Betragsfunktion differentieren < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:03 Sa 20.07.2013 | | Autor: | Boje |
| Aufgabe | Differenzieren Sie folgende Funktion (für Kurvendiskussion):
y = x * ln |x| |
Hallo,
für eine Kurvendiskussionen soll obige Funktion differenziert werden.
x * ln |x| kann ich ja mit der Produktregel differenzieren, aber wie differenziere ich den Betrag x? Mit der Kettenregel oder Fallunterscheidung?
Gruß,
Boje
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Boje,
> Differenzieren Sie folgende Funktion (für
> Kurvendiskussion):
>
> y = x * ln |x|
> Hallo,
>
> für eine Kurvendiskussionen soll obige Funktion
> differenziert werden.
> x * ln |x| kann ich ja mit der Produktregel differenzieren,
> aber wie differenziere ich den Betrag x? Mit der
> Kettenregel oder Fallunterscheidung?
Ja, für die Kurvendiskussion bietet sich hier eine Fallunterscheidung an. Der kritische Punkt ist ja hier auch eindeutig der Nullpunkt.
Interessant ist in diesem Fall auch der Grenzwert [mm] x\to{0}.
[/mm]
Nach der Fallunterscheidung kannst du dann immer noch schauen, ob denn nicht die beiden Ableitungen der entsprechenden Intervall gleich sind. Inbesondere ist ja auch die Stetigkeit im Nullpunkt interessant.
Der Betrag wurde auch wegen dem Definitionsbereich von der Logarithmusfunktion gesetzt.
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>
> Gruß,
> Boje
>
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 04:45 So 21.07.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Richie,
> Hallo Boje,
>
> > Differenzieren Sie folgende Funktion (für
> > Kurvendiskussion):
> >
> > y = x * ln |x|
> > Hallo,
> >
> > für eine Kurvendiskussionen soll obige Funktion
> > differenziert werden.
> > x * ln |x| kann ich ja mit der Produktregel differenzieren,
> > aber wie differenziere ich den Betrag x? Mit der
> > Kettenregel oder Fallunterscheidung?
> Ja, für die Kurvendiskussion bietet sich hier eine
> Fallunterscheidung an. Der kritische Punkt ist ja hier auch
> eindeutig der Nullpunkt.
der ist überhaupt nicht kritisch, da die Funktion an der Stelle [mm] $x_0=0$ [/mm] gar nicht
definiert ist!! (Nebenbei kann man generell auch mal den "Sprachgebrauch"
hier kritisieren: ![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Kritischer_Punkt_%28Mathematik%29
oder auch - hier abwegig(er): https://de.wikipedia.org/wiki/Kritischer_Punkt_%28Thermodynamik%29;
wenn jemand, bei einer Stelle [mm] $x_0,$ [/mm] wo gewisse Eigenschaften der Funktion
"speziell zum Tragen" kommen, diese benennen will, dann vielleicht
wenigstens in Anführungszeichen, also "kritischer Punkt". Oder man
sagt direkt sowas wie "kritische Stelle"... aber da sind wir wieder bei dem,
was die Lehrer dennoch jahrelang weiter in der Schule verbeiten werden,
ebenso wie sowas wie "eine stetige Funktion erkennt man genau daran,
dass ihr Graph, ohne den Stift abzusetzen, gezeichnet werden kann"
(Folgen sind übrigens IMMER stetig - na dann, liebe Lehrer, legt mal los!)
oder solche "neuerfundenen Wörter" wie "aufleiten, Aufleitung..."
(Die man auf universitärem Niveau übrigens nicht ohne Grund komplett
ablehnt!!)
> Interessant ist in diesem Fall auch der Grenzwert
> [mm]x\to{0}.[/mm]
Man könnte sich hier die Frage stellen:
1. Ist die Funktion an der Stelle [mm] $x_0=0$ [/mm] stetig ergänzbar?
2. Falls 1. mit "Ja" beantwortet werden kann: Ist die Funktion an der Stelle
[mm] $x_0=0$ [/mm] sogar diff'bar ergänzbar!
> Nach der Fallunterscheidung kannst du dann immer noch
> schauen, ob denn nicht die beiden Ableitungen der
> entsprechenden Intervall gleich sind.
?? Das ist auch - erstmal - vollkommen egal:
[mm] $f(x)=x*\ln(|x|)$ [/mm] ist definitiv diff'bar auf ihrem Definitionsbereich [mm] $\IR \setminus \{0\}\,.$
[/mm]
Natürlich gilt
[mm] $f\,'(x)=\ln(x)+x*\frac{1}{x}=\ln(x)+1$ [/mm] für $x > 0$
und auch
[mm] $f\,'(x)=\ln(-x)+x*\frac{1}{-x}*(-1)=\ln(-x)+1$ [/mm] für $x < [mm] 0\,.$
[/mm]
Damit wissen wir aber auch noch nicht viel:
Wir wüßten nur, dass, wenn [mm] $f\,$ [/mm] an der Stelle [mm] $0\,$ [/mm] sogar diff'bar wäre,
sicherlich [mm] $f\,'$ [/mm] unstetig an der Stelle [mm] $0\,$ [/mm] sein müßte.
