Bestimmung von Gruppen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Gegeben sind vier Mengen M mit einer inneren Verknüpfung [mm] \circ. [/mm] Entscheiden Sie in jedem Fall, ob das Paar [mm] (M,\circ) [/mm] eine Gruppe bildet.
(a) Sei M = [mm] \IR [/mm] und [mm] \circ [/mm] : M [mm] \times [/mm] M [mm] \to [/mm] m definiert durch x [mm] \circ [/mm] y = min (x,y)
(b) Sei m = [mm] \IZ \times \IZ [/mm] und [mm] \circ [/mm] : M [mm] \times [/mm] M [mm] \to [/mm] M definiert durch [mm] (a_{1},b_{1}) \circ (a_{2},b_{2}) [/mm] = [mm] (a_{1}+a_{2},b_{1}+b_{2}).
[/mm]
(c) Sei M = [mm] \IQ \setminus [/mm] {0} und [mm] \circ [/mm] : M [mm] \times [/mm] M [mm] \to [/mm] M definiert durch x [mm] \circ [/mm] y = 2xy.
(d) sei M = [mm] \IQ \setminus [/mm] {-1} und [mm] \circ [/mm] : M [mm] \times [/mm] M [mm] \to [/mm] M definiert durch a [mm] \circ [/mm] b = ab + a + b. |
Ich habe überhaupt keine Idee wie ich diese Aufgabe beginnen oder gar lösen soll. Ich bin echt verzweifelt.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
> Gegeben sind vier Mengen M mit einer inneren Verknüpfung
> [mm]\circ.[/mm] Entscheiden Sie in jedem Fall, ob das Paar [mm](M,\circ)[/mm]
> eine Gruppe bildet.
> (a) Sei M = [mm]\IR[/mm] und [mm]\circ[/mm] : M [mm]\times[/mm] M [mm]\to[/mm] m definiert
> durch x [mm]\circ[/mm] y = min (x,y)
> (b) Sei m = [mm]\IZ \times \IZ[/mm] und [mm]\circ[/mm] : M [mm]\times[/mm] M [mm]\to[/mm] M
> definiert durch [mm](a_{1},b_{1}) \circ (a_{2},b_{2})[/mm] =
> [mm](a_{1}+a_{2},b_{1}+b_{2}).[/mm]
> (c) Sei M = [mm]\IQ \setminus[/mm] {0} und [mm]\circ[/mm] : M [mm]\times[/mm] M [mm]\to[/mm] M
> definiert durch x [mm]\circ[/mm] y = 2xy.
> (d) sei M = [mm]\IQ \setminus[/mm] {-1} und [mm]\circ[/mm] : M [mm]\times[/mm] M [mm]\to[/mm]
> M definiert durch a [mm]\circ[/mm] b = ab + a + b.
> Ich habe überhaupt keine Idee wie ich diese Aufgabe
> beginnen oder gar lösen soll. Ich bin echt verzweifelt.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Zu zeigen ist, dass [mm] $(\IR,\circ)$ [/mm] mit [mm] $\circ [/mm] : [mm] \IR\times \IR \to \IR, m\circ y:=\min [/mm] (x,y)$ eine Gruppe ist.
Dazu sind die Axiome speziell für deine Aufgabe zu zeigen:
Aufgabe a)
(G1) Existenz eines neutralen Elements e.
Frage: gibt es eine reelle Zahl e mit [mm] $m\circ e=\min [/mm] (m,e)=m$ für alle m
Falls nein -> keine Gruppe (eventuell Widerspruch angeben)
Falls ja -> angeben und nächster Punkt
(G2) Existenz eines inversen Elements
Frage: Gibt es für alle Elemente (Zahlen) in [mm] $r\in\IR$ [/mm] jeweils eine weitere Zahl [mm] $q\in\IR$ [/mm] mit [mm] $r\circ q=\min [/mm] (r,q)=e$ (aus G1)?
Falls nein -> keine Gruppen und Gegenbeispiel angeben
Falls ja -> dieses allgemein angeben und nächster Punkt
(G3) Gilt das Assoziativgesetz ?
Frage: Gilt für relle Zahlen $a,b,c$ folgendes [mm] $a\circ (b\circ c)=(a\circ b)\circ [/mm] c$?
Falls nein -> keine Gruppe
Falls ja -> Gruppe + fertig
Probier es durch.
|
|
|
| |
|
Das mit den Axiomen verstehe ich ja, aber wie bestimme ich nun das neutrale wir hatten in der Vorlesung nur eine Definition: " Es gibt ein Element e [mm] \in [/mm] G mit:
(a) e [mm] \circ [/mm] a = a = a [mm] \circ [/mm] e [mm] \forall [/mm] a [mm] \in [/mm] G
(b) ... " ( (b) bezieht sich hier auf das inverse Element.)
Kann ich diese Definition einfach benutzen obwohl wir sie gar nicht bewiesen haben oder muss ich das Minimum mit einbeziehen? Wenn ich mich ja einfach auf die Definition beziehe kann ich sagen G1 ist erfüllt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:53 Mi 02.11.2011 | | Autor: | Harris |
Hi!
Ich verstehe deine Frage nicht so ganz... Warum sollte man Definitionen beweisen?
Du hast in jedem deiner Beispiele eine Menge gegeben und eine Verknüpfung. Machen wir uns mal auf die Suche nach einem neutralen Element bei dem 1. Beispiel.
Du suchst eine reelle Zahl $x$, für die
$min(x,b)=b$
für alle [mm] $b\in\IR$ [/mm] erfüllt ist. Jetzt frage ich dich, wie soll denn diese Zahl aussehen? Für jeden beliebigen Kandidaten für $x$ findet man doch eine größere Zahl $b>x$, so dass das Minimum beider Zahlen nicht b, sondern x ist. Und schon ist widerlegt, dass das erste Beispiel keine Gruppe ist.
Die Suche nach dem Inversen Element scheitert auch. Woran?
Und zur Übung: Rechne mal das Assoziativitätsgesetz nach!
Aber ganz am Anfang würde ich erst mal mit einem Beispiel anfangen, welches wirklich eine Gruppe ist. Eventuell das zweite Beispiel?
Grüße,
Harris
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:29 Mi 02.11.2011 | | Autor: | NooB22222 |
Ich habe nun die Lösung der Aufgabe geschafft.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:46 Mi 02.11.2011 | | Autor: | wieschoo |
Aufgabe 1)
b)
G1) besser "das neutrale Element ist... (0,0)"
G2) Indizies falsch [mm] (a_2,b_2)=(-a_2,-b_2) [/mm] . Gib doch einfach konkret das Inverse so an: Für [mm] $(a,b)\in [/mm] M$ ist das Inverse [mm] $(-a,-b)\in [/mm] M$
c)
G2) FALSCH! Rechne das noch einmal nach! Hier wird multipliziert! Das Inverse zu [mm] $x\;$ [/mm] ist doch [mm] $\frac{1}{2x}$ [/mm] und nicht [mm] $-x\;$
[/mm]
G3) da müsste einmal 4xyz auftauchen, denn [mm] $(2xy)\circ z=2(2xy)z=4xyz\;$
[/mm]
das war mal ein schnelles drüber schauen
|
|
|
|
