Bestimmung von Integralen < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:19 Fr 21.04.2006 | | Autor: | stray |
| Aufgabe 1 | Bestimmten Sie:
[mm] \integral_{ }^{ } \bruch{x^3 - x^2 + x - 1}{x^2-x}, [/mm] dx
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| Aufgabe 2 | Bestimmten Sie:
[mm] \integral_{ }^{ } \bruch{x^4 - x^2 - x - 2}{x^5 + x^3}, [/mm] dx |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Irgendwo in "Mathematik für Ingenieure" (Springer) habe ich was von Partialbruchzerlegung gelesen und hab das Beispiel auf die Aufgabe1 bzw Aufgabe2 übertragen.
Die Frage ist ob dies stimmt:
ZU AUFGABE 1
[mm]\integral_{ }^{ } \bruch{x^3 - x^2 + x - 1}{x^2-x}, dx
x^2 - x = x ( x - 1) [/mm]
[mm] \bruch{x^3 - x^2 + x - 1}{x^2-x}, [/mm] =
[mm]\bruch {A}{x} + \bruch {B}{x-1} + \bruch {C}{x^2-x} + \bruch {D}{x^2-x}[/mm]
[mm] x^3 - x^2 + x - 1 = A(x-1) + B(x) +C + D = x(A+B) - A + C + D [/mm]
daraus folgt: A+B = 1; A = 1; B=0; C=D=1
[mm]
\bruch{x^3 - x^2 + x - 1}{x^2-x} =
\bruch {-1}{x} + \bruch {1}{x^2-x} + \bruch{1}{x^2-x}
[/mm]
für das Integral:
[mm] \integral_{ }^{ } \bruch{x^3 - x^2 + x - 1}{x^2-x}, dx =
\interal_{ }^{ } \bruch {1}{x}, dx + \integral_{ }^{ } \bruch {1}{x^2-x}, dx + \integral_{ }^{ } \bruch {1}{x^2-x}, dx
[/mm]
[b] Lösung: ln |x| + 2 ln [mm] |x^2-x| [/mm] + C [mm] [\b]
[/mm]
ZU AUFGABE 2
[mm]\integral_{ }^{ } \bruch{x^4 - x^2 + x - 2}{x^5+x^3}, dx
x^5 + x^3 = x^3 ( x^2 + 1) [/mm] <- ist das richtig ?
[mm] \bruch{x^4 - x^2 + x - 2}{x^5+x^3}, [/mm] = ???
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:43 Fr 21.04.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
bis zur Zerlegung ist dein 1. Integral richtig. aber
>
> Irgendwo in "Mathematik für Ingenieure" (Springer) habe ich
> was von Partialbruchzerlegung gelesen und hab das Beispiel
> auf die Aufgabe1 bzw Aufgabe2 übertragen.
> Die Frage ist ob dies stimmt:
>
> ZU AUFGABE 1
>
> [mm]\integral_{ }^{ } \bruch{x^3 - x^2 + x - 1}{x^2-x}, dx
x^2 - x = x ( x - 1)[/mm]
>
> [mm]\bruch{x^3 - x^2 + x - 1}{x^2-x},[/mm] =
> [mm]\bruch {A}{x} + \bruch {B}{x-1} + \bruch {C}{x^2-x} + \bruch {D}{x^2-x}[/mm]
einfacher wär C+D zusammenfassen
> [mm]x^3 - x^2 + x - 1 = A(x-1) + B(x) +C + D = x(A+B) - A + C + D[/mm]
>
> daraus folgt: A+B = 1; A = 1; B=0; C=D=1
> [mm]
\bruch{x^3 - x^2 + x - 1}{x^2-x} =
\bruch {-1}{x} + \bruch {1}{x^2-x} + \bruch{1}{x^2-x}
[/mm]
soweit r
> für das Integral:
> [mm]\integral_{ }^{ } \bruch{x^3 - x^2 + x - 1}{x^2-x}, dx =
\interal_{ }^{ } \bruch {1}{x}, dx + \integral_{ }^{ } \bruch {1}{x^2-x}, dx + \integral_{ }^{ } \bruch {1}{x^2-x}, dx
[/mm]
aber [mm] \integral_{ }^{ } \bruch {1}{x^2-x}, [/mm] dx ist nicht [mm] ln(x^2-x)
[/mm]
hier brauchst du noch mal ne Partialbruchzerlegung!
Für die 2. fällt mir grad nix gutes ein.
Gruss leduart
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:51 Fr 21.04.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo stray!
Bei Aufgabe 2 ist ebenfalls eine Partialbruchzerlegung erforderlich vor der eigentlichen Integration:
[mm] $\bruch{x^4 - x^2 - x - 2}{x^5 + x^3} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{x^4 - x^2 - x - 2}{x^3*\left(x^2+1\right)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{A}{x}+\bruch{B}{x^2}+\bruch{C}{x^3}+\bruch{D*x+E}{x^2+1}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:30 So 23.04.2006 | | Autor: | stray |
| Aufgabe | Bestimmen Sie:
[mm] \integral \bruch {x^4-x^2-x-2}{x^5+x^3} [/mm] dx |
[mm] \integral \bruch {x^4-x^2-x-2}{x^5+x^3} [/mm] dx
okay, also Polynomdivision s.o.
