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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:13 Sa 06.10.2007 | | Autor: | Schalk |
| Aufgabe | Begründen Sie genau, warum für a [mm] \in \IR [/mm] die folgenden Aussagen gelten:
1) |-a| = |a|
2) [mm] |a|^{2} [/mm] = [mm] a^{2}
[/mm]
3) a < |a| [mm] \gdw [/mm] a<0
4) Bestimmen Sie die Menge aller x [mm] \in \IR \backslash [/mm] {2}, für die
[mm] \bruch{1}{|x-2|}>\bruch{1}{1+|x-1|} [/mm] gilt. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Meine Aufzeichnungen dazu sind:
1) 1. Fall: [mm] a\ge [/mm] 0
|-a| = |(-1) * a| = |(-1)| * |a| = 1 * |a| = |a|
2. Fall: a<0
|-a| = |a|, da a<0 ist, heben sich die beiden negativen Vorzeichen gegenseitig auf, so dass nur noch a übrig bleibt.
2) 1. Fall: [mm] a\ge [/mm] 0
[mm] |a|^{2} [/mm] = |a| * |a| = a * a = [mm] a^{2}
[/mm]
2. Fall: a<0
[mm] |a|^{2} [/mm] = |a| * |a| = (-a) * (-a) = a * a (da a<0) = [mm] a^{2}
[/mm]
3) 1. Fall: [mm] a\ge [/mm] 0
a<|a| = a<a Dies ergibt einen Widerspruch, so dass [mm] a\ge [/mm] 0 gar nicht möglich ist.
2. Fall: a<0
Dann gilt a<|a|, d. h. a<-a. Da a<0 stimmt diese Ungleichung. q. e. d.
4)
[mm] \bruch{1}{|x-2|}>\bruch{1}{1+|x-1|}
[/mm]
1+|x-1| > |x-2|
|x-1| - |x-2| > -1
1. Fall: x [mm] \ge [/mm] 2
(x-1) - (x-2) > -1 (Da x [mm] \ge [/mm] 2 sind die Beträge auch in jedem Fall positiv)
x-1 -x +2 >-1
1>-1
Das bedeutet, dass für jedes x [mm] \ge [/mm] 2 die genannte Ungleichung erfüllt ist.
2. Fall: [mm] 1\le [/mm] x < 2
x - 1 - ( - ( x - 2 ) ) > - 1 (Da x zwischen 1 und 2 liegt, kann der erste Betrag weggelassen werden. Denn eine Zahl größer als 1 minus 1 ist immer positiv. Hingegen ist jedoch eine Zahl kleiner als 2 minus 2 immer negativ. Daher ist gemäß der Def des Betrags ein Minus vorzuschreiben.
x - 1 + x -2 > - 1
2x -3 > -1
x > 1
3. Fall: x<1
- (x - 1) - (- (x - 2)) > -1 (Ist nun x<1, so sind die Beträge negativ und müssen somit mit einem - voran geschrieben werden.
- x +1+x-2 >-1
-1>-1
Somit gilt für alle x>1 genannte Ungleichung.
Da in der Aufgabe "bestimmen" steht, ist für mich die Frage, ob dieser "Beweis" ausreicht.
Vielen Dank für Eure Hilfe!
Schalk
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:08 Sa 06.10.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo,
> Begründen Sie genau, warum für a [mm]\in \IR[/mm] die folgenden
> Aussagen gelten:
>
> 1) |-a| = |a|
> 2) [mm]|a|^{2}[/mm] = [mm]a^{2}[/mm]
> 3) a < |a| [mm]\gdw[/mm] a<0
> 4) Bestimmen Sie die Menge aller x [mm]\in \IR \backslash[/mm] {2},
> für die
>
> [mm]\bruch{1}{|x-2|}>\bruch{1}{1+|x-1|}[/mm] gilt.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Meine Aufzeichnungen dazu sind:
>
> 1) 1. Fall: [mm]a\ge[/mm] 0
lieber weglassen...
>
> |-a| = |(-1) * a| = |(-1)| * |a| = 1 * |a| = |a|
das ist korrekt und reicht aus. Eine Fallunterscheidung ist überflüssig.
