Bestimmung von Eigenwerten < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Es ist eine lineare Abbildung [mm] \beta: \IR^n \Rightarrow \IR^n [/mm] durch B = (bij) mit bij = 1, i, j = 1,...,n definiert. Es sind die Eigenwerte von [mm] \beta [/mm] zu bestimmen und die Basen der zugehörigen Eigenräume anzugeben. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo!
Vom Prof. wurde der Hinweise gegeben, dass NICHT das charakteristische Polynom von [mm] \beta [/mm] zu betrachten ist.
Bis dato habe ich alle Eigenwerte ausschließlich über das charakteristische Polynom bestimmt. Wie kann ich diese Aufgabe sonst angehen?
Vielen Dank im Voraus für Hilfe!
LG, Martin
|
|
| |
|
> Es ist eine lineare Abbildung [mm]\beta: \IR^n \Rightarrow \IR^n[/mm]
> durch B = (bij) mit bij = 1, i, j = 1,...,n definiert.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Die [mm] n\times [/mm] n-Matrix B hat also überall den Eintrag 1,
und es ist [mm] \beta [/mm] (x)=Bx f.a. [mm] x\in \IR^n.
[/mm]
> Es
> sind die Eigenwerte von [mm]\beta[/mm] zu bestimmen und die Basen
> der zugehörigen Eigenräume anzugeben.
> Vom Prof. wurde der Hinweise gegeben, dass NICHT das
> charakteristische Polynom von [mm]\beta[/mm] zu betrachten ist.
>
> Bis dato habe ich alle Eigenwerte ausschließlich über das
> charakteristische Polynom bestimmt. Wie kann ich diese
> Aufgabe sonst angehen?
Man sieht leicht, daß die Abbildung nicht injektiv ist, also besteht [mm] Kern\beta [/mm] aus mehr Vektoren als dem Nullvektor.
Mach Dir klar, daß der Kern der Eigenraum zum Eigenwert 0 ist.
Diesen könntest Du nun erstmal bestimmen, und danach sachte weiterüberlegen, wie es mit weiteren Eigenwerten ausschaut.
(Den noch fehlenden Eigenvektor kann man eigentlich ganz gut erraten.)
LG Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:30 Mo 31.03.2014 | | Autor: | Martin1020 |
Hallo Angela,
vielen Dank für die rasche Antwort. Ich werde versuchen da mal weiter zu rechnen!
LG, Martin
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:20 Mo 31.03.2014 | | Autor: | Martin1020 |
Also den Kern habe ich mal ermittelt. Der lautet (-1, 1, 0), (-1, 0, 1). Ist das so richtig? Mit ist nur nicht klar, wie es nun weiter geht.
LG, Martin
|
|
|
| |
|
Hallo,
also ich bin jetzt folgendermaßen vorgegangen (y steht für lamda):
[mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0} [/mm] = Kern (A-yE)
[mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0} [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 } \* (\pmat{ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 } [/mm] - [mm] \pmat{ y & 0 & 0 \\ 0 & y & 0 \\ 0 & 0 & y })
[/mm]
Dann habe ich für y = 3 erhalten. Dh. es existieren die Eigenwert 0 und 3.
Ist das so richtig?
Vielen Dank für eure Hilfe!
LG, Martin
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:56 Mo 31.03.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
du hast den Spazialfall n=3 richtig behandelt, dort ist [mm] \lambda=3 [/mm] (Achtung : Zaunpfahl).
Du musst dieses auf den allgemeinen Fall übertragen und einen Eigenvektor zu diesem Eigenwert angeben, der dann Basis des zugehörigen 1-dimensionalen Eigenraumes ist.
Das trifft auch auf deinen vorherigen Beitrag zu : für n=3 passt es. Für allgemeines n gibst du n-1 linear unabhängige Eigenvektoren zum Eigenwert 0 an.
Gruß Sax.
|
|
|
| |
|
Danke, Sax!
Ich hab das ganze nun allgemeiner aufgestellt:
[mm] \vektor{0 \\ 0 \\ ... \\ 0} [/mm] = [mm] \pmat{ -(n-1) & -((n-1)-y) & -((n-1)-y) & ... & -((n-1)-y) \\ 1 & 1-y & 1 & ... & 1 \\ 1 & 1 & 1-y & ... & 1 \\ ... }
[/mm]
I: -(n-1)-(n-1)+y-(n-1)+y... = 0 -> [mm] (n-1)\*y [/mm] = [mm] n\*(n-1) [/mm] -> y=n
Dann den Eigenvektor aufgestellt:
[mm] (\pmat{ 1-n & 1 & 1 & ... & 1 \\ 1 & 1-n & 1 & ....& 1 \\ 1 & 1 & 1 & ... & 1-n} \* \vektor{x1 \\ x2 \\ ... \\ xn} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ ... \\ 0}
[/mm]
I: [mm] (1-n)\*x1 [/mm] + x2 + x3 + ... + xn = 0
II: x1 + [mm] (1-n)\*x2 [/mm] + x3 + ... + xn = 0
usw
-> x2 = x3 = x4 = ... = xn
x1 = [mm] (2n-3)\*x2
[/mm]
X = [mm] \vektor{2n-3 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ ... \\ 1} [/mm] Das ist dann mein Eigenvektor (also die Basis des Eigenraums) von A.