Jetzt kann es natürlich sein, dass es einen Satz gibt:
"Falls [mm] $f\,$ [/mm] an der Stelle [mm] $x_0$ [/mm] diff'bar ist und [mm] $f\,'$ [/mm] in einer Umgebung von [mm] $x_0$
[/mm]
existiert, dass dann auch [mm] $f\,'$ [/mm] in einer [mm] $x_0$-Umgebung [/mm] beschränkt ist."
(Das wäre übrigens (fast) trivial, wenn [mm] $f\,'$ [/mm] zudem an [mm] $x_0$ [/mm] STETIG wäre!)
Da ich sowas aber gerade nicht parat habe und um 4.34 Uhr mir auch keine
Gedanken dazu machen will, spekuliere ich erstmal darauf, dass das nicht
gilt oder wenigstens noch unbekannt ist, wenn es gelten sollte... 
> Inbesondere ist ja
> auch die Stetigkeit im Nullpunkt interessant.
An DEFINITIONSLÜCKEN macht es keinen Sinn, zu untersuchen, ob das
STETIGKEITSPUNKTE sind. In der Schule wird das oft falsch gelehrt oder
suggeriert, aber es ist Nonsens, wenn jemand etwa sagt, dass $f(x)=1/x$
unstetig in [mm] $0\,$ [/mm] sei - oder dass [mm] $f(x)=x*\sin(1/x)$ [/mm] unstetig in [mm] $0\,$ [/mm] sei...
http://www.math.uni-trier.de/~mueller/AnalysisI-IV.pdf, Definition 10.2
$f [mm] \colon [/mm] M [mm] \to [/mm] Y$
[mm] $f\,$ [/mm] heißt stetig in [mm] $x_0 \red{\in M},$ [/mm] wenn...
Gruß,
Marcel
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(Korrektur) oberflächlich richtig  | | Datum: | 06:38 So 21.07.2013 | | Autor: | Richie1401 |
Hallo Marcel,
auf Grund der Fülle deiner Korrektor werde ich nicht meinen Artikel entsprechend ändern. Das wäre wohl kontrproduktiv. Dennoch danke für deine Mitteilung, Ergänzung, Berichtigung,...
Die Aufregung wegen der Verwendung von "kritischen Punkt" finde ich persönlich zwar in gewissen Maß Haarspalterei, aber akzeptiert. Bitte sei mir nicht böse deswegen. Ich bin mir sicher, dass im täglichcen Sprachgebrauch mündlich solche Sachen oft erzählt werden; hier im Forum aber das geschriebene exakte Wort allerdings notwendig ist. Ich werde versuchen mich zu bessern. Pardon.
Über die weitere Kritik stimme ich dir (leider - wer gibt schon gerne Fehler zu? ) zu.
Schönen Sonntag!
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Bekanntermaßen (?) besitzt die Funktion
[mm]f(x) = \ln |x|, \ x \neq 0[/mm]
die Ableitung
[mm]f'(x) = \frac{1}{x}[/mm]
und zwar für alle [mm]x \neq 0[/mm]. Das bekommt man zum Beispiel bei der Integration von [mm]\frac{1}{x}[/mm] mit.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:43 Sa 20.07.2013 | | Autor: | Boje |
Vielen Dank für eure Antworten.
Habe gesagt bekommen, dass sich Betragsfunktionen wohl ähnlich vereinfachen lassen wie Wurzelfunktion z.B. mit (^0,5).
Ist dies auch bei obiger Funktion möglich?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:53 Sa 20.07.2013 | | Autor: | Richie1401 |
Hi,
> |5x-x²|
> Vielen Dank für eure Antworten.
>
> Habe gesagt bekommen, dass sich Betragsfunktionen wohl
> ähnlich vereinfachen lassen wie Wurzelfunktion z.B. mit
> (^0,5).
Was meinst du denn mit vereinfachen???
>
> Ist dies auch bei obiger Funktion möglich?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:09 So 21.07.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
Nein [mm] x^{1/2}=\wurzel{x} [/mm] wobei die Wurzel eher eine veraltete Schreibweise ist, aber das ist keine Vereinfachung. bie Beträgen muss man eben Fallunterscheidungen machen.
sollst du das differenzieren, oder nach differenzierbarkeit überprüfen?
bitte für neue Aufgabe auch neuen thread
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:13 So 21.07.2013 | | Autor: | Boje |
Ich möchte gerne wissen, wie man diese Betragsfunktion differenziert bzw. wie man vorzugehen hat.
