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Betragsungleichung Quadratisch: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:14 Do 22.11.2007
Autor: KoelnerHai

Hallo,
ich komme bei einer Aufgabe nicht weiter.

Welche Menge wird durch die Ungleichung
||x²-2|-1/5| < 2/3
beschrieben?

Bei Betragsungleichungen muss man die Fallunterscheidung machen, aber da auf der linken Seite 2 Betragsstriche sind, weiß ich nicht, wie ich anfangen soll.

Ich hoffe mir kann Jemand weiterhelfen.

Schon einmal danke im voraus.


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Betragsungleichung Quadratisch: mehrere Fallunterscheidungen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:19 Do 22.11.2007
Autor: Roadrunner

Hallo KölnerHai!


Du musst hier mehrere Fallunterscheidungen durchführen.

Fall 1: [mm] $x^2-2 [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ 0$   [mm] $\Rightarrow$ $|x^2-2| [/mm] \ = \ [mm] x^2-2$ [/mm]

Fall 1.1 [mm] $x^2-2-\bruch{1}{5} [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ 0$   [mm] $\Rightarrow$ $\left|x^2-\bruch{11}{5}\right| [/mm] \ = \ [mm] x^2-\bruch{11}{5}$ [/mm]

usw.


Gruß vom
Roadrunner


Bezug
                
Bezug
Betragsungleichung Quadratisch: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:41 Do 22.11.2007
Autor: KoelnerHai

Danke für Deine schnelle Antwort.

Die Anzahl der Fälle ist doch 2 hoch die Anzahl der Beträge, also in meinem Fall dann 4 Fälle,oder?

Jedoch versteh ich den ersten Fall schon nicht, kann ihn nicht so ganz nachvollziehen. Wo kommt die 1 her?


Okay, da steht eine 2, hab mich irgendwie wohl "verlesen" ;-)
Gut, das hab ich verstanden. Jetzt muss ich doch nur noch die beiden Fälle "mit umgedrehtem <" rechnen,oder?

Bezug
                        
Bezug
Betragsungleichung Quadratisch: vertippt
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:57 Do 22.11.2007
Autor: Roadrunner

Hallo KölnerHai!



> also in meinem Fall dann 4 Fälle,oder?

[ok]

  

> Jedoch versteh ich den ersten Fall schon nicht, kann ihn
> nicht so ganz nachvollziehen. Wo kommt die 1 her?

Ups, da habe ich mich vertippt ... ist aber nun oben korrigiert.


Gruß vom
Roadrunner


Bezug
                
Bezug
Betragsungleichung Quadratisch: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:37 Do 22.11.2007
Autor: KoelnerHai

1. Fall: x²-2 >=0
-> |x²-2| = x²-2

2. Fall: x²-2-1/5 >= 0
-> |x²-11/5| = x²-11/5

3. Fall: x²-2<=0
-> |x²-2| =x²-2

4. Fall: x²-2-1/5<=0
-> |x²-11/5|= x²-11/5

richtig?
Das ist bei mir schon länger her, seit ich das letzte Mal Fallunterscheidung gemacht habe..bin mir so unsicher.

Muss ich nicht noch x auf der einen Seite allein stehen haben, also z.B.
x² <= 2 ?
Irgendwie muss ich das ja begründen?


Bezug
                        
Bezug
Betragsungleichung Quadratisch: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:17 Fr 23.11.2007
Autor: leduart

Hallo
> 1. Fall: x²-2 >=0
>  -> |x²-2| = x²-2

richtig  

> 2. Fall: x²-2-1/5 >= 0
>  -> |x²-11/5| = x²-11/5

>  
> 3. Fall: x²-2<=0
>  -> |x²-2| =x²-2

falsch    richtig: |x²-2| =-(x²-2)

> 4. Fall: x²-2-1/5<=0
>  -> |x²-11/5|= x²-11/5

derselbe Fehler!  

> richtig?

Du gehst unklar vor:
zuerst das äussere Betragszeicen auflösen:
[mm] 1.|x^2-2|-1/5 [/mm] >0 dann soll [mm] |x^2-2|-1/5<2/3 [/mm]  also [mm] |x^2-2|<13/15 [/mm]

[mm] 1a)x^2-2>0 [/mm]  also [mm] x<-\wurzel{2} [/mm] oder [mm] x>\wurzel{2} [/mm]
dann [mm] x^2-2<13/15 x^2 [/mm] < 43/15   daraus [mm] x<-\wurzel{43/15} [/mm] oder [mm] x>\wurzel{43/15} [/mm]

1b) [mm] x^2-2<0 [/mm]    d.h. [mm] x^2<2 [/mm]  dann ist [mm] |x^2-2|=2-x^2 [/mm]  
   [mm] 2-x^2<13/15 17/15
Dasselbe jetzt mit 2, 2a, 2b  wobei
2:  [mm] |x^2-2|-1/5 [/mm] <0    also [mm] -|x^2-2|+1/5<2/3 [/mm]

jetzt 2a) und 2 b)
Gruss leduart

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