Ist das so richtig? Und wenn ja, ist das auch mathematisch korrekt bestimmt (also korrekt gezeigt)?
LG Martin
|
|
|
| |
|
> Danke, Sax!
>
> Ich hab das ganze nun allgemeiner aufgestellt:
>
> [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ ... \\ 0}[/mm] = [mm]\pmat{ -(n-1) & -((n-1)-y) & -((n-1)-y) & ... & -((n-1)-y) \\ 1 & 1-y & 1 & ... & 1 \\ 1 & 1 & 1-y & ... & 1 \\ ... }[/mm]
>
> I: -(n-1)-(n-1)+y-(n-1)+y... = 0 -> [mm](n-1)\*y[/mm] = [mm]n\*(n-1)[/mm] ->
> y=n
>
> Dann den Eigenvektor aufgestellt:
>
> [mm](\pmat{ 1-n & 1 & 1 & ... & 1 \\ 1 & 1-n & 1 & ....& 1 \\ 1 & 1 & 1 & ... & 1-n} \* \vektor{x1 \\ x2 \\ ... \\ xn}[/mm]
> = [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ ... \\ 0}[/mm]
>
> I: [mm](1-n)\*x1[/mm] + x2 + x3 + ... + xn = 0
> II: x1 + [mm](1-n)\*x2[/mm] + x3 + ... + xn = 0
> usw
>
> -> x2 = x3 = x4 = ... = xn
>
> x1 = [mm](2n-3)\*x2[/mm]
>
> X = [mm]\vektor{2n-3 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ ... \\ 1}[/mm] Das ist dann
> mein Eigenvektor (also die Basis des Eigenraums) von A.
Hallo,
schauen wir mal nach, ob es stimmt.
Wir testen mal am Beispiel n=7.
Es müßte dann [mm] \vektor{11\\1\\\vdots\\1} [/mm] ein EV sein.
Es ist
[mm] \beta [/mm] ( [mm] \vektor{11\\1\\\vdots\\1})= \vektor{17\\17\\\vdots\\17},
[/mm]
also ist [mm] \vektor{11\\1\\\vdots\\1} [/mm] kein EV von [mm] \beta.
[/mm]
>
> Ist das so richtig? Und wenn ja, ist das auch mathematisch
> korrekt bestimmt (also korrekt gezeigt)?
Nein, denn die Rechnung, mit der Du auf dieses Ergebnis gekommen bist, ist nicht nachvollziehbar - jedenfalls für mich.
Du müßt auch gar nicht viel rumrechnen.
Betrachten wir mal den Fall n=5.
Jetzt sag erstmal eine Basis vom Eigenraum zum Eigenwert 0.
Sie enthält 4 Vektoren.
So. Nun rate doch mal ein bißchen, welches ein weiterer EW sein könnte.
Tip: er enthält viele Einsen.
Rechne vor, daß es ein EV ist und sage den Eigenwert.
Genauso kannst Du das allgemein für n machen.
Sei [mm] (e_1,...,e_n) [/mm] die Standardbasis des [mm] \IR^n.
[/mm]
Rechne vor, daß die n-1 linear unabhängigen Vektoren
[mm] b_1:=e_1-e_2,
[/mm]
[mm] b_2:=e_1-e_3
[/mm]
[mm] \vdots
[/mm]
[mm] b_{n-1}=e_1-e_n
[/mm]
Eigenvektoren zum EW 0 sind,
errate einen Eigenvektor zum zweiten Eigenwert [mm] \lambda_2=..., [/mm] und rechne vor, daß es einer ist.
LG Angela
>
> LG Martin
|
|
|
| |
|
"Betrachten wir mal den Fall n=5.
Jetzt sag erstmal eine Basis vom Eigenraum zum Eigenwert 0.
Sie enthält 4 Vektoren."
Um die Basis (also die Eigenvektoren) vom Eigenraum zum Eigenwert 0 zu ermitteln, mache ich folgendes:
[mm] \pmat{1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1} \* \vektor{x1 \\ x2 \\ x3 \\ x4 \\ x5} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0} [/mm]
Dann erhalte ich:
I: x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 0
Das gleiche gilt dür II - V.
Und wie komme ich jetzt weiter?