Brauche ich dafür einen neuen Thread?
Gruß,
Boje
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Hallo Boje,
> Ich möchte gerne wissen, wie man diese Betragsfunktion
> differenziert bzw. wie man vorzugehen hat.
> Brauche ich dafür einen neuen Thread?
Eigentlich schon, da es eine neue Funktion ist ..
Beachte das einfach beim nächsten Mal ...
Hier kommst du wieder mit einer Fallunterscheidung weiter.
Suche die kritischen Stellen.
Dort wird die Funktion wieder nicht diffbar sein, an allen anderen Stellen schon.
Schreibe dazu nach dem Auffinden der kritischen Stellen die Funktion für die entsprechenden Intervalle betragfrei, dann kannst du mit den bekannten Ableitungsregeln arbeiten ...
>
> Gruß,
> Boje
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:50 Mo 22.07.2013 | | Autor: | Boje |
> Eigentlich schon, da es eine neue Funktion ist ..
Sorry, werde in Zukunft einen neuen Thread erstellen.
> Hier kommst du wieder mit einer Fallunterscheidung weiter.
>
> Suche die kritischen Stellen.
>
> Dort wird die Funktion wieder nicht diffbar sein, an allen
> anderen Stellen schon.
>
> Schreibe dazu nach dem Auffinden der kritischen Stellen die
> Funktion für die entsprechenden Intervalle betragfrei,
> dann kannst du mit den bekannten Ableitungsregeln arbeiten
> ...
Danke, hast mir sehr geholfen!
Gruß,
Boje
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:02 Mo 22.07.2013 | | Autor: | Marcel |
Hi,
> Ich möchte gerne wissen, wie man diese Betragsfunktion
> differenziert bzw. wie man vorzugehen hat.
> Brauche ich dafür einen neuen Thread?
ich sehe das anders wie Schachuzipus: Man kann es auch als Unterteilaufgabe
Deiner Ursprungsfrage sehen, von daher...
Man kann hier übrigens auch erstmal ohne Fallunterscheidung "tricksen":
Betrachten wir
[mm] $g\colon [0,\infty) \to \IR$ [/mm] mit [mm] $g(x):=\sqrt{x}$ ($\forall [/mm] x [mm] \ge [/mm] 0$)
und
$h [mm] \colon \IR \to \IR$ [/mm] mit [mm] $h(x):=x^2$ ($\forall [/mm] x [mm] \in \IR$).
[/mm]
Dann gilt
$|x|=(g [mm] \circ [/mm] h)(x)$ für alle $x [mm] \in \IR\,.$
[/mm]
Weil [mm] $g\,$ [/mm] aber nur auf [mm] $(0,\infty)$ [/mm] diff'bar mit
[mm] $g\,'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ ($\forall [/mm] x > 0$)
ist, können wir erstmal nur sagen: Es gilt nach der Kettenregel für alle $x [mm] \in \IR\red{\; \setminus \{0\}}$
[/mm]
$|x|'=(g [mm] \circ h)\,'(x)=g\,'(h(x))*h\,'(x)=\frac{2x}{2\sqrt{x^2}}=\frac{x}{|x|}\,.$
[/mm]
Daher
[mm] $|x|'=\begin{cases} x/|x|=x/x=1, & \mbox{für } x > 0 \\ x/|x|=x/(-x)=-1, & \mbox{für } x < 0 \end{cases}\,.$
[/mm]
(Okay, hier gibt es dann auch eine Fallunterscheidung!)
Jetzt solltest Du Dir nur noch klarmachen, dass $x [mm] \mapsto [/mm] |x|$ an der Stelle [mm] $x_0=0$
[/mm]
NICHT diff'bar ist!
P.S. Natürlich bekommst Du das gleiche Ergebnis auch, wenn Du $f(x):=|x|$ [mm] ($\forall [/mm] x [mm] \in \IR$)
[/mm]
für die Fälle $x > [mm] 0\,$ [/mm] bzw. $x < [mm] 0\,$ [/mm] separat untersuchst:
Es ist
[mm] $f_{|(0,\infty)}(x)\,'=x\,'=1$ [/mm] für alle $x > 0,$ also [mm] $f_{|(0,\infty)}(x)\,'\equiv [/mm] 1$
und
[mm] $f_{|(-\infty,0)}(x)\,'=(-x)\,'=-1$ [/mm] für alle $x < [mm] 0\,,$ [/mm] also [mm] $f_{|(-\infty,0)}(x)\,'\equiv -\,1\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:53 Mo 22.07.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo
> Nein [mm]x^{1/2}=\wurzel{x}[/mm] wobei die Wurzel eher eine
> veraltete Schreibweise ist,
veraltet???? Seit wann?
