezeigt, dass E die Kugel "halbiert" also durch den Mittelpunkt M(-2;5;3) verläuft.
e) Es gibt zwei Ebenen F und G, die parallel zu E verlaugen und die Kugel in Schnittkreisen mit dem Radius [mm] \wurzel{183,75} [/mm] schneiden. Bestimmen Sie ihre Gleichungen! |
Im Zuge meines fleißigen Lernens für das in zwei Wochen anstehende Mathe-Abi ;) bin ich auf diese Aufgabe gestoßen.
Mir ist klar, dass man den Abstand mit Phytagoras berechnen kann. [mm] d=\wurzel{r²-183,75} [/mm] (r ist der Radius der Kugel und beträgt 14. Man erhält dann 3,5 für den Abstand der beiden Ebenen E und F.
Auch der Normalenvektor von der zu bestimmenden Ebene F ist "gegeben", aufgrund der Parallelität entspricht er dem von E.
Was aber nun fehlt um eine Gleichung von F zu formulieren ist ein Punkt auf dieser unbekannten Ebene. Zum Beispiel der Lotfußpunkt, den man erhält, wenn man eine zu F orthogonale Gerade durch F zieht. Wie kann man auf diesen Punkt kommen, ohne F zu kennen?
Ich habe versucht, mit der Abstandsformel für Punkt und Ebene zu arbeiten:
[mm] d=3,5=[\begin{pmatrix} -2 \\ 5 \\ 3\end{pmatrix}-\vec{a}]*\begin{pmatrix} 2/7 \\ 3/7 \\ 6/7\end{pmatrix}
[/mm]
Hier ergibt sich aber nun das Problem, dass es sich letzten Endes um ein Skalarprodukt handelt und man somit 3 (oder wenn man eine der Koordinaten durch die beiden anderen ausdrückt mindestens 2) Unbekannte in einer Gleichung hat.
Da weiß ich leider nicht mehr weiter und wäre sehr froh, wenn mir jeman helfen könnte, denn dieses Problem einen Punkt mit gegebenem Abstand und in einer bestimmten Richtung zu bestimmen, ist mit schon öfters untergekommen.
Danke schon mal ;)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo bluepearl,
> Gegeben ist die Kugel K:(x+2)²+(y-5)²+(z-3)²=196, sowie die
> Ebene E:2x+3y+6z=29
>
> In einer vorhergehenden Teilaufgabe wurde bereits gezeigt,
> dass E die Kugel "halbiert" also durch den Mittelpunkt
> M(-2;5;3) verläuft.
>
> e) Es gibt zwei Ebenen F und G, die parallel zu E verlaugen
> und die Kugel in Schnittkreisen mit dem Radius
> [mm]\wurzel{183,75}[/mm] schneiden. Bestimmen Sie ihre Gleichungen!
> Im Zuge meines fleißigen Lernens für das in zwei Wochen
> anstehende Mathe-Abi ;) bin ich auf diese Aufgabe gestoßen.
> Mir ist klar, dass man den Abstand mit Phytagoras berechnen
> kann. [mm]d=\wurzel{r²-183,75}[/mm] (r ist der Radius der Kugel
> und beträgt 14. Man erhält dann 3,5 für den Abstand der
> beiden Ebenen E und F.
> Auch der Normalenvektor von der zu bestimmenden Ebene F
> ist "gegeben", aufgrund der Parallelität entspricht er dem
> von E.
> Was aber nun fehlt um eine Gleichung von F zu formulieren
> ist ein Punkt auf dieser unbekannten Ebene. Zum Beispiel
> der Lotfußpunkt, den man erhält, wenn man eine zu F
> orthogonale Gerade durch F zieht. Wie kann man auf diesen
> Punkt kommen, ohne F zu kennen?
> Ich habe versucht, mit der Abstandsformel für Punkt und
> Ebene zu arbeiten:
>
> [mm]d=3,5=[\begin{pmatrix} -2 \\ 5 \\ 3\end{pmatrix}-\vec{a}]*\begin{pmatrix} 2/7 \\ 3/7 \\ 6/7\end{pmatrix}[/mm]
>
> Hier ergibt sich aber nun das Problem, dass es sich letzten
> Endes um ein Skalarprodukt handelt und man somit 3 (oder
> wenn man eine der Koordinaten durch die beiden anderen
> ausdrückt mindestens 2) Unbekannte in einer Gleichung hat.
> Da weiß ich leider nicht mehr weiter und wäre sehr froh,
> wenn mir jeman helfen könnte, denn dieses Problem einen
> Punkt mit gegebenem Abstand und in einer bestimmten
> Richtung zu bestimmen, ist mit schon öfters untergekommen.
> Danke schon mal ;)
Der Abstand der Ebene durch den Mittelpunkt der Kugel zu einer parallelen Ebene ist [mm]d=3,5[/mm]
Bilde die Gerade g durch den Mittelpunkt der Kugel mit dem Normalenvektor der Ebene:
[mm]g:\overrightarrow{x}=\overrightarrow{OM}+\lambda \overrightarrow{n}[/mm]
Weiter hin, wissen wir, daß [mm]\vmat{\overrightarrow{x}-\overrightarrow{OM}}=d[/mm]
Hier die Geradengleichung eingesetzt und Du erhältst den fehlenden Parameter[mm]\lambda[/mm]
Dies wiederum in die Geradengleichung eingesetzt, führt dann zu einem Punkt der parallelen Ebene.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:55 Fr 22.02.2008 | | Autor: | weduwe |
schneller und einfacher findet man je einen punkt der parallelen ebenen so
[mm] \overrightarrow{OP}_{1,2}=\overrightarrow{OM}\pm\frac{3.5}{\sqrt{4+9+36}}\vektor{2\\3\\6}
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:55 Fr 22.02.2008 | | Autor: | bluepearl |
Hm, das sagt mir ehrlich gesagt nichts....
Ist wohl eine Formel, die wir so nicht hatten und die auch nicht einfach verwenden dürfte, da sie nicht in unserer Samlung steht...
Das müsste doch auch irgendwie anders gehen? Oder ich verstehe einfach nicht, wo das herkommt ;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:58 Fr 22.02.2008 | | Autor: | weduwe |
> Hm, das sagt mir ehrlich gesagt nichts....
> Ist wohl eine Formel, die wir so nicht hatten und die auch
> nicht einfach verwenden dürfte, da sie nicht in unserer
> Samlung steht...
> Das müsste doch auch irgendwie anders gehen? Oder ich
> verstehe einfach nicht, wo das herkommt ;)
das kennst du sicher.
es handelt sich um keine "formel" sondern um die konsequente anwendung der vektorrechnung.
ins deutsche übersetzt:
du gehst vom mittelpunkt der kugel M senkrecht zur gegebenen ebene - also in richtung deren normalvektor - genau den gegebenen abstand von d = 3.5 noch oben und nach unten, so erreichst du den/ die mittelpunkt/e des/der schnittkreise(s).
dazu mußt du den normalenvektor normieren, also auf die länge 1 bringen, daher der betrag des vektors im nenner, und anschließend mit der gewünschten länge multiplizieren.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:51 Fr 22.02.2008 | | Autor: | bluepearl |
Dankeschön!
Hätte ich eigentlich auch selbst drau kommen können=) Irgendwie steh' ich nach wochenlangem Mathelernen langsam auf dem Schlauch...
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