Bestimmung von Pyramidenspitze < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:27 Fr 15.05.2009 | | Autor: | steffnnn |
| Aufgabe | Das Parallelogramm OABC sei nun die Grundfläche einer vierseitigen Pyramide, deren Spitze S auf der positiven [mm] x_{3}-Achse [/mm] liegt.
Bestimmen sie die Koordinaten des Punktes S so, dass die Pyramide OABCS den Rauminhalt [mm] \bruch{50}{3} [/mm] besitzt. |
So lautet eine Teilaufgabe aus dem GK-Abitur Bayern 2009, Analytische Geometrie V. Ich komme jedoch nicht weiter.
A(-3|4|0), B(-5|5|2), C(-2|1|2) sowie O liegen auf einer Ebene:
[mm] 8x_{1}+6x_{2}+5x_{3}=0
[/mm]
Der Flächeninhalt OABC beträgt [mm] 5\wurzel{5}. [/mm] So habe ich zuerst die Höhe h bestimmt:
[mm] V=\bruch{1}{3}*G*h
[/mm]
[mm] \bruch{50}{3}=\bruch{1}{3}*5\wurzel{5}*h
[/mm]
[mm] h=\bruch{50}{3}*3*\bruch{1}{5\wurzel{5}}=2\wurzel{5}
[/mm]
Damit und mithilfe der Ebene wollte ich über [mm] \vec{n^{0}} [/mm] weiterrechnen. Ich habe aber eben gemerkt dass in der Angabe nichts davon steht, dass der Fußpunkt im Lot zur Ebene steht (Jetzt weiß ich zumindest warum ich gestern zwar Ergebnisse, aber keine realistischen, herausbekam...).
Ich stehe bei der Aufgabe so richtig auf dem Schlauch. Ich bin für Tipps sehr dankbar!
Der Vollständigkeit halbe: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Edit: So, ich bin nun selbst auf eine Lösung gekommen.Wichtig ist der Teil "deren Spitze S auf der positiven [mm] x_{3}-Achse [/mm] liegt." Ich habe wohl immer gelesen "deren [mm] x_{3}-Abschnitt [/mm] positiv ist." Aber so wird die Aufgabe natürlich klar. [mm] x_{3}-Achse [/mm] heißt ja, [mm] x_{1}=x_{2}=0. [/mm]
Aus der NNF ergibt sich:
[mm] \bruch{1}{5\wurzel{5}}*(8x_{1}+6x_{2}+5x_{3})=0
[/mm]
und somit
[mm] d(E;S)=\bruch{1}{5\wurzel{5}}*(8s_{1}+6s_{2}+5s_{3})=2\wurzel{5}
[/mm]
bzw für [mm] s_{1}=s_{2}=0
[/mm]
[mm] \bruch{1}{5\wurzel{5}}*(5s_{3})=2\wurzel{5}
[/mm]
[mm] s_{3}=10
[/mm]
=> S(0|0|10)
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Hallo,
ist O der Ursprung (0,0,0)?
Grüße
mathestudent
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Hallo mathestudent,
> Hallo,
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> ist O der Ursprung (0,0,0)?
Ja.
>
> Grüße
>
> mathestudent
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:12 Fr 15.05.2009 | | Autor: | weduwe |
ich hätte das spatprodukt verwendet 
[mm]V=\frac{1}{3}|(\overrightarrow{OA}\times\overrightarrow{OC})\cdot\vektor{0\\0\\z}|=\frac{50}{3}\to z = 10 > 0[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:17 Fr 15.05.2009 | | Autor: | steffnnn |
Spatprodukt kannte ich bisher nicht. Das ist aber eine interessante Lösungsmöglichkeit. Ich werde es mir merken, dankesehr!
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Noch ein Tipp zum Tipp. Berechne die Determinante der Matrix, die das Spatprodukt aufspannt. Das geht schneller als sich mit dem Kreuzprodukt herumzuschalgen.
Gruß
Mathestudent
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:46 Fr 15.05.2009 | | Autor: | weduwe |
> Noch ein Tipp zum Tipp. Berechne die Determinante der
> Matrix, die das Spatprodukt aufspannt. Das geht schneller
> als sich mit dem Kreuzprodukt herumzuschalgen.
>
> Gruß
>
> Mathestudent
das ist doch dasselbe
und im konkreten fall benötige ich nur die z-komponente des vektorproduktes
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