Betragsungleichungen < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | 2 * |x-1|+|x+4| < 8 |
Hey Leute,
wir nehmen momentan Betragsungleichungen mit verschiedenen Fällen durch. Soweit so gut, was ist allerdings noch nicht verstehe ist es, wenn ich eine Aufgabe (wie die obige) habe, woher ich weiß wieviel Fälle ich jetzt genau brauch?!
Kann mir das einer erklären wie ich mir das merken kann sprich wie ich das mit den Fällen verstehe?
Danke
LG
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Hallo, untersuche vier Fälle
(1) x-1<0 und x+4<0
(2) x-1<0 und [mm] x+4\ge0
[/mm]
(3) [mm] x-1\ge0 [/mm] und x+4<0
(4) [mm] x-1\ge0 [/mm] und [mm] x+4\ge0
[/mm]
Steffi
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Ist das immer so, dass ich die Sachen im Betrag teste? Egal wieviel Beträge es sind, desto mehr Möglichkeiten zum prüfen gibt es? sprich egal ob 1/|x+1| <0 oder andere? Warum wird auch größer nicht einfach nur kleiner, sondern kleiner gleich?!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:49 Di 05.04.2011 | | Autor: | fred97 |
> Ist das immer so, dass ich die Sachen im Betrag teste?
Meistens
> Egal
> wieviel Beträge es sind, desto mehr Möglichkeiten zum
> prüfen gibt es?
Meistens
> sprich egal ob 1/|x+1| <0
??? es ist 1/|x+1| >0
> oder andere?
?????
> Warum wird auch größer nicht einfach nur kleiner, sondern
> kleiner gleich?!
Den Fall "=" muß man doch mit einbeziehen !!
FRED
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> Warum wird auch größer nicht einfach nur kleiner, sondern
> kleiner gleich?!
Den Fall "=" muß man doch mit einbeziehen !!
Ja das ist mir klar ich habe vllt die Frage falsch definiert. Ich meinte eher wenn ich eine aufgabe mit <5 zB habe ob es dann automatisch mit >=5 getestet wird oder doch nur mit >?
Nehmen wir mal es ist 1/|x+1| >0 als Beispiel, ist es nun so dass x+1 < 0 oder x+1 <= 0?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:27 Di 05.04.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo earthhero!
Aus einem < wird > (und umgekehrt); also keine zusätzlichen Gleichheitszeichen.
Gruß
Loddar
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Ahhh und wann wird es zum gleich?
Hatte eben glaube ich einer erwähnt?! Eigentlich ist das alles gar nicht schwer nur das Klick im Kopf fehlt ;)
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Hallo, hinter den Fallunterscheidungen steckt die Definition des Betrages
|x|=x wenn [mm] x\ge0
[/mm]
|x|=-x wenn x<0
ich habe für dich ein schönes Beispiel gefunden: ![[]](/images/popup.gif) klick
Steffi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:08 Di 05.04.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
bri deinem Beispiel gibts gat keine Fallunterscheidungen
denn 1/|x+1| >0gilt immer, weil die rechte Seite ja ein Betrag ist. ausser natürlich wo 1/|x+1| nicht definiert ist, also für x=-1
bis dann
leduart
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Hmmm ich verstehe es einfach nicht wann man nur größer oder größer gleich schreibt.
|2x-1|<4
dann wäre der erste Fall ja 2x-1<0
und der zweite Fall wäre 2x-1>=0 oder wäre dieser Fall 2x-1>0 ?
Kann mir einer das nochmal erklären?! Habe einige ähnliche Beispiele gerechnet und mir die LÖsungen dazu angesehen, bei einigen war es größer gleich und bei einigen nur größer...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:57 Do 07.04.2011 | | Autor: | fred97 |
Es ist |a|=a, falls a [mm] \ge0 [/mm] und |a|=-a, falls a<0.
Ist a=2x-1, so mußt Du also die Fälle 2x-1 [mm] \ge [/mm] 0 und 2x-1<0 unterscheiden.
FRED
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sprich in dem Fall |a|=a ist es IMMER >= ?
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Hallo earthhero,
> sprich in dem Fall |a|=a ist es IMMER >= ?
Ja.
Gruss
MathePower
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Gut wir kommen dem Ziel näher :)
Bei welchem Beispiel wäre es denn nur >?