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 05:20 So 21.07.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Differenzieren Sie folgende Funktion (für
> Kurvendiskussion):
>
> y = x * ln |x|
> Hallo,
>
> für eine Kurvendiskussionen soll obige Funktion
> differenziert werden.
> x * ln |x| kann ich ja mit der Produktregel differenzieren,
> aber wie differenziere ich den Betrag x? Mit der
> Kettenregel oder Fallunterscheidung?
1. $f(0)$ existiert nicht, denn es ist [mm] $\ln(0)$ [/mm] NICHT DEFINIERT. Damit ist der
maximale Definitionsbereich [mm] $\subseteq \IR$ [/mm] der obigen Funktion erstmal [mm] $\IR \setminus \{0\}\,.$
[/mm]
2. Auf [mm] $f(x)=x*\ln(|x|)$ [/mm] kannst Du die Kettenregel EH NUR an allen Stellen
[mm] $x\,$ [/mm] anwenden, an denen auch $x [mm] \mapsto [/mm] |x|$ differenzierbar ist. (Man lese
mal die Voraussetzungen, die in der Kettenregel stehen.) Damit geht das
dann natürlich:
Für $x [mm] \not=0$ [/mm] gilt
[mm] $f\,'(x)=\ln(|x|)+x*\frac{1}{|x|}*(|x|')\,.$
[/mm]
Und hier gilt nun $|x|'=1$ für $x > [mm] 0\,,$ [/mm] und im Falle $x < 0$ ist [mm] $|x|'=-1\,.$
[/mm]
Beachtest Du, dass für $x < 0$ halt $|x|=-x$ ist, so folgt auf [mm] $\IR \setminus \{0\}$
[/mm]
[mm] $f\,'(x)=\ln(|x|)+1\,.$
[/mm]
Alternativ hätte man das aber auch so machen können:
Es gilt [mm] $f(-x)=-\,f(x)\,$ [/mm] für alle [mm] $x\,,$ [/mm] in denen [mm] $f\,$ [/mm] definiert ist (man sagt
dann auch, dass [mm] $f\,$ [/mm] ungerade sei).
Daraus folgt: Ist [mm] $f\,$ [/mm] diff'bar in [mm] $x_0\,,$ [/mm] so ist [mm] $f\,$ [/mm] auch diff'bar in [mm] $-x_0$ [/mm] mit
[mm] $f\,'(-x_0)=f\,'(x_0)\,.$
[/mm]
(Denn: Nach der Kettenregel folgt
[mm] $f\,'(x)=(-f(-x))\,'=-f\,'(-x)*(-1)\,,$
[/mm]
also [mm] $f\,'(-x)=f\,'(x)$ [/mm] in allen Stellen [mm] $x\,,$ [/mm] in denen [mm] $f\,$ [/mm] diff'bar ist!)
Wegen [mm] $f(x)=x*\ln(x)$ [/mm] für $x > 0$ folgt
[mm] $f\,'(x)=...=\ln(x)+1$ [/mm] für alle $x > 0$
und mit der vorangegangenen Überlegung sodann
[mm] $f\,'(-x)=f\,'(x)=\ln(x)+1$ [/mm] für alle $x > 0,$
also
[mm] $f\,'(x)=f\,'(-x)=\ln(-x)+1$ [/mm] für alle $x [mm] \red{\;<\; 0}\,.$
[/mm]
Was Du nun noch zeigen können wirst:
[mm] $\lim_{x \to 0}f(x):=\lim_{0 \not=x \to 0}f(x)=0\,.$
[/mm]
Daher kann man [mm] $f\,$ [/mm] "durch die Definition $f(0):=0$" an der Stelle [mm] $x_0=0$
[/mm]
stetig ergänzen. Allerdings wird man leicht einsehen, dass damit [mm] $f\,$ [/mm] an
der Stelle [mm] $x_0=0$ [/mm] NICHT diff'bar ergänzt werden kann:
Es gilt nämlich schon für alle $x > 0$ (für die "stetig ergänzte Funktion", die
wir zwar auch [mm] $f\,$ [/mm] nennen, die aber eigentlich einen neuen Namen
verdient hätte!)
[mm] $\frac{f(x)-\overbrace{f(0)}^{\text{Erinnerung: }f(0):=0}}{x-0}=\frac{x*\ln(x)-0}{x}=\ln(x)$
[/mm]
Was passiert nun bei $(0 < )$ $x [mm] \to [/mm] 0$?
Gruß,
Marcel
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