>
> 2. Fall: a<0
>
> |-a| = |a|, da a<0 ist, heben sich die beiden negativen
> Vorzeichen gegenseitig auf, so dass nur noch a übrig
> bleibt.
Die Begründung ist nicht verständlich. a soll ja hier eine negative Zahl sein. Dann ist -a positiv, aber a immer noch negativ...
Es spielt aber keine Rolle, weil ohnhin überflüssig.
> 2) 1. Fall: [mm]a\ge[/mm] 0
>
> [mm]|a|^{2}[/mm] = |a| * |a| = a * a = [mm]a^{2}[/mm]
>
> 2. Fall: a<0
>
> [mm]|a|^{2}[/mm] = |a| * |a| = (-a) * (-a) = a * a (da a<0) = [mm]a^{2}[/mm]
gut.
> 3) 1. Fall: [mm]a\ge[/mm] 0
>
> a<|a| = a<a Dies ergibt einen Widerspruch, so dass [mm]a\ge[/mm] 0
> gar nicht möglich ist.
>
> 2. Fall: a<0
>
> Dann gilt a<|a|, d. h. a<-a. Da a<0 stimmt diese Ungleichung. q. e. d.
das ist zwar nicht falsch, aber wenig aufschlussreich.
Die Fallunterscheidung sieht etwas mechanisch aus. Du hast hier keine Gleichung sondern eine Äquivalenz zu beweisen. Das macht man, indem man sich zuerst die linke Seite als Voraussetzung nimmt und dann die Gültigkeit der rechten Seite zeigt und schließlich umgekehrt die rechte Seite als Voraussetzung nimmt und damit die Gültigkeit der linken Seite zeigt.
Das machen wir hier über einen Widerspruchsbeweis:
Es gelte a < |a|. Angenommen $a [mm] \geq [/mm] 0.$ Dann folgt a < a. Dies ist ein Widerspruch, also war unsere Annahme falsch und es gilt a < 0.
Jetzt umgekehrt:
Es gelte a < 0. Dann folgt $a < 0 [mm] \leq [/mm] |a|$ und damit die Behauptung.
> 4)
>
> [mm]\bruch{1}{|x-2|}>\bruch{1}{1+|x-1|}[/mm]
> 1+|x-1| > |x-2|
Hier würde ich noch kurz erwähnen, daß diese Multiplikation nicht zu einer Veränderung des Ungleichzeichens führt, weil die Positivität der Nenner unter der Voraussetzung $x [mm] \neq [/mm] 2$ gesichert ist.
> |x-1| - |x-2| > -1
>
> 1. Fall: x [mm]\ge[/mm] 2
>
> (x-1) - (x-2) > -1 (Da x [mm]\ge[/mm] 2 sind die Beträge auch in
> jedem Fall positiv)
> x-1 -x +2 >-1
> 1>-1
>
> Das bedeutet, dass für jedes x [mm]\ge[/mm] 2 die genannte
> Ungleichung erfüllt ist.
>
> 2. Fall: [mm]1\le[/mm] x < 2
>
> x - 1 - ( - ( x - 2 ) ) > - 1 (Da x zwischen 1 und 2
> liegt, kann der erste Betrag weggelassen werden. Denn eine
> Zahl größer als 1 minus 1 ist immer positiv. Hingegen ist
> jedoch eine Zahl kleiner als 2 minus 2 immer negativ. Daher
> ist gemäß der Def des Betrags ein Minus vorzuschreiben.
> x - 1 + x -2 > - 1
> 2x -3 > -1
> x > 1
>
> 3. Fall: x<1
>
> - (x - 1) - (- (x - 2)) > -1 (Ist nun x<1, so sind die
> Beträge negativ und müssen somit mit einem - voran
> geschrieben werden.
> - x +1+x-2 >-1
> -1>-1
>
> Somit gilt für alle x>1 genannte Ungleichung.
außer natürlich für x=2.
Das hast du gut gemacht!
> Da in der Aufgabe "bestimmen" steht, ist für mich die
> Frage, ob dieser "Beweis" ausreicht.
Ich würde es nicht "Beweis" nennen, sondern Lösen einer Ungleichung mit Beträgen.
Und das reicht völlig!
Gruß
Will
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