Bestimmung von Inf und Sup < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:30 Mo 04.05.2009 | | Autor: | Doemmi |
| Aufgabe 1 | Bestimmen Sie, sofern diese existieren, das Infimum und das Supremum der Menge
M:={ [mm] (-1)^{n}(1+\bruch{1}{n}) [/mm] | n [mm] \in \IN [/mm] } |
| Aufgabe 2 | Die Mengen A [mm] \subset \IR [/mm] und B [mm] \subset \IR [/mm] seien nach unten und nach oben beschränkt. Zeigen Sie, dass die Menge
C:={x | x = y+z, y [mm] \in [/mm] A, z [mm] \in [/mm] B}
nach oben und nach unten beschränkt ist mit
sup(C) = sup(A) + sup(B), und inf(C) = inf(A) + inf(B). |
| Aufgabe 3 | Es sei A eine nichtleere, nach oben beschränkte Teilmenge von [mm] \IR. [/mm] Zeigen Sie, dass die Menge
-A:={-x [mm] \in \IR [/mm] | x [mm] \in [/mm] A}
nach unten beschränkt ist und dass inf(-A) = -sup(A) gilt. |
Hi!
Diese Aufgabe ist Teil meiner wöchentlichen Hausaufgabe in Analysis I. Ich will nicht zwingend, dass sie jemand für mich löst, mir geht es nur darum, dass ich das Ganze verstehe und dann vielleicht selbst lösen kann. Ich habe hier keinen Schimmer, wie ich an die Sache ran gehe.
In der Vorlesung haben wir das Infimum/Maximum anhand eines selbstgewählten [mm] \varepsilon [/mm] gefunden, aber das habe ich nicht verstanden...
Vielen Dank schonmal im Voraus!
LG Tommy
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:24 Di 05.05.2009 | | Autor: | djmatey |
Hallo 
zu 1):
[mm] \bruch{1}{n} [/mm] ist eine streng monoton fallende Folge, 1 + [mm] \bruch{1}{n} [/mm] damit auch.
[mm] (-1)^n [/mm] bewirkt, dass die Werte, die 1 + [mm] \bruch{1}{n} [/mm] annimmt, abwechselnd ins Negative bzw. Positive "springen".
Das Vorzeichen wechselt also, und die Folgenglieder werden betragsmäßig immer kleiner. Das Infimum bzw. Supremum ist also am "Anfang" der Folge zu suchen, d.h. für kleine n.
Am besten rechnest du die ersten Folgenglieder mal aus.
zu 2):
A und B sind nach oben und unten beschränkt. Gib dir Schranken vor, z.B. [mm] u_A [/mm] und [mm] o_A [/mm] als inf bzw. sup von A, bei B analog.
Überlege dir, welche Werte y und z annehmen können und was dann für x in Frage kommt.
zu 3):
Wie in 2): Definiere c:= sup(A). Alle Elemente von A kommen beliebig nah an c heran oder sind sogar gleich c, werden aber nie größer. Nun wird in -A das Ganze nur auf die negative Achse gekippt. Du könntest z.B. argumentieren, dass für A nach Voraussetzung gilt
c-x [mm] \ge [/mm] 0 [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] A und
[mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists [/mm] x [mm] \in [/mm] A : c-x < [mm] \varepsilon
[/mm]
Das [mm] \varepsilon [/mm] - Kriterium sagt hier aus, dass die Elemente von A beliebig nah an c heranreichen oder es sogar erreichen. Das Ganze muss nun entsprechend für -A durchgeführt werden.
LG djmatey
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:49 Di 05.05.2009 | | Autor: | Doemmi |
Erstmal vielen Dank für die schnelle Rückmeldung
Ich habe jetzt bei der ersten Aufgabe eine Fallunterscheidung gemacht.
1. Fall: n = ungerade
[mm] \Rightarrow [/mm] M:={ [mm] -(1+\bruch{1}{x} [/mm] | x=2n-1 [mm] \forall n\in\IN [/mm] }
[mm] \Rightarrow [/mm] Sup(M) = -1
[mm] \Rightarrow [/mm] Inf(M) = -2
2. Fall: n = gerade
[mm] \Rightarrow [/mm] M:={ [mm] (1+\bruch{1}{x} [/mm] | x=2n [mm] \forall n\in\IN [/mm] }
[mm] \Rightarrow [/mm] Sup(M) = 1,5
[mm] \Rightarrow [/mm] Inf(M) = 1
Wie kann ich das nun beweisen?
Bei der zweiten Aufgabe kann ich mir leider nichts so richtig vorstellen.
Da [mm] A\in\IR, B\in\IR [/mm] und [mm] y\inA, z\inB [/mm] ist auch [mm] x\in\IR, [/mm] da x=y+z
Seien nun Sup(A) = a und Sup(B) = b, so ist Sup(C) = a+b, [mm] \foralla,b\in\IR
[/mm]
Mehr kann ich mir momentan nicht darunter vorstellen.
Kann ich mir bei Aufgabe 3 irgendeine Funktion aussuchen? Z.B. f(x)=x [mm] \forall f(x)\inA, x\le2
[/mm]
So wäre A nach oben beschränkt mit Sup(A)=2
-A wäre ja dann die an der x-Achse gespiegelte Gerade.
Wenn ich es an diesem konkreten Beispiel beweise, gilt es dann auch allgemein?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Fr 08.05.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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