Gibts da eins?
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> Gut wir kommen dem Ziel näher :)
> Bei welchem Beispiel wäre es denn nur >?
> Gibts da eins?
Ich verstehe nicht recht, was nun da noch für
ein Problem liegen soll.
Im Fall a=0 gilt natürlich |a|=|-a|=a
Und im konkreten Beispiel ist es ja auch kaum
ein Mehraufwand, den Fall a=0 separat ins
Auge zu fassen ... Falls a oder |a| z.B. auch
als Nenner vorkommen, ist dies ohnehin nötig.
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:03 Do 07.04.2011 | | Autor: | earthhero |
Irgendwie stehe ich total auf dem Schlauch im Thema > oder >=,ist bestimmt recht einfach nur irgendwie denke ich wohl falsch, nun ja aber euch trotzdem danke :) Will auch nicht weiter dumme Fragen in den Raum streuen ;)
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> Irgendwie stehe ich total auf dem Schlauch im Thema > oder
> >=,ist bestimmt recht einfach nur irgendwie denke ich wohl
> falsch, nun ja aber euch trotzdem danke :) Will auch nicht
> weiter dumme Fragen in den Raum streuen ;)
Hallo earthhero,
ich hielte es für einen schlechten, sprich unbefriedigenden
Abschluss dieses Threads, wenn du jetzt einfach resignieren
müsstest. Ich habe alles nochmals durchgesehen und glaube
nun verstanden zu haben, worum es dir wirklich geht.
Fragen wie "wann wird aus einem < ein [mm] \ge [/mm] " oder ähnlich
waren aber nicht sehr hilfreich, dies aufzuklären.
Betrachten wir nochmals ein Beispiel. Es liege eine Unglei-
chung vor, in welcher die (linearen) Terme A(x),B(x)und C(x)
jeweils zwischen Betragsstrichen auftreten:
|A(x)| , |B(x)| , |C(x)| kommen in der Ungleichung vor.
Dabei soll zudem etwa der Ausdruck |C(x)| als Nenner
auftreten. Ein mögliches Beispiel wäre also etwa
$\ [mm] |x-5|+\frac{|x+2|}{|x-1|}>5$
[/mm]
mit A(x)=x-5 , B(x)=x+2 und C(x)=x-1
Weil Division durch Null nicht geht, müssen wir den
Fall C(x)=0 , also x=1 , von vornherein ausschließen.
Die Zahl 1 gehört also bestimmt nicht zur Lösungs-
menge. Für C(x) bleiben also nur noch die Alternativen
übrig: entweder C(x)>0 oder C(x)<0 .
Bei den Termen A(x) und B(x) muss aber jeweils die
Möglichkeit A(x)=0 bzw. B(x)=0 noch mit berücksichtigt
werden. Es genügt also bei A(x) nicht, nur die beiden
Fälle A(x)>0 bzw. A(x)<0 zu betrachten. Damit der
Fall A(x)=0 auch mit berücksichtigt ist, kann man die
Aufteilung: entweder [mm] A(x)\ge0 [/mm] oder A(x)<0 machen.
Es ginge natürlich ebensogut mit der Aufteilung:
entweder A(x)>0 oder [mm] A(x)\le0 [/mm] . Ebenso für den Term B(x).
Insgesamt kommt man also für die weitere Rechnung
mit insgesamt $\ 2*2*2=8$ einzelnen Fallkombinationen aus.
Dabei kann man sich aber in der Regel einen großen
Teil der Arbeit ersparen, wenn man gleich bedenkt, dass
(im Beispiel) etwa A(x)<0 und [mm] B(x)\ge0 [/mm] sich ausschließen.
LG Al-Chw.
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Ah viele vielen Dank, solchen sachen, dass man >= aber auch <= benutzen kann waren mir sehr hilfreich, jetzt habe ich das System verstanden.
Wobei bei mir gerade noch die Frage ist, woran ich schnell erkennen kann welche Fälle von vorne herein rausfallen.