= [mm] \bruch {x^4-x^2-x-2}{x^3(x^2+1)} [/mm] =
[mm] \bruch{A}{x} [/mm] + [mm] \bruch{B}{x^2} [/mm] + [mm] \bruch{C}{x^3} [/mm] + [mm] \bruch {Dx+E}{x^2+1} [/mm]
Frage 1: Wie kommt man auf [mm] \bruch {Dx+E}{x^2+1}
[/mm]
dann weiter:
[mm] x^4 [/mm] - [mm] x^2-x-2 [/mm] = [mm] A(x^4+x^2) [/mm] + B [mm] (x^3+x) [/mm] + C ( [mm] x^2+1) [/mm] + (Dx + [mm] E)(x^3)
[/mm]
= [mm] x^4 [/mm] (A+D) + [mm] x^3 [/mm] (B+E) + [mm] x^2 [/mm] (A+C) + x (B) + C
A+C = -1; C = -2; A = 1; A+D=1; D= 0; B=-1;B+E= 1; E=1;
daraus folgt:
[mm] \integral \bruch {x^4-x^2-x-2}{x^5+x^3} [/mm] dx
= [mm] \integral \bruch{1}{x} [/mm] - [mm] \integral \bruch {1}{x^2} [/mm] - [mm] \integral \bruch {2}{x^3} [/mm] + [mm] \integral \bruch {1}{x^2+1}
[/mm]
= ln |x| - 2* [mm] \bruch{x^{-2}}{-2} [/mm] + ln |x+1| - ln|x-1| + C
Vielen Dank nochma ;o)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:32 Mo 24.04.2006 | | Autor: | stray |
= [mm] ln|x| - ln|x^2| - 2* \bruch {x^(-2)}{-2} + arctan(x) + C [/mm]
hatte beim abtippen den einen teil zu - [mm] \bruch {1}{x^2} [/mm] vergessen...
danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:38 Mo 24.04.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Stray!
Die Stammfunktion von [mm] $\bruch{1}{x^2}$ [/mm] ist noch nicht richtig.
Hier musst Du zunächst umschreiben in [mm] $x^{-2}$ [/mm] und mit der  Potenzregel integrieren.
Bei der Stammfunktion von [mm] $\bruch{1}{x^3}$ [/mm] hast Du es ja genauso gemacht (übrigens kann bei der entsprechenden Stammfunktion von Dir noch gekürzt werden).
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:04 Mo 24.04.2006 | | Autor: | stray |
In meinen Beispielen steht die Umwandlung so:
[mm] \integral \bruch {1}{x^2} [/mm] => [mm] ln|x^2|
[/mm]
von daher lass ich es nun so, wenns schon im Skript steht.
Vielen Dank nochmal
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:15 Mo 24.04.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo stray!
> In meinen Beispielen steht die Umwandlung so: [mm]\integral \bruch {1}{x^2}[/mm] => [mm]ln|x^2|[/mm]
![[eek]](/images/smileys/eek.gif "[eek]") Das ist aber definitiv FALSCH! Die zugehörige Stammfunktion lautet:
[mm] [quote]$\integral{\bruch{1}{x^2} \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \integral{x^{-2} \ dx} [/mm] \ = \ [mm] -x^{-1} [/mm] + C \ = \ [mm] -\bruch{1}{x}+C$[/quote]
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:37 Mi 03.05.2006 | | Autor: | Herby |
... das ist falsch!
Liebe Grüße
Herby
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> A+C = -1; C = -2; A = 1; A+D=1; D= 0; B=-1;B+E= 1; E=1;
Wenn bei dir B+E=1 ist mit B=-1 wieso bekommst du dann E=1 heraus?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:36 Mi 03.05.2006 | | Autor: | Herby |
Hallo Dipl.Ing.,
und herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> > A+C = -1; C = -2; A = 1; A+D=1; D= 0; B=-1;B+E= 1; E=1;
>
> Wenn bei dir B+E=1 ist mit B=-1 wieso bekommst du dann E=1
> heraus?
schau dir den Artikel von stray nochmal an - er hat sich da sicher verschrieben.
Die dritte Potenz kommt gar nicht vor, daher muss [mm] B+E=\red{0} [/mm] sein und somit [mm] E=\blue{1}
[/mm]
Liebe Grüße
Herby
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:57 Fr 21.04.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo stray!
Bei Aufgabe 1 solltest Du zunächst eine Polynomdivision durchführen, da hier der Zählergrad (echt) größer ist als der Nennergrad:
[mm] $\bruch{x^3 - x^2 + x - 1}{x^2-x} [/mm] \ = \ [mm] x+\bruch{x-1}{x^2-x}$
[/mm]
Und nun sieh Dir den entstandenen Bruch mal genauer an, bevor Du integrierst ... das geht noch deutlich zu vereinfachen.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:36 Sa 22.04.2006 | | Autor: | stray |
| Aufgabe | Bestimmen Sie:
[mm] \integral \bruch{x^3 - x^2 + x - 1}{x^2-x} [/mm] |
Wenn also:
[mm] $\bruch{x^3 - x^2 + x - 1}{x^2-x} [/mm] \ = \ [mm] x+\bruch{x-1}{x^2-x}$
[/mm]
dann vereinfachbar auf:
x + [mm] \bruch{1}{x} [/mm]
[mm] \integral_{ }^{ }{x + \bruch{1}{x} dx}
[/mm]
Lösung ist dann => [mm] \bruch{1}{2}x^2 [/mm] + ln |x| + C
Oder ?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:38 Sa 22.04.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo stray!
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Stimmt so!
Gruß
Loddar
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![[]](/images/popup.gif){kind=small}
Partialbruchzerlegung![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Das stimmt nicht!
