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| Aufgabe | Bestimmen Sie alle stetigen Funktionen, die folgenden Funktionalgleichungen genügen:
(a) f: [mm] \IR_{+} \to \IR, [/mm] f(xy)=f(x)+f(y)
(b) g: [mm] \IR_{+} \to \IR, [/mm] g(xy)=g(x)g(y) |
Hallo! Ich hab leider keine Tipps bekommen für diese Aufgabe und ich weiß nich so recht, wie ich daran gehen soll.
Bis jetzt habe ich folgendes:
(a) f(xy)=f(x)+f(y)
Sei x=y=1.
=> f(1)= f(1)+f(1)
<=> f(1)=0
[mm] \limes_{xy\rightarrow\ 0} [/mm] f(xy) = f(0)
=> die Funktion ist stetig an der Stelle 1.
(b) Sei x=y=0
=> g(0)=g(0)g(0)
<=> g(0)=1
[mm] \limes_{xy\rightarrow\ 1} [/mm] g(xy)=g(1)
So... und jetzt weiß ich leider absolut nich mehr weiter. Ich vermute auch ganz stark, dass es komplett falsch ist =(
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Es ist nicht komplett falsch. Nur was du mit den Limes-Aussagen ausdrücken willst, ist mir schleierhaft. Und bei b) darfst du [mm]x=0[/mm] gemäß Definition der Funktion [mm]g[/mm] nicht einsetzen. Im übrigen würde aus [mm]g(0) = g(0)g(0)[/mm] nicht notwendig [mm]g(0)=1[/mm] folgen, es könnte ebensogut [mm]g(0)=0[/mm] gelten.
Ich würde dir auch einen anderen Ansatz vorschlagen. Ich bin mir nämlich fast sicher, daß ihr die wichtigste dieser Funktionalgleichungen, nämlich die Cauchysche
(*) [mm]h: \ \mathbb{R} \to \mathbb{R} \, , \ \ \ h(x+y) = h(x) + h(y)[/mm]
schon gelöst habt. Wenn man nämlich noch die Stetigkeit von [mm]h[/mm] voraussetzt, sind es nur die Proportionalitäten [mm]h(x)=ax[/mm] (mit konstantem [mm]a \in \mathbb{R}[/mm]), die (*) erfüllen. Und wenn du jetzt bei Aufgabe a)
[mm]h(x) = f \left( \operatorname{e}^x \right)[/mm]
definierst, kannst du für dieses [mm]h[/mm] die Eigenschaft (*) nachweisen. Damit kennst du die Beschaffenheit von [mm]h[/mm] und kannst damit die von [mm]f[/mm] zurückerhalten. Setze [mm]\operatorname{e}^x = t[/mm].
b) dürfte ähnlich gehen. Versuche selber, den geeigneten Ansatz für [mm]h[/mm] zu finden.
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Tut mir echt leid, aber ich versteh gerade nur Bahnhof. Vielleicht weil's so spät ist...
Warum denn mit h(x+y)=h(x)+h(y) weiter arbeiten, wenn es doch h(xy)=h(x)+h(y) ist?
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Die Dinge nicht durcheinanderbringen! Bei a) geht es um eine auf den positiven reellen Zahlen definierte stetige Funktion [mm]f[/mm] mit
[mm]f(xy) = f(x) + f(y)[/mm]
Und mit diesem so vorgegebenen [mm]f[/mm] sollst du die Funktion [mm]h[/mm] gemäß
[mm]h(x) = f \left( \operatorname{e}^x \right)[/mm]
definieren und für dieses [mm]h[/mm] mit Hilfe der Eigenschaften von [mm]f[/mm] die Beziehung (*) herleiten.
Der Sinn des Vorgehens ist, nicht jedes Mal bei Adam und Eva anzufangen, sondern die schon bekannte Lösung des Problems (*) vorteilhaft zur Lösung des vorliegenden Problems zu verwenden. Das Ganze funktioniert natürlich nur, wenn ihr die Cauchysche Funktionalgleichung (*) schon in der Vorlesung behandelt habt. Andernfalls mußt du dann doch bei Adam und Eva anfangen.
Was ist zu tun?
1. Weise nach, daß [mm]h[/mm] auf allen reellen Zahlen definiert ist.
2. Weise nach, daß [mm]h[/mm] stetig ist.
3. Weise nach, daß [mm]h[/mm] der Cauchyschen Funktionalgleichung genügt.
4. Verwende die Lösung der Cauchyschen Funktionalgleichung.
5. Löse die Beziehung nach [mm]f[/mm] auf.
Alle Punkte sind höchstens Einzeiler.
Damit der Ansatz [mm]h(x) = f \left( \operatorname{e}^x \right)[/mm] für dich nicht "vom Himmel fällt", noch zur Motivation: Die Funktionalgleichung von [mm]f[/mm] wird ja gerade von den Logarithmusfunktionen erfüllt. Man hat also den Verdacht, daß das die gesamten stetigen Lösungen sind. Durch das Vorschalten der Exponentialfunktion (das ist die Umkehrfunktion des natürlichen Logarithmus) wird aus dem logarithmischen [mm]f[/mm] das lineare [mm]h[/mm].
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