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Bestimmung von Matritzen: Aufg. 3.3
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:46 So 12.11.2006
Autor: diego

Aufgabe
Bestimmen Sie alle Matrizen A [mm] \in M_{22} (\IR), [/mm] für die
A ( 1  1 )  =  ( 1  1 ) A
   ( 0  1 )      ( 0  1 )       gilt.

Hallo,

ich verstehe eigentlich überhaupt nicht was ich machen soll.

Ich hab versucht mir ein Beispiel zu überlegen, in dem es nicht klappt.
Hatte erst überlegt, in der ersten Zeile die beiden Werte zu vertauschenaber wenn ich jetzt in der ersten Zeile von A (1  -1) und bei A' (-1  1) nehme, dann erhalte ich zwar bei beiden auf [mm] x_{11} [/mm] 0 aber bei
[mm] x_{21} [/mm] für A -1 und für A' 1.

Gruß Yvonne

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.


        
Bezug
Bestimmung von Matritzen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:18 So 12.11.2006
Autor: Sashman

Moin Yvonne!

Also ich hab das so gemacht:

[mm] $A*\pmat{1&1\\0&1}=\pmat{1&1\\0&1}A$ [/mm]

[mm] \gdw [/mm]

[mm] $\pmat{a_{11}&a_{11}+a_{12}\\a_{21}&a_{22}}=\pmat{a_{11}+a_{21}&a_{12}+a_{22}\\a_{21}&a_{22}}$ [/mm]

danach vergleichen wir die Einträge die an den entsprechenden Stellen gleich sein müssen.

[mm] $a_{11}=a_{11}+a_{21}\Rightarrow a_{21}=0$ [/mm]

und tragen das in eine neue Matrix ein

[mm] \Rightarrow [/mm]

[mm] $\pmat{a_{11}&a_{11}+a_{12}\\0&a_{22}}=\pmat{a_{11}&a_{12}+a_{22}\\0&a_{22}}$ [/mm]

nun das wiederholst du geeignet ( Rechts oben is klasse :-) )
und ersetzt wie im ersten Schritt die entsprechenden Mattrixelemente.

komme letzten Endes auf [mm] $A=\pmat{a_{11}&a_{12}+a_{11}\\0&a_{11}}$ [/mm]

lasse die Frage mal als teilweise beantwortet stehen, falls jemand einen praktischeren Lösungsweg ( Gott sei Dank wars ja nur ne [mm] 2\times [/mm] 2 Matrix)
für uns hat. Die Lösung wurde aber überprüft und stimmt soweit.

MfG
Sashman


PS: Kann wohl etwas dauern bis du die Formeln lesen kannst iss ja mächtig was los hier im Raum. Konnte deshalb auch nicht prüfen ob die Indizes so stimmen.

Bezug
                
Bezug
Bestimmung von Matritzen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:31 So 12.11.2006
Autor: diego

Danke für die Antwort, die anderen zwei kann ich leider immer noch nicht lesen...
Kann deinen Weg so weit nachvollziehen, die Frage ist nur wie kommst du auf die äquivalente Aussage? Bzw. auf oben rechts? Das versteh ich noch nicht.



Bezug
                        
Bezug
Bestimmung von Matritzen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:50 Mo 13.11.2006
Autor: angela.h.b.


>  Kann deinen Weg so weit nachvollziehen, die Frage ist nur
> wie kommst du auf die äquivalente Aussage?

Hallo,

meinst Du das:


[mm] >A\cdot{}\pmat{1&1\\0&1}=\pmat{1&1\\0&1}A [/mm]

><==>

[mm] >\pmat{a_{11}&a_{11}+a_{12}\\a_{21}&a_{22}}=\pmat{a_{11}+a_{21}&a_{12}+a_{22}\\a_{21}&a_{22}} [/mm]

Das stimmt nämlich nicht, da ist etwas verlorengengangen. Es muß heißen

[mm] \pmat{a_{11}&a_{11}+a_{12}\\a_{21}&a_{21}+a_{22}}=\pmat{a_{11}+a_{21}&a_{12}+a_{22}\\a_{21}&a_{22}} [/mm]

Der Vergleich der vier Matrixpositionen ergibt das Ergebnis.

Gruß v. Angela

Bezug
        
Bezug
Bestimmung von Matritzen: vervollständigt
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:03 So 12.11.2006
Autor: Sashman

So hab mal einen anderen Weg ausprobiert. Der kommt zwar auch nicht ohne "Eintragsvergleich" aus aber:

Sei vorübergehend [mm] $S=\pmat{1&1\\0&1}$ [/mm] da S invertierbar ist gilt folgendes

$A*S=S*A$   [mm] $\gdw$ $S^{-1}*A*S=S^{-1}*S*A=A$ [/mm]

so dann mußt du nur das produkt auf der linken Seite ausrechnen, was zu:

[mm] $A=\pmat{q_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}}=\pmat{a_{11}-a_{21}&a_{11}+a_{12}-a_{21}-a_{22}\\a_{21}&a_{21}+a_{22}} [/mm] $

führt. Aus dem "Eintragsvergleich" ergibt sich sofort:

[mm] $a_{21}=0$ $a_{11}+a_{12}-a_{21}-a_{22}=a_{11}+a_{12}-a_{22}=a_{12}\to a_{11}=a_{22}$ [/mm]

Was uns zu [mm] $A=\pmat{a_{11}&a_{12}\\0&a_{11}}$ [/mm] führt.

Denke das dürfte nicht anders gehen nur scheint mir dieser Weg "mathematischer"

MfG
Sashman

Bezug
                
Bezug
Bestimmung von Matritzen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:53 Mo 13.11.2006
Autor: angela.h.b.


> Denke das dürfte nicht anders gehen nur scheint mir dieser
> Weg "mathematischer"

Hallo,

nein, ich sehe nichts, was "mathematischer" ist.
Ich finde diesen Weg nachteiliger, weiler einem mehr Mühe macht. Man muß ja erst noch das Inverse ausrechnen.

Gruß v. Angela

Bezug
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