Ich habe jetzt auch einmal drei Beispielsaufgaben gemacht, könntet ihr mal schauen ob dieses soweit richtig ist? Bei 1C, weiß ich so nicht weiter
http://www.maka-on.de/aufgaben.jpg
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Hallo, jetzt hast du Vorzeichenprobleme
1. Aufgabe, 1. Fall:
[mm] x\ge-2 [/mm] ist ok
aber jetzt
[mm] 3-(2x+4)\ge\bruch{1}{3}x-1
[/mm]
vor der Klammer steht ein minus, in der Klammer kehren sich die Vorzeichen um
[mm] 3-2x-4\ge\bruch{1}{3}x-1
[/mm]
[mm] 0\ge [/mm] x
du bekommst also aus diesem Fall
[mm] -2\le x\le0
[/mm]
1. Aufgabe, 2. Fall:
x<-2 ist ok
[mm] 3-(-1)*(2x+4)\ge\bruch{1}{3}x-1
[/mm]
[mm] 3+(2x+4)\ge\bruch{1}{3}x-1
[/mm]
[mm] 3+2x+4\ge\bruch{1}{3}x-1
[/mm]
[mm] 8\ge\bruch{5}{3}x
[/mm]
[mm] -\bruch{24}{5}\le [/mm] x
du bekommst also aus diesem Fall
[mm] -\bruch{24}{5}\le [/mm] x<-2
aus beiden Fällen
[mm] -\bruch{24}{5}\le x\le [/mm] 0
2. Aufgabe, 1. Fall:
bis
-2<2x-y korrekt
-2+y<2x
[mm] \bruch{y-2}{2}
2. Aufgabe 2. Fall:
ok
Steffi
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Ah stimmt hatte das Minus vor der Klammer übersehen :)
Wie gehe ich denn bei 1C weiter vor? also was wäre da die Lösungsmenge?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:13 Do 07.04.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
zu c) du zeichnest die Gerade, die durch gleich entsteht, löse auf y=,..., dann sind es alle Punkte über der geraden, da du ja hattest y>...
gruss leduart
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Also nach Y auflösen? und dann? Brauche am besten immer ein paar Beispiele :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:38 Fr 08.04.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Dein Beispiel:
$ [mm] \bruch{y-2}{2}
ist eine gebiet in der x-yebene, das begrenzt wird durch die gerade y=2x+2
alle Punkte der halbebene unterhalb der geraden erfüllen die Bedingung.
2. Bsp [mm] |x|\le [/mm] |y|
a)x>0,y>0
[mm] x\le [/mm] y Grenze x=y also Gebiet zischen y- Achse und Winkelhalbierende im 1. Quadranten.
b).x<0,y>0 [mm] -x\le [/mm] y Grenze y=-x gebiet zw y-Achse und WH im 2.Quadranten
c)x>0 y<0 [mm] x\le x\le [/mm] -y grenze y=-x
[mm] d)x\le0,y\le0 -x\le [/mm] -y oder [mm] x\ge [/mm] y grenze y=x
such die anderen Gebiete selbst.
Gruss leduart
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Sprich es gib 4 Gebiete 2².
Gut verstanden aber wie sieht dann die Lösung zu der Aufgabe aus, also wie schreibe ich die hin?!
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> Sprich es gib 4 Gebiete 2².
> Gut verstanden aber wie sieht dann die Lösung zu der
> Aufgabe aus,
Hallo,
von welcher Aufgabe sprichst Du denn gerade?
Und: meinst Du, daß wir die Lösung hier aufschreiben sollen?
> also wie schreibe ich die hin?!
Am besten schreibst Du jetzt erstmal die Aufgabe hin, damit man weiß, worum es geht.
Und dann poste mal, was Du Dir jetzt gedacht hast, was Du also mit den in diesem recht langen Thread gewonnenen Erkenntnissen getan hast.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:20 Mo 11.04.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:42 Mo 11.04.2011 | | Autor: | Steffi21 |
Hallo, ich habe mir die Mühe gemacht, alles erneut zu lesen, für Aufgabe 1c) gibt es zwei Gebiete, für den 1. Fall [mm] y-1\ge0 [/mm] bekommst du y<2x+2, zeichne die Gerade y=1 und y=2x+2, es ergibt sich
[Dateianhang nicht öffentlich]
als Lösungsmenge bekommst du alle geordneten Paare (x;y)
[mm] L=\{(x;y); y\ge1 \wedge y<2x+2\}
[/mm]
analog der 2. Fall y<1 und y>-2x
[Dateianhang nicht öffentlich]
Steffi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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