Betrag einer komplexen Zahl... < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:08 Do 20.04.2006 | | Autor: | JuliaF |
| Aufgabe | Es sei j eine komplexe Wurzel des Polynoms f = [mm] t^2 [/mm] + t +1 [mm]\in \IZ[/mm][t], K=IQ(j) und R=IZ(j). Zeigen Sie:
(a) Für alle x=u + vj [mm] \in \IQ [/mm] (j) gilt
[mm] |x|^2 [/mm] = x [mm] \overline {x}[/mm] = [mm] u^2 [/mm] - uv + [mm] v^2 [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Bei dieser Aufgabe verstehe ich die Funktion von j nicht so ganz. Ich habe veruscht x [mm] \overline {x}[/mm] auszurechnen, wobei [mm] \overline {x}[/mm] einfach nur das konjugierte zu x ist, oder? Dann steht da sowas wie [mm] u^2 [/mm] + vju - uvj - [mm] v^2 j^2 [/mm] Von hier komm ich jedoch nciht weiter, selbst wenn ich über das Polynom j ausrechne, ergibt sich für j was krummes wie [mm] j=-1/2 \pm \wurzel{-3/4} [/mm]. Kann mir das jemand weiterhelfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:27 Do 20.04.2006 | | Autor: | andreas |
hi
> Es sei j eine komplexe Wurzel des Polynoms f = [mm]t^2[/mm] + t +1
> [mm]\in \IZ[/mm][t], K=IQ(j) und R=IZ(j). Zeigen Sie:
> (a) Für alle x=u + vj [mm]\in \IQ[/mm] (j) gilt
> [mm]|x|^2[/mm] = x [mm]\overline {x}[/mm] = [mm]u^2[/mm] - uv + [mm]v^2[/mm]
> Bei dieser Aufgabe verstehe ich die Funktion von j nicht so ganz. Ich habe veruscht x [mm]\overline {x}[/mm] auszurechnen, wobei [mm]\overline {x}[/mm] einfach nur das konjugierte zu x ist, oder?
genau. hierbei ist aber $u, v [mm] \in \mathbb{Q}$, [/mm] bei diesen zahlen ändert sich beim konjugieren also nichts, es ergibt sich damit für [mm] $\overline{x} [/mm] = [mm] \overline{u + vj} [/mm] = [mm] \uverline{u} [/mm] + [mm] \overline{v}\overline{j} [/mm] = u + [mm] v\overline{j}$ [/mm] nach bekannten rechenregeln für die komplexe konjugation.
> Dann steht da sowas wie [mm]u^2[/mm] + vju - uvj - [mm]v^2 j^2[/mm]
rechen das nocmla nach, ich denke du hast hier $j = [mm] \overline{j}$ [/mm] verwendet, was aber nicht richtig ist. wenn du das getan hast solltest du einen ausdruck erhalten, in dem so etwas wie $j + [mm] \overline{j} \; [/mm] (= 2 [mm] \textrm{Re}\, [/mm] j)$ und [mm] $j\overlien{j} \; (=|j|^2)$ [/mm] vorkommt. dies größen kannst du aber mit den nullstellen, die du ausgerechnet hast angeben und diese größen sind auch unabhängig davon welche der beiden nullstellen du wählst. setzt du die werte dafür ein so solltest du genau das gewünschte erhalten.
probiere das mal, wenn du dich weiterkommst kannst du gerne nochmal nachfragen
grüße
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 Do 20.04.2006 | | Autor: | JuliaF |
Vielen vielen Dank, ich hab mir das j immer als i gedacht gehabt, aber im endeffekt ist es ja nur wieder eine komplexe Zahl.... was ja schon sei j eine komplexe Wurzel besagt... nun hab ichs hinbekommen. War ja gar nicht mal so schwer...
ich habs leider als frage geschrieben und kann das nciht mehr ändern :( und auch nicht löschen :(
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