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Forum "Uni-Analysis-Komplexe Zahlen" - Betrag bestimmen
Betrag bestimmen < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Betrag bestimmen: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:02 So 15.03.2015
Autor: needmath

Aufgabe
ich bestimme ich den Betrag folgender komplexer Zahl

z = [mm] \bruch{R}{1+jwRC} [/mm]

R, w und C sind reelle Zahlen

Lösung: |z| = [mm] R/sqrt(1+(wRC)^2) [/mm]

ich weiß das folgendes gilt

|z| = [mm] \wurzel{Re^2+Im^2} [/mm]

aber ich weiß nicht was hier der real- und Imaginärteil ist.

muss ich hier sowohl den Zähler als auch Nenner in die Polarform bringen und dann kann ich den bruch so zusammenfassen, dass ich kein bruch mehr habe (wie nennt man sowas dann? irrationale Zahl? bitte diese frage auch beantworten )


z = [mm] \bruch{R}{1+jwRC} [/mm] = [mm] \bruch{R*e^0}{\wurzel{1+(wRC)^2}e^{arctan(wRC)}}=\bruch{R}{\wurzel{1+(wRC)^2}}e^{-arctan(wRC)} [/mm]


ich würde jetzt die euler formel benutzen

[mm] e^{jx} [/mm] = cos(x)+jsin(x)

darus folgt dann

z = [mm] \bruch{R}{\wurzel{1+(wRC)^2}}*(cos(-arctan(wRC)) [/mm] + j*sin(-arctan(wRC)))


ist das soweit richtig? wie kommt man auf die oben genannte Lösung?

da wurde quasi der teil mit sinus und cosinus weggelassen, wieso?






        
Bezug
Betrag bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:28 So 15.03.2015
Autor: rmix22


> ich bestimme ich den Betrag folgender komplexer Zahl
>  
> z = [mm]\bruch{R}{1+jwRC}[/mm]
>  
> R, w und C sind reelle Zahlen
>  
> Lösung: |z| = [mm]R/sqrt(1+(wRC)^2)[/mm]
>  ich weiß das folgendes gilt
>  
> |z| = [mm]\wurzel{Re^2+Im^2}[/mm]
>  
> aber ich weiß nicht was hier der real- und Imaginärteil
> ist.
>  
> muss ich hier sowohl den Zähler als auch Nenner in die
> Polarform bringen und dann kann ich den bruch so
> zusammenfassen, dass ich kein bruch mehr habe (wie nennt
> man sowas dann? irrationale Zahl? bitte diese frage auch
> beantworten )
>  
>
> z = [mm]\bruch{R}{1+jwRC}[/mm] =
> [mm]\bruch{R*e^0}{\wurzel{1+(wRC)^2}e^{arctan(wRC)}}=\bruch{R}{\wurzel{1+(wRC)^2}}e^{-arctan(wRC)}[/mm]
>  
>
> ich würde jetzt die euler formel benutzen
>  
> [mm]e^{jx}[/mm] = cos(x)+jsin(x)
>  
> darus folgt dann
>  
> z = [mm]\bruch{R}{\wurzel{1+(wRC)^2}}*(cos(-arctan(wRC))[/mm] +
> j*sin(-arctan(wRC)))
>  
>
> ist das soweit richtig? wie kommt man auf die oben genannte
> Lösung?
>  
> da wurde quasi der teil mit sinus und cosinus weggelassen,
> wieso?
>  

Man kann es sicher auch ganz kompliziert und aufwändig rechnen, aber vielleicht hilft dir Folgendes weiter:

Mit  [mm] $z=\br{z_1}{z_2}$ [/mm] gilt [mm] $|z|=\br{|z_1|}{|z_2|}$ [/mm]

Gruß RMix


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