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:21 Mo 31.03.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
du darfst die beiden möglichen Bestimmungsgleichungen für Eigenwerte und Eigenvektoren, nämlich einerseits [mm] A*v=\lambda*v [/mm] und andererseits [mm] (A-\lambda*E)*v=0 [/mm] nicht verwechseln / vermischen.
Gruß Sax.
|
|
|
| |
|
Guten Morgen,
"Betrachten wir mal den Fall n=5.
Jetzt sag erstmal eine Basis vom Eigenraum zum Eigenwert 0.
Sie enthält 4 Vektoren."
Also die Basis vom Eigenraum zum Eigenwert 0 für den Fall n=5 konnte ich berechnen. Meinen Berechnungen zufolge sind die 4 Vektoren, die die Basis bilden:
[mm] \vektor{-1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0}, \vektor{-1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0}, \vektor{-1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0}, \vektor{-1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
Ist das so richtig?
"So. Nun rate doch mal ein bißchen, welches ein weiterer EW sein könnte.
Tip: er enthält viele Einsen.
Rechne vor, daß es ein EV ist und sage den Eigenwert."
Kann ich den weiteren EW auch berechnen?
Danke für eure Geduld!
LG, Martin
|
|
|
| |
|
> Guten Morgen,
>
> "Betrachten wir mal den Fall n=5.
>
> Jetzt sag erstmal eine Basis vom Eigenraum zum Eigenwert 0.
>
> Sie enthält 4 Vektoren."
>
> Also die Basis vom Eigenraum zum Eigenwert 0 für den Fall
> n=5 konnte ich berechnen. Meinen Berechnungen zufolge sind
> die 4 Vektoren, die die Basis bilden:
>
> [mm]\vektor{-1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0}, \vektor{-1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0}, \vektor{-1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0}, \vektor{-1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1}[/mm]
>
> Ist das so richtig?
Hallo,
ja, richtig.
>
> "So. Nun rate doch mal ein bißchen, welches ein weiterer
> EW sein könnte.
> Tip: er enthält viele Einsen.
> Rechne vor, daß es ein EV ist und sage den Eigenwert."
>
> Kann ich den weiteren EW auch berechnen?
Zunächst ein Wort zum Raten - ich habe nämlich das Gefühl, daß Dir das nicht gefällt:
wenn man einen Eigenvektor errät und dann zeigen kann, daß es wirklich einer ist, ist das genauso mathematisch und beweiskräftig wie seitenlange Rechnungen mit geheimnisvollen Zeichen.
Hier, wo man weiß, daß es nur noch einen Eigenwert geben kann, finde ich das Raten angemessen.
Ja. Natürlich kann man den weiteren Eigenwert auch errechnen.
Z.B. indem man die Nullstellen des charakteristischen Polynoms von B bestimmt.
Etwas bequemer ist's, wenn man mal die Darstellungsmatrix von [mm] \beta [/mm] bzgl der Basis [mm] (\vektor{1\\0\\0\\0\\0}, \vektor{-1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0}, \vektor{-1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0}, \vektor{-1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0}, \vektor{-1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1}) [/mm] aufstellt und dann die Nullstellen des charakteristischen Polynoms davon bestimmt.
LG Angela
>
> Danke für eure Geduld!
>
> LG, Martin
>
>
|
|
|
| |
|
> Hallo,
>
> also ich bin jetzt folgendermaßen vorgegangen (y steht
> für lamda):
>
> [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0}[/mm] = Kern (A-yE)
Hallo,
Du möchtest jetzt doch die Eigenwerte mit dem charakteristischen Polynom berechnen?
>
> [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0}[/mm] = [mm]\pmat{ 0 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 } \* (\pmat{ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 }[/mm]
> - [mm]\pmat{ y & 0 & 0 \\ 0 & y & 0 \\ 0 & 0 & y })[/mm]
Hmm... Mir ist der Gedanke Deines Tuns unklar.
Warum multiplizierst Du A-yE mit der Matrix [mm] \pmat{ 0 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }?
[/mm]
Die Gleichung kann jedenfalls durch kein y gelöst werden, denn links haben wir ein Element des [mm] \IR^3, [/mm] rechts eine [mm] 3\times [/mm] 3-Matrix.
Warum multiplizierst
>
> Dann habe ich für y = 3 erhalten. Dh. es existieren die
> Eigenwert 0 und 3.
Wie auch immer Du den EW y=3 gefunden hast: er stimmt.
Vom EW 0 wußten wir schon zuvor.
Kannst Du einen Eigenvektor zu y=0 angeben? Eine Basis des Eigenraumes?
LG Angela
>
> Ist das so richtig?
>
> Vielen Dank für eure Hilfe!
>
> LG, Martin
|
|
|
|
